1、 2002 年 4 月 系统工程理论与实践 第 4 期 文章编号 : 100026788 (2002) 0420039206利率随资本结构变化条件下的组合投资有效边界陈 收 1, 邓小铁 2, 汪寿阳 3, 周 奕 1(1. 湖南大学国际商学院 , 湖南 长沙 410082; 2. 香港城市大学计算机科学系 , 香港 ; 3. 中国科学院数学与系统科学研究院系统科学研究所 , 北京 100080)摘要 : 根据企业理财中投融资决策的互动机理 , 针对不完全市场中存在的多种摩擦因子之一资本结构 (负债率或债权率 ) 对组合投资的影响 , 将资本结构与投资组合优化结合起来 , 在均值方差模型基础上
2、 , 引入随资本结构变化对利率的影响这一重要因素 , 研究其对组合投资有效边界及有效组合的作用 , 以及优化模型的解析解 L关键词 : 组合投资 ; 资本结构 ; 摩擦 ; 利率 ; 有效边界中图分类号 : F019; O 225 文献标识码 : A aT he Impact of V arying In terest R ate on Efficien t F ron tierCH EN Shou1, D EN G X iao2tie2, W AN G Shou2yang3, ZHOU Y i1(1. International Business Schoo l, H unan U nive
3、rsity, Changsha 410082, Ch ina; 2. D epartm ent of Com 2puter Science, C ity U niversity of Hong Kong, Kow loon, Hong Kong, Ch ina; 3. Institute of System Sci2ence, A cadem y of M athem atics and System s Sciences, Ch inese A cadem y of Sciences, Beijing 100080, Ch i2na)Abstract: A cco rding to inte
4、raction of financing and investm ent decisions, th is papercom bine w ith po rtfo lio selection and cap ital structure op tim ization in acco rdance w iththe impact of cap ital structure (interest rate o r debt rate) one of mo st friction in incom 2p lete m arket on po rtfo lio selection. Based on t
5、he m ean2variance model, the paper con2siders varying risk2free rate about the action of the cap ital structure and studies the effi2cient frontier of po rtfo lio selection and its fo rm ula under ro le of the cap ital structure.Key words: po rtfo lio selection; cap ital structure; friction; interes
6、t rate; efficientfrontier1 引言证券市场中关于投资、融资决策与风险管理问题的研究 , 自组合投资理论 (M arkow itz, 1952) 1 和 M -M 理论 (M odigliani andM iller, 1958) 2 建立以来一直在迅速发展 , 并在金融、投资领域得到广泛应用 L随着均值方差模型 1 、资本资产定价模型 (CA PM ) 3, 4 和 M 2M 理论的发展和实践 , 人们认识到以完全市场为前提的均衡理论和模型 , 为了简化计算的复杂性 , 忽略了现实投资与融资过程中多种摩擦因素影响 , 往往使得理论分析与实际问题决策存在距离 L现实资本市
7、场中存在许多非线性摩擦因素 , 如卖空限制 5- 9 、交易费用 10- 13 以及其它约束 14- 18 等 , 使之成为不完全市场 L当市场中增加非线性约束条件时 , 将使证券有效组合与有效边界发生改变 , 形成非均衡问题 L 非均衡是证券市场中投资与融资活动普遍存在的现象 , 投资者的组合投资选择和资本结构调整是一个动态的、不连续的、非均衡的过程 , 投资者的有效组合和资本结构受不对称信息、交易费用、贷款限制、财务风险、投融资政策、经济周期等多种宏观、微观因素的摩擦影响 ,单纯的均衡模型不能确切地描述现实市场 , 难以有效指导投资与融资决策 L 因此 , 有摩擦的证券市场中投a 收稿日期
