1、第32卷第4期 2007年12月 广西大学学报(自然科学版) Journal of Guangxi University(Nat Sci Ed) Vo132，NO4 DeC，2007 文章编号：10017445(2007)04034105 存货影响销售率且短缺量部分拖后的EOQ模型 莫降涛，徐春明，温宗良 (广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004) 摘要：建立了易腐性物质的EOQ模型，其中销售率是库存水平和理论需求率的函数，允许缺货且短缺量部分 拖后然后，证明了模型的最优补货策略是存在且唯一的，给出了求解方法最后，用数值例子和灵敏度分析对 模型进行了说明 关键词：E0Q；库存；Ram
2、p型需求；销售率；短缺量部分拖后 中图分类号：0227 文献标识码：A An EOQ model with stock dependent selling rate and partial backlogging MO Jiangtao，XU Chunming，WEN Zongliang (College of Mathematics and Information Science，Guangxi University，Nanning 530004，China) Abstract：An EOQ model for deteriorating items with partial backlog
3、ging is developed， where the selling rate is a function of inventory level and a ramp type demand rateFirst，the optimal replenishment policy not only exits but also is uniqueThen，a procedure for finding the optimal solution is givenFinally，numerical examples and sensitivity analyses are presented to
4、 illustrate the model and solution procedure Key words：EOQ；inventory；Ramp type demand rate；selling ratepartial backlogging 市场研究人员经常发现，产品货架上摆放得 越多，越容易吸引更多的顾客，即需求率与库存 水平有关，这种现象被称作“存货影响销售率”L1 许多学者对库存水平影响销售率的库存问题进行 了研究，如：文2研究了一类易腐性物质库存模 型，其中需求率为Ramp型函数，即需求率开始随 时间的推移而增加，当增至某一固定点时变为常 数并保持不变，这种需求类型在新的商品进入市
5、 场过程中经常见到；在存货影响销售率且理论需 求率为Ramp型的条件下，文E33讨论了一类以缺 货开始的易腐物质EOQ模型 在允许缺货的库存模型中，一般假定：短缺量 完全拖后或完全丢失而在现实中，如果出现缺货 的情况，一些顾客愿意等待供货，另一些则不愿意 等待而转投它处购买，从而形成短缺量部分拖后 供给的现象近年来，短缺量部分拖后的问题得到 广泛研究在时变需求条件下，文E43研究易腐物 质短缺量部分拖后的库存问题；文E53考虑变质、 短缺量部分拖后等因素，建立了单一产品定价和 批量的库存模型；文E63建立了易腐物质的生产库 存模型在这些文献中，短缺量拖后率采用两种方 式：一种为现货需求率的一个
6、固定比例，一种是等 待时间的减函数 本文考虑一种库存系统：在计划期期初补货， 收稿日期：20070915；修订日期：200711一O1 基金项目：广西自然科学基金(0542043) 作者简介：莫降涛(1963一)，男，广西荔浦人，广西大学教授 维普资讯 http:/ 342 广西大学学报(自然科学版) 允许缺货且短缺量部分拖后，拖后率为一常数，销 售率是库存水平和理论需求率的函数通过优化 总成本，建立了相应的库存模型，并证明了库存系 统的最优补货策略存在且唯一，最后给出了求解 方法、数值例子及灵敏度分析 1假设与记号 本文采用以下记号： (1)T表示库存系统运行的固定计划期长 度，Q表示计划期
7、的订货批量 (2)C。， 和 分别表示单位商品的进货成 本，变质成本和丢单成本，C 和C，分别表示单位 时间单位商品的存储成本和缺货成本 (3)I(f)表示时刻t的库存量，n表示总成 本 (4)R(f)表示O，丁内的理论需求率，设其 为Ramp型需求函数 fDot， O0， D(t)-IR(f)， (f)o， 其中a是正的常数 建立模型所需假设： (1)库存系统运行在有限的时间水平上，订 货瞬时补货，提前期为零 (2)商品的变质率为一常数0且仅在商品进 入存储时才考虑变质 (3)计划期期初补货，计划期内允许缺货且 部分拖后，拖后率为B，其中B为常数且OCo，假设的合理性见文73 2模型的建立与
