1、实验四 行列式和线性方程组 一、实验目的 掌握关于行列式计算和线性方程组求解的Matlab命令，加深对行列式性质和线性方程组解的结构的理解. 二、行列式的计算 (1) 先输入矩阵A, 然后用命令det(A)计算矩阵A的行列式. 例： 计算行列式3214214314324321. A=1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3 D=det(A) % 输出结果： D= 160 (2) 范德蒙德行列式的计算 例： 计算范德蒙德行列式 4444433333222226543265432654326543211111 c=2 3 4 5 6 % 输入向量c A0=vander(
2、c) % 生成由c定义的范德蒙德矩阵，该矩阵与高代教材上的(通常的)范德蒙德矩阵稍有差别。 A=fliplr(A0) % 将A0左右翻转，再取转置即得到(通常的) 范德蒙德矩阵 D=det(A) 三、计算向量组的线性关系 对于列向量组s ,1，, 为求其线性关系，可将其作为列组成矩阵A，然后将A化为约化行阶梯形矩阵（使用语句为rref(A)）, 即可观察到s ,1，的线性关系. 注：对一般的向量空间中的向量组，可取定一个基底，找出这个向量组在该基底下对应的坐标，对这组坐标向量进行上面的操作即可. 例： 设有向量组1(1,2, 1,2)T =,2(1, 3, 4,8)T = ,3( 1,0,1,
3、0)T = , 4(0,1,2,3)T = , 5(1,4,4,9)T = . 求该向量组的秩，找出它的一个极大无关组，并将其它向量用这个极大无关组表示. a1=1 2 1 2; a2=1 3 4 8; a3=1 0 1 0; a4=0 1 2 3;a5=1 4 4 9; A=a1 a2 a3 a4 a5 R=rref(A) (原向量组的线性关系与约化行阶梯形矩阵R的列的线性关系一致, 容易观察到R的极大无关组, 并将其它向量用该极大无关组表示) 四、线性方程组的求解 1. 输入系数矩阵A，常数列b, 及增广矩阵A1=(A,b). 2. 判断Ax=b是否有解，即判断A与A1的秩是否相同. 使用
4、命令 rank(A) =A1 % 逻辑值, 结果为1表示真，为0表示假，若真则有解，否则无解. 3. Ax=b有解时可用如下方式之一求解： （1）求增广矩阵A1=(A,b)的约化行阶梯形，进而观察方程组的解，可手动写出参数形式解和通解. （2）用命令b/A可求出方程组的一个特解， 用命令X=null(A, r)求齐次方程组Ax=0的基础解系. 例：判断线性方程组 =+=+=+.2749,42253,6372432143214321xxxxxxxxxxxx是否有解，若有解求出其解. A=2 7 3 1; 3 5 2 2; 9 4 1 7, b=6,4,2 A1=A,b rank(A)=rank(
5、B) % 输出结果为1，所以方程组有解 求解方法一： rref(B) % 由此可观察到参数形式解并写出通解 求解方法二： bA % 得到一个Ax=b的一个特解 3/4, 5/4,1/2,1/2T null(A, r) % 求出Ax=0的基础解系 1/11 5/11 1 0T, 9/11 1/11 0 1T% 进而得到通解x=a1/11 5/11 1 0T+b9/11 1/11 0 1T+3/4, 5/4,1/2,1/2T五、练习 1. 计算行列式1111111111111111+aaaa的值. 求a=100时该行列式的值. 并求a取何值时该行列式为0？ 2. 用Cramer法则求解线性方程组1
6、2341234123412 3 4524223 5 23210xxxxxxxxxxxxxx x x+=+ + = =+ + =3. 编制一个函数用于计算行列式 12 1n23 1132121nnnDnn nnn= （要求：输入阶数n，输出Dn的值. ） 用该函数计算D4, D7,D100. 4. 计算行列式54 3223 411111111154 3223 422222222254 3223 45 33333333354 3223 444444444454 3223 4555555555aababababaababababD aababababaababababaabababab= . (提示：转换为范德蒙德行列式) 5. 设有向量组 )53,2,0,1(1，= , )5,3,3,2,1-(2= , )5,4,2,0,1(3= , )1,43,3-,1-(4，= , )0,2,1,2,2(5= , 求该向量组的一个极大无关组并将其它向量用该极大无关组线性表示. 6. 判断线性方程组 =+=+=+=+362210127048323213243214321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx是否有解. 若有解，求出其通解.
