1、第5期 林明成：用圆的几何性质解题 -19 用 圆 的 几 何 性 质 解 题 林明成 (苍溪中学四川苍溪628400) 圆是最简单的曲线，它有丰富的几何性质，在 初中时就已经被研究过平面解析几何实际上就是 用代数方法进行研究的平面几何，因此学习解析几 何离不开平面几何知识，尤其是圆的很多几何性 质若在解决相关问题时善于灵活运用圆的几何性 质，则不仅可为JI,N得出解题思路扫除障碍、铺平 道路，而且也可大大简化计算过程，提高解题速度， 增强求简意识现举例如下 1利用圆心的性质 圆是中心对称图形在解决与圆有关的最值问 题时，抓住圆心，可简化计算 例1 已知点P在椭圆 + =1上移动，点 Q在圆(
2、 一1) + = 上移动，求距离IPQ的最 小值 解设P(5cos0，4sin0)，则 I删I=(5cos01) +(4sin0) = 9 号 因此当cos0=音时， l l ： 于是如图1所示， IPQI ：I 一华：华 J f ，P 、 、 图1 图2 例2已知i为虚数单位，设A=z l z=2+ 20+(22n)i，aR，B=09 l( ：sin0一icos0，0 R，若 EA，Z B，求 一z l的最小值 解4表示直线f： +Y=4因为 =sin0一icos0 所以lI=1，因此B表示以原点为圆心，1为半径 的圆故所求Iz 一 l的最小值即为圆周上的点到 直线2的最短距离如图2，作OH
3、上直线f，垂足为 点H，则 lz1一 2 I i =IAHI=l OHll OA I=2,21 2利用圆周角的性质 21 直径上的圆周角是直角 例3 已知圆C：X +Y + 一6y+m=0与直 线f： +2y一3=0相交于点P，Q，o为坐标原点 若 POQ：90。，求实数Tt的值 解由_POQ=90。，可得以弦PQ为直径的 圆必过原点，即圆 ( +Y + 一6y+rn)+A( +2y一3)=0 过点A(0，0)，因此m=3A又由该圆的圆心 f一 ，3一A1在直线f上，可得 一 姜 +2(3一A)一3：0， 解得A=1，故rn=3A=3 例4设A，B为抛物线Y =4 上原点0以 外的2个动点，已
4、知OA上OB，OMj-AB于点 ，求 点 的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线 解设 =( 2,Y1)， =( 2,Y2)， =( ， )，)，且Y1Y20，Y1)，2由 一OA =4 p 4Y_L。+)，1)，2=0， 4D 解得 Y1Y2=一16p (1) 设AB所在的直线方程为 =my+6，代入Y =4 得 Y 一4pmy一4pb=0， 因此 Y Y2=一4pb 结合式(1)，可得6=4p，即直线AB过定点P(4p， 0)所以点 在以PO为直径的圆上(如图3)，故 所求点肘的轨迹方程为 ( 一2p) +Y =4p ( 0)， 轨迹为以(2p，0)为圆心，2p为半径的圆(除去原 点) 20
5、中学教研(数学) 2010卑 22 圆外角小于圆周角 例5已知0b口，点A(0，口)，点曰(0，b)， 试在 轴的正半轴上求一点C，使_ACB取得最大 值 分析此题解法颇多，可用三角知识、不等式、 函数等方法，但最为直观与简捷的方法是引人辅助 圆，利用“圆外角小于圆周角”求解 r 0 八 图3 图4 解如图4，设过AB且与 轴正半轴相切的 圆与 轴相切于点C利用平面几何中“圆外角小 于圆周角”，知点C即为所求的点由OBC一 xOCA，得 lOCI =IDAIIOBI=ab 因此 l OCI= =口6， 即点C的坐标为(口6，0) 23 圆内角大于圆周角 2 2 例6设椭圆等+ =1的焦点为Ft
6、，Fz，点P 为其上的动点，当 F P 为钝角时，求点P横坐 标的取值范围 解如图5，以点0为圆心，OF。的长为半径 作圆戈 + =5，与椭圆等+ =1联立，解得两曲 线交点的横坐标分别为一， 由“圆内角大于 S S 圆周角”知，当点P在椭圆的AB或CD弧线(在辅 助圆内)上时， P 为钝角，故点P横坐标的 确估捕胃日 3s，35 取值范围是一 l 0 =： 仆 f A 图5 图6 3利用垂径定理 例7 已知圆0： 。+y2=25上一点A(一3， 4)，PQ是圆的弦若直线AP与AQ的倾斜角互补， 求证：直线PQ的斜率为定值 解作 j- 轴交o0于点A ，则A ，A关于 轴对称，得 (一3，一4
