1、前面三节我们介绍了线性方程、变量可分离方程和全微分方程的求解问题，同时还介绍了一些可以通过适当变化化为这三类方程的方法。事实上，还有许多方程可以通过变量变化方法化为已知类型来求解。2.4 变量替换法例如： 对微分方程,2sin2yxxydxdy +=，就将方程变换为下面我们介绍几种常见类型的变量替换法。通过引进新的变量2yz =.sin xxzdxdz+=线性方程：形如 0)()( =+ dyxyxgdxxyyf方程引进变量 xyz = ，则,2xzdxxdzdyxzy=原方程可化为0)()()( =+ dzzgdxzgzfxz这是一个变量可分离的方程。例 2.4.1 求方程对上式分离变量得：
2、0)()(22=+ dyyxxdxxyy（ 2.4.1）解： 令,xyz = 则,ydxxdydz +=代入（ 2.4.3 ） 整理得0)(1()1( =+ zdxxdzzdxzz积分得代入原变量得到（2.4.3）的通解为：0122=+ dzzzxdxCzzx = ln1ln2.1ln Cxyyx=利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一般依赖于方程的形式和求导的经验。其它变化法例 2.4.2 求方程（ 2.4.2）0)1()( =+ dyxdxyxy解：将此方程改写为：做变化xzy =0=+ dyxdyydxdxxy。因为,zdxxdzdy +=代入方程后得：0)()(2=+ dzxxdxzz
3、这是一个变量可分离方程，求解得.)1(112zCx+=故原方程的通解为.)1(112xyCx+=例 2.4.3 求方程yxxdxdy+=+2（ 2.4.3）解：该方程求解的困难在于右端的根号，因为代入（2.4.3）.)2()(222Cyxxyxx =+yxz +=22,22 dyxdxzdz +=我们希望去根号，因此，做变化zxdxdzz =2这是一个齐次方程：,2zzxdxdz += 求解得故我们做变化例 2.4.4 求方程)()( dydxxyydxxdyyx +=+解：根据经验，仔细观察该方程的特征：.)(,)( ydxxdyxyddydxyxd +=+=+., vxyuyx =+代人原
4、方程得：.vduudv =).( yxCxy +=例 2.4.5 求解方程.0)cos2(sin22=+ yxyxdxdy解：仔细观察该方程的特征：.cos1tan,cossin22sin2ydyydyyy =对方程做恒等变形得，.0)cossin2(cos122=+ xyyxdxdyy自然做变化,tan y求解上面的线性方程得：z =原方程化为：.23xxzdxdz=+.)1(21tan22 xCexy+=形如定义Riccati方程).()()(2xfyxqyxpdxdy+=的方程称为Riccati 方程。一般情况下，Riccati 方程无法用初等积分积分法求出其解，只是对一些特殊情况，或事
5、先知道了他的一个特解，才可以求出他的通解。都是常数时， Riccati方程时， Riccati方程是 Bernoulli方程 。Riccati方程一些可求解的特殊类型：1、当是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。)(),(),( xfxqxp2、当,0)( xp时， Riccati方程是线性方程。3、当,0)( xf4、当 Riccati方程的形式为:22xbyxlaydxdy+=+时，可利用变量替换将方程化为变量,xyz=可分离的方程。.)1(2bzlazdxdzx +=5、当 Riccati方程有一个特解，)(xy =时，可利用变量替换),(xzy +=代入原方程得).()()()()
6、(2)()(22xfxzxqxxzzxpdxxddxdz+=+ 因为，)(xy =是方程的解，因此方程变形为：2)()()()(2 zxpzxqxxpdxdz+= 这是一个Bernoulli方程。6、对一些特殊类型的 Riccati方程，我们介绍一个用变量替换法化为变量可分离方程的定理。.0,0 yx定理2.3 设 Riccati方程为：,2 mbxaydxdy=+其中mba ,都是常数，且设.0a又设则当),2,1(,124,124,2,0“=+= kkkkkm时，方程可通过适当变化化为变量可分离的方程。（2.4.4）代入原方程得证. 不妨设化为.1=a否则可通过变量变化axx =.1=a因
7、此，代替原方程，我们考虑mbxydxdy=+2当0=m时，上述方程是一个变量可分离的方程.2ybdxdy=当2=m时，做变量变化,xyz =（2.4.5）当).(12zzbxdxdz+=这是一个变量可分离的方程。124+=kkm时，做变量变化,1,111+= mbyxm代入原方程得：,)1(22 nmbdd+=+（2.4.6）其中,124=kkn再做变换,12zttt= 进一步可把方程变为：,)1(122 ltmzdtdz+=+其中.1)1(2)1(4+=kkl（2.4.7）的依赖关系不难看出，只要上述的方程（2.4.7 ）与 （2.4.5）在形式上是一样的，只是右端自变量的指数从m,l变为 比较ml与对k变化过程重复 次，就能把方程（2.4.5 ）化为k.0=m当,1)1(24+=kkm 时，方程（2.4.4 ）就是方程（ 2.4.6）。
