1、离 散 型 随 机 变 量 数 学 期 望 的 求 法 探 究 3徐 传 胜 (临 沂 师 范 学 院 数 学 系 山 东 临 沂 276001)摘 要 除 借 用 定 义 求 解 外 ,利 用 对 称 性 、 套 用 已 有 公 式 、 将 随 机 变 量 进 行 分 解 ,借 助 递 推 法 、 母 函 数 法 等 技 巧 也 可求 出 随 机 变 量 的 数 学 期 望 。关 键 词 数 学 期 望 随 机 变 量 概 率 分 布 中 图 分 类 号 O211数 学 期 望 是 随 机 变 量 的 重 要 数 字 特 征 ,反 映 着 随 机 变 量 取 值 的 平 均 情 况 。 一
2、般 概 率 论 书 仅 给 出 其 定义 ,而 不 少 问 题 用 定 义 求 解 较 繁 杂 。 本 文 给 出 数 学 期 望 的 其 它 几 种 求 法 及 技 巧 ,供 参 考 。11 巧 用 对 称 性例 1 一 副 扑 克 牌 共 有 N 张 ,其 中 有 三 张 A。 随 机 洗 牌 后 ,从 顶 上 开 始 一 张 接 一 张 地 翻 牌 ,直 到 第 二张 A 出 现 为 止 。 试 救 翻 过 牌 数 的 平 均 值 。解 设 X =“ 从 顶 上 翻 过 的 牌 数 ” , Y =“ 从 底 下 翻 过 的 牌 数 ”由 对 称 性 知 X 与 Y 的 分 布 完 全 相
3、 同 ,则 EX = EY ,而 X + Y = N + 1 ,有 EX + EY = N + 1。 故 EX= EY = ( N + 1) / 2。注 本 题 若 用 数 学 期 望 的 定 义 来 求 ,须 先 求 出 X的 概 率 分 布 ,再 套 用 定 义 ,其 计 算 较 复 杂 ,而 利 用 对称 性 很 轻 松 地 即 可 解 得 ,还 给 人 一 种 美 的 享 受 。例 2 设 在 区 间 (0 ,1) 上 随 机 地 取 n个 点 ,求 相 距 最 远 的 两 点 间 距 离 的 数 学 期 望 。解 设 n个 点 将 (0 ,1) 区 间 分 成 n + 1段 的 长
4、度 分 别 依 次 为 X1 , X2 , , Xn+1 。 由 对 称 性 知 ,每 一 个 Xi的 概 率 分 布 相 同 ,从 而 其 数 学 期 望 也 都 相 同 。由 n+1i =1Xi = 1 ,得 EX i = 1/ ( n + 1) 。 故 E( ni =2Xi) = ( n - 1) EX i = ( n - 1) / ( n + 1) 。例 3 n个 正 随 机 变 量 X1 , , Xn 独 立 同 分 布 ,则 k n时 有 E( X1 + X2 + + XkX1 + X2 + + Xn) = kn 。解 由 对 称 性 知 E( Xi1 + Xi2 + + XikX
5、1 + X2 + + Xn) = E( X1 + X2 + + XkX1 + X2 + + Xn) 。 而Ckn E( Xi1 + Xi2 + + XikX1 + X2 + + Xn) = E( Ckn kn X1 + X2 + + XkX1 + X2 + + Xn) = Ckn kn ,故 E( X1 + X2 + + XkX1 + X2 + + Xn) = kn 。2 套 用 公 式例 4 设 X 为 取 非 负 整 数 值 的 随 机 变 量 ,证 明 E( X) = n =1P X n 。证 明 利 用 级 数 交 换 和 号 的 技 巧E( X) = k =1kP X = k = k
6、 =1 kn =1P X = k = n =1 k = nP X = k = n =1P X n 。注 对 于 某 些 随 机 变 量 直 接 求 其 概 率 分 布 较 困 难 ,而 求 P( X n) 较 易 ,则 可 套 用 上 述 公 式 求 得 期33Vol. 8 ,No. 1 高 等 数 学 研 究 Jan. ,2005 STUDIES IN COLL EGE MATHEMATICS 3 收 稿 日 期 :03 - 04 - 25望 值 。例 5 在 贝 努 里 试 验 中 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p ,试 验 进 行 到 成 功 与 失 败 均 出 现 时 停
7、止 ,求 平 均 试验 次 数 。解 设 成 功 与 失 败 均 出 现 时 的 试 验 次 数 为 X ,则P( X 1) = 1 , P( X n) = pn- 1 + qn- 1 , n = 2 ,3 , (q = 1 - p) 。EX = P( X 1) + n = 2P( X n) = 1 + n = 2( Pn- 1 + qn- 1 ) = 1 + p1 - p + q1 - q = p2 - p + 1p(1 - p) 。例 6 从 装 有 黑 、 白 、 红 球 各 一 个 的 袋 中 任 意 地 摸 球 ,每 次 摸 后 都 把 球 放 回 袋 中 ,直 至 三 种 颜 色的