7、)由直线AP与AQ的倾 斜角互补，得AA 是-PAQ的平分线(如图6)，因 此 1=_2，于是PA =QA ，即点A 是尸口的中点 连结0A，则OA PQ，因而 DAi4，故 =一 3 (定值) 4利用切割线定理 例8 已知3个定点A(一2，0)， (2，0)， C(4，0)，经过点A，B任作一圆，圆心为 ，从点C 引圆 的2条切线，切点为P，Q当圆 的半径变 化时，求CE与PQ交点 的轨迹 解设 ( ，Y)为轨迹上任意一点，由切割线 定理得 l CPI =I CBlJ CAI=12 如图7，连结 ，则船j_cP因为PQ上 ，所以 l CP J =J CMIJ CEI 设点E(o，d)，则 =
8、12 (2) 又点 在直线CE上，所以 上一 一4一一4 即d： 把上式代人式(2)，化简得 ( 一寻)2 Y2=(吾)2(刷)， 故所求轨迹是以( ，0)为圆心，吾为半径且除去 点(4，0)的圆 J c 一 J 日 0 A 图7 图8 例9已知圆P：( 一2) + =4，动圆 (在 Y轴右侧)与Y轴相切，又与圆P外切，过A(4，0) 第5期 林明成：用圆的几何性质解题 2l 作动圆 的切线AN，求切点的轨迹 解如图8，设动圆 与Y轴切于点 ，动圆 与定圆P切于点c由MBAP，得 厶BMC=_APC 因此 MCB+_MBC=_PCA+ PAC 又由 _MCB= 朋BC， PCA=PAC， 得
9、MCB= PCA， 因此点B，C，A共线由切割线定理，知 I AN l =I AC II AB I (3) 因为在RtAAOB中，OC上AB，所以 I AC 1I AB I=I AO l =16 (4) 由式(3)，式(4)，知IANI=4，故点的轨迹为圆 ( 一4) +y2=16( O) 5利用相交弦定理 例10 已知点A是oD： +y2=F2上任意一 点，ABj_ 轴，垂足为 ，以点A为圆心，IABI为半 径的QA交o0于点C，D，又CD交AB于点P当 点A在o0上运动时，求点P的轨迹方程 解如图9，延长AB，BA，分别交oA，o0于 点 ， 设p(x， )，a(x。，Y。)，则 +2=r
10、2 (5Yo ) 0+ =r L 由相交弦定理，得 IAPlI PA I=I CPII PDI=lBPII PB I 因此 Y 一)，2P=YP(2yoYP)， 于是 Yo=2yP 又 。= ，代入式(5)得 2P+4)，；=r ， 故点P的轨迹方程为 。+4 =r2 J B 图9 图10 6利用切线长定理 ，2 ，2 例11设点P是双曲线 一 =1上除顶点 0 D 外的任意一点，F ， 分别为左、右焦点，APF Fz 的内切圆切 轴于点A，求证：A为双曲线的顶点 证明如图l0，设内切圆切F P于点 ，切 F P于点，则由切线长定理得 IFlMI=IFlAI，l NI=I AI，IPMI=IP
11、NI， 则 IPFl I=l P I+IMF1 l=I P I+I FlA I， IPF2 I=l PNI+I 2 l=l PI+I F2A I， 所以 IPF II PF2 l： I PMIIPNI+I 】A lI A I， 即 2a=I F1A ll F2 I 又 I F1A I+I A I=I F1 l=2c， 所以 I F，A I=C一0 即点A的坐标(口，0)，故A为双曲线的一个顶点 7利用公切线的性质 两圆的连心线必过外(内)公切线的交点 例12求圆01：( 一3) +(Y一1) ：9与圆 ， c、2 0 ：( +)+ =l的外公切线方程 解由题设得两圆的圆 心分别为0 (3，1)
12、， ， 、 0 l一，0 l，半径分别为 、 -， ， r。=3，r2=1由外公切线性 质知，两圆的外公切线相交 于一点P，且在连心线0 O2 0 ： 图l1 上(如图11)由相似三角形的性质知 ： _3，I I PD r2 因此 A= 01P=一3， 于是由定比分点公式，得P(一4，一)设外公切 线方程为 )，+ 1 ：j( +4)， 且p 一 +4Ji一 =0 又由O 到外公切线的距离为3，得 3k-1 一 1 I=3 百， 解得 |i=丢或|i=一杀， 故所求直线方程为 3x一4y+10=0和9x+40y+56=0 参考文献 1 林明成漫谈辅助圆的应用J中学教研 (数学)，2008(9)：3032
