1、台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 1 頁 邱韻如 編撰 2007/5/12單擺實驗學過中學物理的人大都會認為單擺是很簡單的(單擺的單，就是 simple的意思) ，也都很熟悉它的特性，像小角度時週期和擺角無關(等時性)及週期和擺長的平方根成正比等等。除此之外，你知道伽利略先生發現單擺特性的過程嗎？他是怎樣發現的？並將其結果應用在哪些方面上？你還知道物理上有哪些事件或主題是和單擺有關的？在本實驗中，我們將利用單擺這個簡單的實驗器材，來達到下面幾個目的： 訓練實驗的基本技能，學習控制變因的方法。 練習數據處理與分析，並瞭解其意義。 學習實驗報告的寫法及數據的分析。 瞭解與探索單擺
2、在科學史上的意義及其和其他概念的關係。我們將單擺實驗分成 ABC 三個部份，每一部份各有其不同的學習重點。你將會體會到，簡單的單擺可是蘊藏著很多的學問喔！實驗：固定擺長與擺角來測量單擺的週期。實驗：固定擺角，分析擺長與週期的關係。實驗：固定擺長，研究擺角與週期的關係。講義目錄 單擺實驗 A、B、C 數據的分析與處理 光電計時器的使用方法 實驗報告的寫法及注意事項實驗報告繳交日期：2007/5/26 以 A4 大小的紙撰寫，要有封面，左上角斜訂。請交給助教，逾期不收。請自己留一份副本，並於下次實驗課(2007/6/9)時帶來。台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 2 頁 邱韻如 編
3、撰 2007/5/12單擺實驗單擺實驗【器材】鐵架、棉線、擺錘、長尺、光電計時器特別注意：本實驗不准使用量角器，但可以善用實驗室裡的各種東西，如膠帶、課本、繩子、空箱子等等。【原理】1.一個理想的單擺是質量集中在一點的擺錘，用無質量的細繩所懸掛的物體。懸掛點到擺錘的距離稱為擺長。2.單擺的公式 是我們所熟悉的，這個式子是怎樣推導出來的，並Tg2請畫出它的受力圖？這個公式的適用範圍是什麼呢？3.常態分佈的意義4.誤差的種類及其意義【步驟】1. 熟悉光電計時器的使用。2. 自行架設單擺，決定並固定擺長和擺角。想一想：擺長和擺角要如何選才適當？擺長是從那裡量到那裡？請畫圖說明。在測量上可能造成多少誤
4、差？擺角要如何固定？如何量？請用文字及畫圖說明。3. 用光電計時器測量擺動一次的時間，重複 100 次。請用功能 5，次數設定要按幾？為什麼？4. 實驗過程中一定要盡量避免所有可能的誤差。【分析】用 EXCEL 列出數據及作圖1.列出 100 個數據。2.畫出次數週期的分佈圖（長條圖）3.求出平均值 、標準偏差 和平均標準差 x。T4.在 間之週期有多少個？佔百分之多少？在 間之週期有多少個？佔百分之多少？2在 間之週期有多少個？佔百分之多少？3(想一想，為什麼老師要你們這樣分析？有什麼意義？)5.令重力加速度 g = 9.8m/s2，由所求出的平均值 推算出單擺的擺長(實驗值)，T並和你所測
5、量的擺長(此時它為理論值，why?)做比較。台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 3 頁 邱韻如 編撰 2007/5/126.所求出的平均值 及你所測量的擺長，推算出重力加速度(實驗值)，再和Tg = 9.8m/s2(此時它為理論值)做比較。7.請比較步驟 5 和 6 的二種分析方式。【思考問題】1. 單擺的等時性是什麼意思？單擺為什麼會有等時性？2. 伽利略是怎樣發現單擺的等時性？ 3. 您的單擺是否具有等時性？何以得知？4. 在這個實驗中，有哪些誤差是屬於隨機誤差？哪些是系統誤差？哪些是人為誤差？單擺實驗【器材】鐵架、棉線、擺錘、長尺、光電計時器、量角器【原理】 Tg2【步驟
6、】1. 自行架設單擺，並決定擺長和擺角。2. 測量單擺連續擺動 x 次的時間，重覆 y 次。(x,y 由自己決定)3. 改變擺長，重覆上一步驟。4. 用 EXCEL 作 T 和 （或 T2 和 ）的關係圖，並找出最小平方曲線（線性, y = ax+b）的係數及相關係數。請討論算出來的係數及相關係數的物理意義。5. 用 EXCEL 作 T 和 的關係圖，應該如何連接各點呢？單擺實驗【器材】鐵架、棉線、擺錘、尺、量角器、光電計時器【原理】實際上，單擺的週期和角度是有關係的，小角度時( ) ， (1)sinTg2大角度時， (2)16(2台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 4 頁 邱