8、 球 都 出 现 为 止 。 求 平 均 摸 球 次 数 。解 法 1 设 需 摸 球 次 数 为 X , A1 =“ 摸 了 ( n - 1) 次 还 未 摸 到 黑 球 ” , A2 =“ 摸 了 ( n - 1) 次 还 未摸 到 白 球 ” , A3 =“ 摸 了 ( n - 1) 次 还 未 摸 到 红 球 ” 。 则 X n 等 价 于 摸 了 ( n - 1) 次 至 少 还 有 一 种颜 色 的 球 没 摸 到 , 有 P X n = P( A1 + A2 + A3 ) , P( A i ) = 23n- 1, i = 1 ,2 ,3 ; P( A1 A2 ) =P( A2 A
9、3 ) = P( A1 A3 ) = 13n- 1; P( A1 A2 A3 ) = 0。 由 三 事 件 加 法 公 式 得 P X n = 3 23n- 1- 3 13n- 1, ( n 3) 。 而 P( X 1) = 1 , P( X 2) = 1 ,故EX = P( X 1) + P( X 2) + n = 3P( X 3)= 2 + n = 33 23n- 1- 3 13n- 1= 2 + 72 = 5 12 。31 分 解 随 机 变 量对 于 某 些 随 机 变 量 ,可 将 其 分 解 成 几 个 随 机 变 量 之 和 ,分 别 求 其 数 学 期 望 ,进 而 由 期 望
10、 的 性 质得 所 求 随 机 变 量 的 数 学 期 望 。 现 仍 以 例 6 的 求 解 来 说 明 这 种 方 法 。解 法 2 设 X1 表 示 摸 出 第 一 种 颜 色 的 球 所 需 次 数 ,显 然 X1 = 1 ,以 X2 表 示 摸 出 第 二 种 颜 色 的 球再 需 要 摸 的 次 数 ,以 X3 表 示 摸 出 第 三 种 颜 色 的 球 再 需 要 摸 的 次 数 , X 为 所 需 摸 球 次 数 ,则 X = X1 +X2 + X3 。 显 然 X2 与 X3 都 服 从 几 何 分 布 ,且 P X2 = k = 13k- 1 23 , P X3 = k =
11、 23k- 1 13 ,k = 1 ,2 , ,从 而 EX 2 = 32 , EX 3 = 3。 故 EX = EX 1 + EX 2 + EX 3 = 1 + 32 + 3 = 5 12 。例 7 掷 一 个 均 匀 的 骰 子 直 至 6 个 点 都 出 现 为 止 ,求 平 均 所 掷 次 数 。解 类 似 于 上 例 设 X 为 所 需 掷 的 次 数 ,将 其 分 解 成 六 个 随 机 变 量 之 和 ,且 每 个 变 量 都 服 从 几何 分 布 ,进 而 可 得 EX = 1 + 65 + 64 + 63 + 62 + 6 = 493 。例 8 将 一 副 扑 克 牌 洗 匀
12、 ,然 后 从 顶 上 开 始 一 张 接 一 张 地 翻 牌 ,分 别 求 翻 到 第 一 、 二 、 三 、 四 张A 所 需 平 均 次 数 。解 设 想 将 扑 克 牌 一 张 张 翻 到 底 ,把 牌 作 全 排 列 。 四 张 A 把 整 个 排 列 分 割 成 五 段 :第 一 张 A 之前 的 牌 数 为 X1 ,第 一 张 A 与 第 二 张 A 之 间 的 牌 数 为 X 2 ,第 二 张 A 与 第 三 张 A 之 间 的 牌 数 为 X 3 ,第三 张 A 与 第 四 张 A 之 间 的 牌 数 为 X 4 ,第 四 张 A 之 后 的 牌 数 为 X 5 。 由 对
13、称 性 知 EX 1 = EX 2 = EX 3= EX 4 = EX 5 ,且 5i = 1X i = 52 - 4 = 48。 所 以 EX i = 485 = 9 35 ( i = 1 ,2 ,3 ,4) 。 故E( X1 + 1) = 10 35 , E( X1 + X2 + 2) = 21 15 ,43 高 等 数 学 研 究 2005 年 1 月E( X1 + X2 + X3 + 3) = 31 45 , E( X1 + X2 + X3 + X4 + 4) = 4 + 4 485 = 42 25 。例 9 某 人 一 次 写 了 n封 信 ,又 写 了 n个 信 封 ,如 果 他