8、分析 根据假设，在Eo，t1时段，库存受变质和需求 的影响，(f)的变化可描述为 dI (t一)+0I(f)：一R(f)一口 (f)， Q tEo，t1， (1) 在f ，丁时段，库存水平在t 时刻减为0，即 (f )一0，I(f)的变化可描述为 一一BR( f 丁 (2) 第32卷 (1)看o4 l ，上述方程日J以变为 +0I(f)一一D 口I(t)，o 4 f =一BD f。4 t ， 百dI(t)一一BD。 ， f 4 T 利用边界条件I(t。)20及 (f)在f一 时刻的相容 性，可得 I(t)一 e(O+a)(tl-t)( +a)f。一i3一 ( +a)t一1，0ttl， (f)：
9、 ，f f ， (f)一一BD + 迎 ， f丁 由Q (O)一 (丁)得 Q一 e(0+a)t1( +口)f。一1+1+ BD。 一 (3) 则购买成本为 一C。Q，变质成本为H ： f (f)出，存储成本为H ： f (f)出，丢单 J U J U 损失为 H：C r(1一B)D。fdf+厂(1一B)Dozdf， Jf1 J 缺货损失为 H 一一e c c d + c 出 因此得到计划期O，丁内的总成本为 Tc、 1 =H c+H h+H d+H L+H = (c。+Ca)D。 P(蚪。 ( +口)f 一1+1t+ 一 )+(c + D0 (1一 )|一)一 车 一 CdDotJ2+堡 +
10、B (丁一 )一 C,D0 一 + 一 + n 0 J CD。 二-_璺 + (1一B)(丁一 ) (2)若z4t T，则方程(1)(2)整理为 十0I(f)一一D。卜 o 4 ， 维普资讯 http:/ 第4期 莫降涛等：存货影响销售率且短缺量部分拖后的EOQ模型 343 十Ol()一 一aI(t)， f =一BD 丁 类似情况(1)可得该计划期内的总成本为 Tc2(f1)一(c。 等 一Bn(f-一丁)+(c +aCa)D。南 “-+ _=l_ (1一 +d )+ 一 ,u+t 3一 CaD。 + (f1一 )+Bt(Tf1)+ C,D。星 一B 丁+c D (1一B)(T-&) 于是，库
11、存系统的总成本函数为 丁 因此我们的库存模型为 min Tc( )， sto T 4 我们的目标是求得最优订货批量Q ，使总成本 Tc( )最小通过求(4)得最优解t ，代入(3)得到最 优的订货批量Q 设Ot T，令 f(t1)一(Co十C )(e lB)十 C +十a口Ca(e(O+a)l 一1)一 (CL十C )(1一B)一C B(丁一t1) (5) 可得下面的结论： 引理1 f(t )是关于t 的严格递增函数且 f(o)o， 所以f(t )是关于t 的严格递增函数 厂(O)：=(CoCL)(1B)一C B丁， 又C C。，因此厂(O)0，则存在唯一的最优缺货点 t1 (O， )使得Tc
12、1(1)最J、 (2)若厂( )0，使得Tc (f )最小的最优缺货点 t1 = 证 若o ，经计算得 一 D0t1f(t1) (1)若厂( )0，由引理1知，(0)0 即存在唯一的最优缺货点 (O， )使得丁f ( )最 小 (2)若厂( )0，Xf(t )是关于t 的严格递增函 数知f(t )o，厂(丁)0，则使得丁f ( )最小 的最优缺货点 一 (2)若厂( )0，则存在唯一的最优 缺货点t ( ，丁)，使得r，c ( )最小 (3)若厂( )1o，厂(丁)O，又f(t1)是关于t1的 严格递增函数，可得0f( )f(t )f(T)， 一Dolf(t1) 口丁c_2(t1)是关 的增
13、函数，从而使得Tc ( )最小的最优缺货点 一 (2)若f( )0，则存在1 ( ，丁) 使得f(t )一0，又f(t )是关于t 的严格递增函数，则 存在唯一的t ( ，丁)使得f(t )一0，从而 一Doff( )一0，d t1 对 2(f )关于t1求二阶导数得 一(c。十c ) 十 c。十c e +寸 十 C B0 即存在唯一的最优缺货点t ，丁使得了1c (f )最 小 (3)若厂( )O或 t T， 厂( )0的情况，利用一维搜索的方法确 定缺货点 第3步计算并比较Tc ( )，il，2，其中最 小者为库存系统的最优费用，最优费用所对应的t 为 最优缺货点，将此t 代入(3)得到最