7、韻如 編撰 2007/5/12在本實驗中，我們要探討，什麼時候是小角度，什麼時候小角度的公式不能適用。註：其實(2)也是個近似式，更精確的式子是(3).)2sin649si1(0020 T其中 g公式(2)及(3)的推導不在大一普物的程度之內，所以不必推導，直接使用。【步驟】1. 自行架設單擺，固定擺長。2. 改變不同的角度，測量單擺的週期。(角度最大可以到多少度？)【分析】1. 做 T- 的關係圖，以最小平方法找出函數 y = ax2 + bx + c 的係數(Excel 趨勢線，選多項式，2 次)，將所得的結果與理論比較，並討論之。(想一想，a, b, c 所代表的物理意義各為何？ )2.
8、 除了用函數 y = ax2 + bx + c 來分析之外，還可以用什麼函數來分析 T- 的關係？3. 定義 ，以 E 對 作圖，說明 的適用範圍，並%10sinEsin解釋此圖之意義。4. 注意， 的單位是徑度，但作圖時請用角度(為什麼？)綜合問題1.擺長應該量到哪裡才對？為什麼？2.在擺長和擺角都固定的情況下，你認為擺錘的大小和擺錘的質量對週期會不會有影響？請說明你的理由。3.單擺的運動是不是一種圓周運動？請將單擺和圓周運動所受的力做個比較。4.如果單擺的振動不是在一平面上，而是形成錐形擺(如右圖)，對週期會有什麼影響？台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 5 頁 邱韻如 編
9、撰 2007/5/12數據的分析與處理【原理】一、數據的紀錄 所有測量值都要毫不保留地記錄下來，且不要再有任何的更改或謄錄以降低筆誤甚至被懷疑捏造數據的機會。即始出現了筆誤，就在該數據上畫上兩橫槓，但別加以塗改或是修飾。記住，留下所有原始資料，即使它是錯的。(Why?) 養成把數據記下來的好習慣，並附上單位，需要的話，畫圖記下你是怎麼量的。只有測量一次的單一測量值在實驗上的價值不大，因為它可能包含了誤差而不自知。二、誤差不要把誤差都怪罪在儀器或人為上，要真正找出影響結果的原因。 沒有任何一個實驗的測量值是完全準確的。即使是同一個人以同一套系統操做重覆的實驗也常得出不完全相同的結果，可見得每一次
10、的實驗都難免產生誤差。為了將惱人的誤差減到最低，我們必須先分析出導致誤差的原因才能對症下藥。誤差的來源一般可分為系統誤差、人為誤差以及隨機誤差。1. 系統誤差：又可細分為二。 由設備上的缺陷所造成，比方說設計不良或機械零件精度不夠，甚至磨損或老化，都可能造成實驗結果的不可靠。(如何改善？) 由於環境的因素所造成，比方說實驗室溫度突然改變將導致米尺的熱脹冷縮。(如何改善？)2. 人為誤差：多半由於個人的疏忽所造成。比方說數據的判讀有誤、忘了歸零、量長度時把吋當作公分、記錄數據時的筆誤、甚至計算錯誤等。( 如何改善？)3. 隨機誤差：任何系統的物理狀態都具有統計上的不確定性，這是永遠存在而無法避免
11、的。應付之道是增加實驗測量的次數，並以統計學的理論來處理數據以獲得較佳的結果。三、準確度與精密度： 精密度：當多次重複測量時，不同測量值彼此間偏差量的大小。如果多次測量時， 彼此間結果皆很接近，則稱為精密度較高。 準確度：準確度的定義是測量值與真值( 或公認值)的偏差程度，通常以百分誤差的形式來表示。公認值通常指使用已知較準確且精密度高的實驗儀器，在優良訓練的實驗人員重複操作下，所得出的實驗結果。%10公 認 值公 認 值測 量 值百 分 誤 差 問題： 你認為精密度與準確度之間有直接的關係嗎？精密度高的結果，準台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 6 頁 邱韻如 編撰 2007
12、/5/12確度一定高嗎？準確度高的結果，精密度一定高嗎？四、統計分析.一維數據的處理 平均值(mean)如果對同一個物理量作 n 次測量，每一次所得的數據分別是 x1, x2, x3, , xn，則實驗的平均值即 nxi1321. 偏差(deviation) ：一個特定數據與整組數據的平均值之差，稱作偏差(deviation)。,1xd,2x,xdn 標準偏差(或稱標準差，standard deviation)定義為： nn221.當數據為有限個時，將標準差作下列的修正： 1.221nddn意義：當數據的個數夠多(理想情況是)時，數據將成常態分佈。我們可以根據某一數值距離平均值有多少個標準差而