14、任 意 地 将 n张 信 纸 装 入 n 个 信 封 中 ,求 平均 装 对 的 信 件 数 。解 设 X k = 1 第 k 封 信 恰 好 装 入 其 信 封 ,0 第 k 封 信 没 有 装 入 其 信 封 。 则 X = nk = 1X k 为 所 有 装 对 的 信 件 数 。EX k = 1 P X k = 1 + 0 P X k = 0 = 1/ n , EX = nk = 1EX k = n 1/ n = 1。注 1 本 题 为 著 名 的 “ 匹 配 问 题 ” ,有 趣 的 是 其 期 望 与 方 差 均 为 1。 这 是 因 为 当 n 充 分 大 时 ,有 k个 配 对
15、 的 概 率 近 似 地 等 于 e- 1 / k ! ,即 参 数 为 1 的 泊 松 分 布 。注 2 若 用 期 望 定 义 可 得 EX = nr = 11( r - 1) ! n- rk = 0( - 1) kk ! ,故 得 nr = 11( r - 1) ! n- rk = 0( - 1) kk ! 1。注 3 类 似 于 本 例 可 以 求 得 二 项 分 布 、 超 几 何 分 布 等 数 学 期 望 。41 递 推 法对 于 某 些 随 机 变 量 的 数 学 期 望 ,可 以 容 易 求 得 其 邻 近 数 值 的 关 系 ,进 而 得 出 其 递 推 公 式 。例 10
16、 设 试 验 有 m 个 等 可 能 的 结 果 。 求 至 少 一 个 结 果 连 续 发 生 k 次 的 独 立 试 验 的 期 望 次 数 。解 设 A k- 1 =“ 至 少 一 个 结 果 连 续 发 生 k - 1次 ” , A k =“ 至 少 一 个 结 果 连 续 发 生 k次 ” 。 在 A k- 1发 生 的 条 件 下 ,或 者 继 续 试 验 一 次 ,同 一 结 果 又 发 生 的 概 率 为 1/ m ,导 致 A k 发 生 ;或 者 继 续 试 验 一次 ,而 发 生 其 它 结 果 ,这 样 ,要 使 A k 发 生 ,犹 如 从 头 开 始 。 由 此 得
17、 Ek = Ek- 1 + 1 1m + 1 - 1m Ek ,即 Ek = m Ek- 1 + 1 ,而 E1 = 1 ,故 Ek = 1 + m + m2 + + mk- 1 = ( mk - 1) / ( m - 1) 。51 母 函 数 法有 些 随 机 变 量 的 期 望 利 用 母 函 数 或 特 征 函 数 求 解 较 易 。 若 数 学 期 望 存 在 时 ,有 EX = p (1) 或EX = (0) / i。例 11 试 用 母 函 数 法 求 巴 斯 卡 分 布 的 数 学 期 望 。解 巴 斯 卡 分 布 为 P X = n = Ck- 1n- 1 qn- k p k
18、, n = k , k = 1 ,2 , 。 其 母 函 数 为p(s) = n = kCk- 1n- 1 qn- k p ksn 令 m = n - k p k m = 0Ck- 1m+ k- 1 qmsmsk = pksk m = 0Cmm+k- 1 ( qs) m = pksk/ (1 - qs) k 。EX = p (1) = pk ksk- 1 (1 - qs) k + ks k (1 - qs) k- 1 q(1 - q) 2 k s = 1 =kp ks k- 1(1 - qs) k+1 s = 1 =kp 。(上 接 第 32 页 )ej = (0 , ,0 ,1 ,0 , ,
19、0) 。其 实 , ej 也 是 线 性 规 划 问 题 maxS = cx , A x Pj , x 0 的 可 行 解 。 由 题 设 条 件 , u 满 足 不 等 式ub cx ,将 b = Pj 及 相 应 的 可 行 解 e j 依 次 代 入 上 述 不 等 式 就 得 到 n 个 不 等 式 u P j cj (j = 1 ,2 , , n) 。 将 它 们 写 成 向 量 不 等 式 就 是 ( uP1 , uP2 , , uP n) ( ce1 , ce2 , , cen) 。 利 用 向 量 的 运 算 性质 我 们 得 到 u( P1 , P2 , , Pn) c( e
20、1 , e2 , , en) 。 再 写 成 矩 阵 的 形 式 就 是 uA c。 这 说 明 相 应 的 对偶 线 性 规 划 的 约 束 方 程 成 立 。 证 毕 。定 理 设 x 是 线 性 规 划 问 题 (L . P) 的 可 行 解 ,则 非 负 向 量 u 满 足 相 应 对 偶 线 性 规 划 问 题 (D.P) 的 约 束 方 程 uA c的 充 分 必 要 条 件 是 对 任 何 常 向 量 b及 满 足 约 束 条 件 A x b, x 0 的 一 切 x都 有 ub cx 成 立 。证 明 由 引 理 1、 引 理 2 直 接 推 出 。53第 8 卷 第 1 期 徐 传 胜 :离 散 型 随 机 变 量 数 学 期 望 的 求 法 探 究
