1、1 微分方程式 (Differential Equations)2 以前我們曾認有關解方程式的問題，譬 如： 1. 解方程式 解： 0 2 3 2 = + - x x 2 , 1 0 ) 2 )( 1 ( 2 3 2 = = - - = + - x x x x x3 此題中我們欲求滿足方程式的 值，而 稱之為方程式的解，所以中 或 能滿足方程式 ，故為此方 程式的解。 現在我們將討另一的方程式，譬如： x 1 = x 2 0 2 3 2 = + - x x4 2. 設有一函 ，通過點 的線斜為 ，試求此函。 根據題意，得一關係為 亦即 在上式方程式中包含一函的導， 所以我們稱之為微分方程式。
2、) (x f y = ) , ( y x x 2 x dx dy 2 = 0 2 = - x dx dy5 定義： 1. 一個包含有未知函與其導函(一次 或多次)的方程式稱之為微分方程式。 2. 一個微分方程式，僅包含有未知函 的一次導函，則稱此方程式為一階微 分方程式。6 3. 一個微分方程式，包含有未知函的 第n次導函(但含n次以上的導函)， 則稱此方程式為n階微分方程式。7 譬如： 1. 2. 為一階微分方程式。 3. 為二階微分方程式。 4. 為三階微分方程式。 0 2 3 2 = + - x dx dy 1 = + y x dx dy 0 3 2 2 = + - xy dx dy d
3、x y d 0 2 2 2 2 2 3 3 = - + yx dx y d dx y d8 回到題2中的微分方程式 中，將 的反導求出 則 滿足方程式 ，稱為 此微分方程式的解。 0 2 = - x dx dy 0 2 = - x dx dy + = C x xdx 2 2 x 2 C x y + = 29 當函 能滿足微分方程式的 關係時，稱為該方程式的解。解一個微分 方程式時，通常會出現常 (如2)，這 種帶有常的解，稱之為通解(general solution)。當問題中附有某條件，而用此 條件可求得特殊的 值，這種條件稱為原 始條件(initial condition)，而確定 值的解
4、 稱為特解(particular solution) ) (x f y = C C C10 3. 試證 為微分方程式 的解。 證：因 。故 所以得證。 1 = + x y dx dy 2 x x c y + = 2 1 2 + - = x c dx dy )2 ( 1 2 1 2 x x c x x c x y dx dy + + + - = + 1 2 1 2 1 2 2 = + + + - = x c x c11 4. 試證 為微分方程式 的解。 證：因故所以得證。 x c x c y sin cos 2 1 + = 1 2 2 = + y dx y d y x c x c dx y d
5、x c x c dx dy - = - - = + - = sin cos cos sin 2 1 2 2 2 1 0 2 2 = + y dx y d12 5. 解微分方程式 解：因邊積分得 此為方程式的通解。 0 1 2 = + - x dx dy 1 2 - = x dx dy c x x y + - = 213 6.在 平面上經過 點的曲線，且此曲 線在任一點上的線斜等於4倍的此點 座標值。 解： 表所求曲線，由題意得知 邊積分，得 又因點 在曲線上，代入上式，得 所以 xy ) 3, 1 ( x ) (x f y = x dx dy 4 = c x y + = 2 2 ) 3, 1
6、( c + = 2 1 2 3 1 = c14 因此， 即為所求。 此題中 為微分方程式 的通解，而 ， 為一原始條 件，滿足此條件所得 即為特 解。 1 2 ) ( 2 + = = x x f y c x y + = 2 2 x dx dy 4 = 1 = x 3 = y 1 2 2 + = x y15 7. 解 且 ， 解：因邊積分，得 此為方程式的通解。 x dx dy x ln = 1 = x 2 = y x x dx dy ln 1 = c x y + = 2 ) (ln 2 116 當 時， 代入上式得 因此 為此微分方程式的 特解。 1 = x 2 = y 2 ) 1 (ln 2