13、知道從平均值到該值之間的數據個數佔了總個數的百分之多少。根據理論計算的結果，在平均值上下一個標準差的範圍內的個數佔總個數的 67.5；兩個標準差的範圍內的個數佔 95.5；三個標準差的範圍內的個數佔 99.7。因此，當我們看到一段描述質量 127 公克，標準差 2 公克時必須能反射性地知道約有將近七成的測量數據是在 125 到 129 公克之間。又，一般將三個標準差稱為極限誤差，也就是在有限次數的量測中，如果某測量值的誤差超過三個標準差則應予以捨棄之。 平均標準差(standard deviation of the mean)1(.221nddnnx意義：嚴格定義應該是這樣子講的，對一個量測對
14、象取了 n 個數據（n 是有限值），用這 n 個數據可得出一個平均值。再以這 n 個數據為一組，重覆取無限多組，則每一組將各有其平均值，於是我們得到了無限多個(它們也將成常態分佈)。而這無限多個的標準差就是我們所定義的平均標準差。通常，我們將實驗的結果表示如 的型式。x台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 7 頁 邱韻如 編撰 2007/5/12範例：60datas1.656 1.661 1.653 1.661 1.656 1.656 1.659 1.656 1.657 1.656 1.656 1.656 1.656 1.655 1.656 1.655 1.656 1.656 1
15、.656 1.654 1.655 1.654 1.657 1.655 1.661 1.656 1.657 1.656 1.650 1.661 1.652 1.652 1.659 1.652 1.657 1.657 1.658 1.656 1.656 1.656 1.649 1.657 1.656 1.657 1.655 1.657 1.656 1.656 1.656 1.657 1.649 1.657 1.656 1.662 1.656 1.650 1.655 1.650 1.656 1.655 函數最大值 max 1.662最小值 min 1.649標準偏差 stdev 0.002739平均
16、值 average 1.655767計數 countifdata N1.662 21.661 41.660 01.659 21.658 11.657 101.656 241.655 71.654 21.653 11.652 31.651 01.650 31.649 360 datas分 佈 圖0510152025301.662 1.661 1.660 1.659 1.658 1.657 1.656 1.655 1.654 1.653 1.652 1.651 1.650 1.649dataN台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 8 頁 邱韻如 編撰 2007/5/12.二維數據的處
17、理最小平方作圖法：最小平方作圖法，是找一條曲線(多項式)，使所有數據點到曲線的垂直距離的平方總和為最小。若用(x I ,yi)表示數據點，f(x)是根據最小平方法所畫出的曲線(least squares regression line)，它必須滿足的值為最小的條件，其中 E 為縱向距離平方之總Efxyii()2和，當 E 為最小時，也就是使得所有數據點到曲線的垂直距離的平方的總和為最小。 回歸分析最小平方法逼近(線性：一次式)(或稱線性回歸 linear regression)設有 n 個數據點，最小平方曲線為 ，a 為斜率，b 為xf)(截距，皆為未知，待求。由定義知，需使 為最小，其條Ef
