1、 - 25 - 康普頓效應-碰撞後的電子 賴奕帆 臺北市私立薇閣高級中學 壹、前言 高三下學康普頓效應時，學生總有個疑問，康普頓散射公式真的只能死背嗎？X 射線與電子碰撞後，散射光子的波長變長，但碰撞後的電子呢，為何無法得知碰撞後的電子速態？ 康普頓效應，由於碰撞後的電子獲得極高的能，能用古典221mvKe=、mvPe= ，必須用狹義相對中，茲變換換算而得的2)1( mcKe= 、mvPe= ，計算電子動能與動。 愛因斯坦盛名所託，許多學生已知當子速接近光速時，將產生時間膨脹與長收縮現象，即茲變換的基本概。康普頓效應公式推導難確實較高，但相信仍有學生有能與興趣學習，非僅僅告知背起公式，扼其求知
2、慾。 此篇文章，希望能提供自己與教師們，協助成為中學生深入解康普頓效應與近代物概的鑰匙。 貳、康普頓散射公式的推導 入射 X 光光子波長 ，散射光子波長 m ，電子的靜止質 v，碰撞獲得動能後速為 v，質變成 m ，散射光子在 方向，電子反衝角為 。 圖一、康普頓效應中，光子及電子能、動示意圖科學教育月刊 第 318 期 中華民國九十八五月 - 26 - 一、散射光子波長 X 方向動守恆： coscoscoscos mvhvmhh+=+=() 1 Y 方向動守恆： sinsinsinsin0 mvhvmh=() 2 能守恆： 222mchccmhcmchc+=+=+ ( ) 3 其中 為茲因子
3、 211=cv() 4 由動守恆，餘弦定可知電子動為 (圖二 ) () cos22222+=hhhmv( ) 5 將() 3 式同除 c，整後平方得 ()()+=222222)11(2hhmchhmcmc() 6 ( ) 6 式減去( ) 5 式 () )cos1(2)11(22222222 +=hhmccmvcm() 7 ( ) 4 式 代入( ) 7 式，同除22hmc)cos1(11=mch() 8 ( ) 8 式整後得康普頓散射公式 )cos1( +=mch() 9 二、電子反衝角 (Electron Recoil angle)將( ) 1 式與( ) 2 式整後相除得 coscos=
4、hhmv() 10 sinsin=hmv() 11 cossincossintan=hhh圖二、康普頓效應中，光子及電子動示意圖 康普頓效應 -碰撞後的電子 - 27 - 故 =cossinarctan( )12 三、電子碰撞後速 v() 4 式的 代入( ) 5 式 cos2)()(22222222+=hhhvccvm()14 將()14 式整後得電子碰撞後速 v為 cos2)()(cos2)()(222222222+=hhhcmhhhcv()15 參、數值代入與繪圖 電子的靜止質 kgm3110109.9= ，卜克常 sJh =3410626.6 ，光速smc /10998.28= ，並用
5、學軟體Mathematic 繪圖討。 一、康普頓位移函圖 () 9 式整後為康普頓位移，為光子散射角 的函 )cos1( =mch( )16 () 16 式中mch是一個常1210426.2 公尺，稱為康普頓波長，圖三為康普頓位移函圖。 當光子散射角為 180D時，康普頓位移最大，為1210852.4 公尺。 圖四為入射 X 射線波長 pm8.70=照射石墨後得到四個同的散射角 的實驗據，其縱軸為散射光的強，橫軸為散射光的波長。可得知康卜吞波長與入射光波長無關。 二、電子反衝角 函圖 ( ) 12 式為電子碰撞後反衝角 ，為入射光子波長 與光子散射角 的函，由動守恆可知，當光子散射角 為D0
6、與D018 時，電子反衝角為D0 。 圖五為光子波長pm8.701=，pm3.242=，pm43.23=下，電子反衝角函圖。 圖五得知，當入射光子波長越短，電子的最大反衝角越小。 三、電子速 v函圖 ( ) 15 式為電子碰撞後速 v，為入射光子波長 與光子散射角 的函，由相對知，電子獲得多大的動能，其極限速為光速。 圖為光子波長 pm8.701= ，pm3.242= ， pm43.23= 下，電子速函圖。 由圖得知，當光子波長越短，光子散射角大，電子獲得的速(動能)越大。在康普頓散射實驗中，電子速已經接近極限速，碰撞後質必須用茲因子轉換方可適用。 圖七為光子散射角D0181= ，D092=，
7、D453=，電子速函圖。 科學教育月刊 第 318 期 中華民國九十八五月 - 28 - 圖五、電子反衝角函圖 圖三、康普頓位移函圖 圖四、波長為 0.708 的 X 光照射在石墨上 4 組同散射角的測結果15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1801234散射角 (D) )(pm 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 18020406080電子反衝角 (D) 光子散射角 (D)pm8.701=pm3.242=pm43.23=康普頓效應 -碰撞後的電子 - 29 - 圖七、電子速-光子波長函圖-1 圖、電子速-光子
8、散射角函圖 圖八、電子速-光子波長函圖-2 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.51.01.52.0速( sm /108) 光子散射角 (D) 20 40 60 80 1000.20.40.60.81.01.2pm43.23=pm3.242= pm8.701=D0181= D902= D453= 速( sm /108) 光子波長 )(pm 1 2 5 10 20 50 1000.101.000.500.202.000.303.000.151.500.70D0181=D902=D453= 速( sm /108) 光子波長 )(pm 科學教育月刊
9、第 318 期 中華民國九十八五月 - 30 - 固定波長入射自由電子，光子散射角為D0181= 時，電子將獲得最大速。 圖七中，入射光子波長小於1110公尺時，難以得知電子碰撞後的最大速，故將 x 軸改以對繪製圖八。 由圖八可知，當入射光子波長小於1210公尺(-ray)，碰撞後電子速接近極限速 c ，入射光子波長多小，電子速均會超過光速。 康普頓效應，入射光子波長pm8.70= ，光子散射角D09 與D018 ，碰撞後的電子速分別為7104.1 與7102 sm / ，電子獲得動能高達 eV570與 eV1140 ，遠高於物質對電子的束縛能，因此電子可視為自由電子進彈性碰撞，而非以光電效應
10、討之。 肆、結語 康普頓效應，最常討的問題為： z 散射光子的波長、頻、動與能。 z 碰撞後電子的動、動能與角。 z 碰撞後電子的物質波波長。 相信學習科學是建在好奇心與充分的解之上。對多中等學生而言，近代物是難以捉模解的一門學問。而康卜頓效該僅於考題公式的運用與計算，希望有能的學生，能閱解此文，將對康普頓效應、光電效應與近代物能有深一層的解。 參考資料 Physics: Principles and Problems, Paul W Zitzewitz, McGraw-Hill Education Co. (1999) 王正 (2002)，近代物學，京大學出版社。 Halliday, D., Resnick, R. & Walker, J. (2005), Fundamentals of Physics (7th Edition, Extended), New York: John Wiley & Sons, Inc 褚德三 (2008)，普通高級中學 選修物(下 )，騰文化事業。