14、优的订货批量 Q 考虑如下数字例子：Co一10，Ch一2， l，C 一 25，C 一22，D。一100，T一3， =01，口一01，利用 本文提供的方法计算可得表1 表1计算结果 Tab1 Computational results 通过表l，可以得到如下结论： (1)当 =06，B一01时，库存系统的最优缺货 点在t 一T一3，计划期的最佳订货批量为 649082 l，最小的总成本为2 970817 0； (2)当 一2，B一05时，库存系统在时段 (26524，3)内发生缺货，计划期的最佳订货批量为 528955 2，最，J、的总成本为7 710210 3； (3)当 一28，B一06时，
15、库存系统在时段 (26008，3)内发生缺货，计划期的最佳订货批量为 547791 9，最小的总成本为6 245744 8 除参数 ，B，0， 外，本模型的其它参数都比较容 易精确地确定因此，以上述第2种情形( 一2，B一 05)为例，我们考虑了这些参数的波动对系统最优总成 本的影响，计算结果列于表2从表2知，参数B，0，a的 波动幅度在2O 以内时，系统最优总成本的变化不超过 4 可见，参数B，0，a的微小波动对系统最优总成本 影响很小而参数 的波动幅度在2O 以内时，系统最 优总成本的变化不超过l4 可见，参数 的微小波动 对系统的最比总成本影响也较小 表2 参数的波动对最优总成本的影响
16、Tab2 Effect of changing parameters on the optimal total cost 维普资讯 http:/ 第4期 莫降涛等：存货影响销售率且短缺量部分拖后的EOQ模型 345 4结束语 本文考虑销售率是库存水平和理论需求率的 函数、拖后率是常数的情形，建立了以总成本最小 为目标的EOQ模型，证明了模型的最优补货策略 的存在唯一性，并用数值例子进行了验证本文所 讨论的模型为实际的库存管理决策提供了依据， 下一步可考虑计划期 为变量、变质率和拖后率 分别为时间的一般函数的模型，对计划期等进行 优化 参考文献： 1-13 Padmanabhan G，Vrat
17、PEOQ models for perishable items under stock dependent selling rateJ European Journal of 0perational Research，1995， 86：281292 23 Manna S KChaudhuri K SAn EOQ model with ramp type demand rate，time dependent deterioration rate，unit production cOst and shortagesJEuropean Journal of Operational Research
18、，2006，l71：557-566 3赵培忻，王 红一类时变需求且存货影响销售率的 EOQ模型J数学的实践与认识2006，36(2)：23- 27 4 Chang H J，Dye C YAn EOQ model for deteriorating items with time varying demand and partial backloggingJJournal of Operational Research Society，1999，50：1 176-118 2 5 Abad P LOptimal pricing and lotsizing under conditions of p
19、erishability and partial backordering JManagement Science，1 99642：1 0931 104 6Yan H，Cheng TCEOptimal production stopping and restarting times for an E0Q model with deteriorating itemsJJournal of Operational Research Society，1998，49：1 2881 295 7Goyal S K，Girl B CA comment on Chang and Dye (1 999)：EOQ
20、 model for deteriorating items with timevarying demand and partial backloggingJ Journal of 0perational Research Society，2001，52： 238239 (责任编辑刘海涛) 广西大学学报(自然科学版)有关论文著作使用权的声明 凡向本刊所投的稿件，即视为同意将该论文的复制权、发行权、信息网络传播权、翻译权、汇编权等 权利授予本刊，凡被本刊录用的稿件将同时通过因特网进行网络出版或提供信息服务。稿件一经刊用， 将一次性支付作者稿酬，该稿酬含著作使用权的报酬。如作者有异议，请在来稿中说明。 维普资讯 http:/