18、xyyii ii() )22件為： 002iiibxaEiiynb由上二式聯立可得：(1)()(212xyxai i.(2)(212nbi iii依照所求得的截距和斜率，將曲線畫在圖上，完成你的作圖。並記得討論在此實驗中，截距和斜率所代表的意義。相關係數：， 越接近 1，相關性 22)()()( yxnyxr iiiiiir越高最小平方法逼近（多項式：二次式）設有 n 個數據點，最小平方曲線為 ，a,b,c 皆為未知，cbxaf2)(待求。由定義知，需使 為最小，22 )( iiiii yyxfE其條件為：， ， ，此三式聯立可得 a, b, c0ab0c台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共
19、13頁) 第 9 頁 邱韻如 編撰 2007/5/12其他：指數回歸、對數回歸、乘冪回歸範例：用 Excel 畫出來的圖x(m) F(N)2 25 47 89 911 12最 小 平 方 法y = 1.127x - 0.6639R2 = 0.96860123456789101112130 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x(m)F(N)C.方法在工程用計算機都內建有計算平均值、標準偏差、截距、斜率、相關係數的功能。只要將數據(x i,yi)輸入，就可以輕易得到截距、斜率和相關係數(不必使用到(1)(2)式)，怎麼使用，請研讀你的計算機說明書。另外，Excel 軟體也可以求出
20、及畫出回歸線 (趨勢線)，EXCEL 作圖之秘笈留給你自己寫喔！工程用計算機： MODE 注意角度(rad、deg) 統計功能：(如何切換到統計功能？) 一維數據處理(Standard Deviation；SD) 二維數據處理：線性回歸分析(Linear Regression；LR；REG；Lin) 相當於 enter 的是哪個鍵？ 二維的數據如何輸入？ 我怎麼知道到底已經輸入幾個數據了？ 我的計算機中的 A 和 B，誰是斜率？誰是截距？ 如何清除先前已輸入的數據？台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 10 頁 邱韻如 編撰 2007/5/12【習題】方法一：使用工程用計算機及方
21、格紙，並將使用說明寫下來。方法二：使用Excel，並將使用說明寫下來。.一維數據的處理：100 個 DATA1.656 1.661 1.653 1.661 1.656 1.656 1.656 1.657 1.655 1.656 1.659 1.656 1.657 1.656 1.656 1.656 1.655 1.656 1.657 1.661 1.656 1.655 1.656 1.655 1.656 1.656 1.655 1.651 1.656 1.656 1.656 1.654 1.655 1.654 1.657 1.655 1.657 1.656 1.656 1.649 1.661
22、1.656 1.657 1.656 1.650 1.661 1.656 1.661 1.656 1.656 1.652 1.652 1.659 1.652 1.657 1.657 1.665 1.656 1.655 1.656 1.658 1.656 1.656 1.656 1.649 1.657 1.656 1.656 1.657 1.657 1.656 1.657 1.655 1.657 1.656 1.656 1.657 1.656 1.656 1.656 1.656 1.657 1.649 1.657 1.656 1.662 1.656 1.655 1.649 1.655 1.656
23、1.650 1.655 1.650 1.656 1.655 1.651 1.657 1.655 1.657 求：(1)平均值 (2)標準偏差 (有 n-1 的那一個) (3)百分誤差 (4)作圖（長條圖）(注意 1：假設理論值為 1.656)(注意 2：使用 Excel 時，1.656 有幾個、1.657 有幾個、，要請電腦數喔！).二維數據的處理：自由落體在自由落體的實驗中測得時間與速率的關係如下：T (sec) 0 1 2 3 4 5V(m/s) 15.0 24.8 34.1 44.4 55.0 64.0以最小平方法，求：(1)截距 (2)斜率 (3)相關係數(4) 百分誤差(5)作圖(注