7、 1 2 2 = = + = C C C2 ) (ln 2 1 2 + = x y17 分變法 (Separation of Variables) 一微分方程式可整成 或則用 可求得微分方程式的解。 ) ( ) ( y h x g dx dy = dx x g dy y h ) ( ) ( = = dx x g dy y h ) ( ) (18 8. 解 解：分變得 邊積分，得 ( 與 均為任意常) 此為方程式的通解。 x dx dy y = xdx ydy = k x y + = 2 C x y + = 2 2 2 1 2 1 C x y 2 2 2 + = k C19 9. 解 解：分變，
8、得 邊積分，得 此為方程式之通解。 xy dx dy 2 = xdx dy y 2 1 = , ln 2 C x y + = C x y e e + = 2 ln C x C x e e e y = = + 2 2 2 x ke y =20 10. 解 解：因積分，得 xy y x dx dy 2 3 2 + = y x x dx dy ) 2 3 ( 2 + = dx x x y dy ) 2 3 ( 2 + = C x x y + + = 2 3 ln C x x C x x e e e y ) ( 2 3 2 3 + + + = = 2 3 x x ke + =21 1. 解 解：因積分
9、，得 故 2 3y e dx dy x = dx e dy y x = 2 3 C e y x + = 3 3 C e y x + =22 12. 解 ，且 ， 解： 當 ， ，代入上式，得 所以 為此微分方程式之解。 0 = x 1 = y y x dx dy ) 3 2 ( + = C x x y dx x y dy + + = + = 3 ln , ) 3 2 ( 2 Q x x C x x y ke e e y 3 3 ln 2 2 + + + = = = 0 = x 1 = y k ke = = 0 1 x x e y 3 2 + =23 13.解 ；且 ， 。 解： 當 ， 代入上
10、式，得 故 e x = 3 = y x y dx dy 2 = , 2 = x dx y dy Q C x y + = - ln 1 C x y + - = ln 1 e x = 3 = y C C e + - = + - = 1 1 ln 1 3 3 4 - = C 4 ln 3 3 3 4 ln 1 - = - - = x x y24 14. 解 ；且 ， 解： 1 = x 2 = y 1 2 ) 1 ( - - = x e y dx dy , ) 1 ( 1 2 dx e y dy x- = - - = - dx e y dy x 1 2 ) 1 ( , 1 1 1 C e y x +
11、= - - - C e y x + = - - -1 1 ) 1 ( C e C e C e y x x x + + - = + - = - - - 1 1 1 1 1 125 當 時 ，代入上式，得 故 為此微分方程式的 解。 1 = x 2 = y C C C e C e + = + + - = 1 1 2 0 0 C C = + 2 2 2 - = C 2 3 1 1 - - = - - x x e e y26 假如人口成長再某一時間 t 時，與 其現有人 y 成正比，即可寫成方程式 其中 k 為一常。當人口增加時， k 為正 值；人口減少時， k 為負值。欲求上面微 分方程式的解，我們
12、可用分變法， ky dt dy =27 得 上式中 ， 時 ，則求得 因此，得 上式通常稱作為指成長定(Low of exponentialgrouth)。 = kdt y dy kt C kt Ce e y C kt y = = + = + 1 1 ln 1 c e C = 0 = t 0 yy = 0 y C = kt e y y 0 =28 自從18世紀以，微分方程式對學習自然 科學者是非常重要的，像物學、工程學等 等，而逐漸地微分方程式已普遍應用在社會科 學、生命科學、經濟學、等等中，所以如何 解微分方程式相對的非常重要，所以我們必須 對各種同型的微分方程式研究有效的解題 技巧，要觸旁通，隨機應變，以解決有關 微分方程式的問題。後續章節中我們還有較深 入的探討。29 習題 求下各微分方程式的通解： 1. 2. 3. 2 4 3 1 x x dx dy + - = 4 2 3 2 = - dx dy x 1 3 2 - = x dx dy y30 習題 求下各微分方程式的通解： 4. 5. 6. y x dx dy 2 = x dx dy y y = - ) ( 2 x e y dx dy 2 =