24、意：由斜率或截距推算出此實驗的加速度，再和重力加速度的理論值相比，算出百分誤差；令重力加速度的理論值為 9.80m/s2)你的計算機(廠牌及型號： )怎樣按出平均值、標準偏差、截距、斜率、相關係數等功能?請寫在這裡！Excel 作圖秘笈：請寫在這裡！台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 11 頁 邱韻如 編撰 2007/5/12UPM-MF光電計時器的使用方法【方法】(1).電源開闢(2).時間顯示部份 :自 0.0000099999.99999 秒顯示。(3).光電管校準指示：當光電管校準時即有“指示標識。(4).功能顯示部份：指示設定功能運作狀況(5).功能鍵：設定功能 (F
25、unction)多種(6).時基設定鍵：採循環設定，指示 1000.0l/m SEC 數值(7).次數設定鍵：功能運作過程中，設定次數用(8).時間設定鍵：功能運作過程中設定時間用(9).時距鍵：於功能 5，按此鍵可求取單位運作(半週期)時間(10).啟動鍵：啟動計時(11).停止鍵：手動控制停止計時(12).歸零鍵：計時歸零使用(13).清除鍵：清除設定錯誤更改用鍵(14).阿拉伯數字鍵 (09 及) ：用來輸入數字資料設定用【Function 5】計次計時功能操作程序: 功能 5 次數設定 數字 歸零 啟動俟計次達次數設定值時即自動停止計時台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第
26、 12 頁 邱韻如 編撰 2007/5/12實驗報告的寫法及注意事項花時間好好寫一份實驗報告是很重要的一種訓練，因為雖然您的實驗做得很好，但使如果沒有經過寫報告的過程來記錄、分析、討論，那頂多只能算是對這個實驗完成了一半。一份好的實驗報告，是別人拿著這份報告，就可以用同樣的方法重做過你的實驗。封面及紙張大小：要有封面，寫上實驗名稱、班級、組別、姓名、學號。用 A4 大小的紙寫。左上角斜訂。內容：【目的】不要照講義抄。想一想，這個實驗主要的目的是什麼呢？從這個實驗可以學到什麼呢？【原理】不要照講義抄。想一想，和這個實驗相關的原理和理論背景是什麼呢？請去查資料，用自己理解的方式寫下來。若有較長的公
27、式推導可以放在附錄中。【儀器及裝置】【步驟】 不要照講義抄。你實際實驗的步驟是怎麼做，就怎麼寫。【結果與分析】必須包含下列各項：1. 數據表格：原始數據要列於表格中，每一份表格都要有標題並說明內容。各欄的名稱及測量單位必須註明。(實驗前，請先想清楚，有哪些數據要記錄？)2. 數據處理：各種計算結果的計算方式、過程應該清楚。3. 作圖：請注意作圖的原則，要說明圖形的意義。4. 誤差分析及數據解釋：實驗誤差的計算與分析，數據所代表的意義。【問題及討論】在這個實驗中，包括原理、實驗技術等方面，有哪些問題是你所關心的？可以提出來的？請寫出問題及你的答案或思考過程。問題可以選自實驗講義，也可以自己出題，
28、但是不要抄別人的！【延伸學習】台大高一資優營 物理實驗單擺實驗(共 13頁) 第 13 頁 邱韻如 編撰 2007/5/12藉由這個實驗，你可以進一步查資料，深入探討、瞭解與探索單擺在科學史上的意義及其和其他概念或科學家的關係。(你所查的資料，要經過你自己的整理，不可以直接複製貼上喔！資料的來源出處要註明)【心得與建議】從這個實驗中，你學到了什麼？有什麼感想或建議事項？【參考資料】你的資料是從哪兒查來的？請在這兒列出來。【附錄】如果你有什麼要寫，但不知道放在報告中的什麼部份，就放在附錄裡。推導很長的公式，也可以放在附錄。注意事項：請尊重智慧財產權。不要抄襲別人的報告，不要將書本影印（或網路上的
29、）的資料直接貼在報告上。應該自己整理吸收後再寫出來，若實在要貼，請放在附錄，並註明出處。另外，雖然你在同組同學的合作下得到所需的數據，但是數據的製表及處理應該是每個人自己做的，老師鼓勵同學互相討論、相互切磋，但是請在討論後，自行寫報告，以訓練你的表達能力。1. 要有封面。不寫預報。2. 用電腦打字、用手寫均可、A4 大小。紙的四周要留邊。3. 請尊重智慧財產權，切忌抄襲。4. 實際怎麼作就怎麼寫。5. 心得一定要寫。6. 數據處理完要分析。7. 同組同學，原始數據相同，但處理(表格製作)與分析都應自己作。數據的部分請用電腦處理。8. 不能以數據檢查單取代數據的處理與分析。9. 問題的回答(要有題目)，除了講義上的問題外，也可以自己出題。