8、 : 2000204210资助项目 : 国家自然科学基金 (79870031; 79910761860; 99942015) ; 香港 RGC 及香港 C ityU (1116 99E; 7001215) 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.资与融资的非均衡问题也就成为人们关注和研究的重点 L在现代投资理论和公司财务 (M 2M )理论的建立和发展过程中 , 不论是均衡或非均衡研究 , 几乎都没有考虑融资 (即资本结构问题 )对组合投资的摩擦影响 , 认为二者的风险不相关 L 但是 , 投
9、资与融资是现代企业资金运动中不可分割的两部分 , 投资者在做投资决策时应考虑融资因素和资本结构的变化 L T itm an 和W essels(1988)讨论了资本结构选择 19 , L eleand (1998)研究了代理成本与资本结构 20 LM auer 和 A lexan2der (1994)总结了投融资之间的关系 , 建立了投融资动态框架模型 21 LM odigliani, F. 和 M odigliani, L.(1997)建立了风险调整模型 22 L但这些研究工作主要集中在单一项目的投资与融资决策与风险管理中 , 虽然 M arkow itz(1987)提出了非线性借款成本问题
10、 23 , 而关于资本结构对于组合投资的摩擦影响研究甚少 L将组合投资、融资决策结合 , 置于同一决策体系内 , 考虑资本结构变化对组合投资优化的影响和作用是必要的 L中国证券市场处于一个迅速成长的、不稳定的阶段 , 存在多种摩擦因素的影响 , 价格波动频繁 , 风险控制难度大 L 面临诸多复杂情况的机构和个人投资者在组合投资选择和资本结构调整时 , 一方面 , 对科学选择组合投资以及资本结构优化的要求越来越高 ; 另一方面 , 又缺乏行之有效、操作性强的投资、融资决策与风险管理模型和方法 , 往往较多求助于经验和消息 L 因此 , 研究非均衡市场中有摩擦和不对称信息条件下投资、融资决策优化与
11、风险管理 , 十分重要 L本文引入随资本结构摩擦因子变化的利率函数 , 分析其对最优证券组合及其有效边界的影响 , 探讨在摩擦因子作用下的非均衡组合投资优化问题 L2 模型分析变量说明 :ri 为证券收益率随机变量 ;R i 为证券收益率 ri 随机变量的期望值 ;R = R 1, R 2, , R n T为 n 种证券组合收益期望值向量 ;w i 为第 i 种证券投资额占总投资的比例系数 ;W = w 1,w 2, ,w n T 为 n 种证券投资额占总投资的比例系数向量 ;Rv = 6ni= 1w iR i 为 n 种证券组合期望收益率 ;E = Rij n n为证券 I , J (i=
12、1, 2,. . . , n; j = 1, 2,. . . , n)的收益率的协方差矩阵 ;R2 为 n 种证券组合投资方差 ;R为 n 种证券组合投资标准差 ;F = 1, 1, , 1 T 为所有分量为 1 的 n 维向量 ;R 0 为最低无风险投资收益率或贷款率 ;x 为资本结构因子 (负债率或债权率 );R (x )为随 x 变化的利率 Z前提假设 :为了简化分析 , 假设无风险投资收益率同时也是贷款利率 (债息 ) 起始值为 R 0, 随着资本贷出率 (或负债率 ) x 的增加 , 利率成正比增加 (用 f (x )表示 ) , 故设利息函数为 : R (x ) = R 0+ f
13、(x ) (x E 0) Z2. 1 完全市场中的组合投资优化均衡模型按照均值 2方差理论 , 组合投资模型如下 :m in R2 = W TEWs. t. W TR = RvW TF = 1(1)其最优解为 24, 25 :04 系统工程理论与实践 2002 年 4 月 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.W 3 = E - 1 (R , F ) (R , F ) TE - 1 (R , F ) - 1 (Rv, 1) T (2)不同比例的最优证券组合 , 在 Rv- R空间的映射 ,
14、构成组合投资有效边界 , 有效边界函数为R2 = 1ac - b2 (cRv2 - 2bRv + a) (3)式中 , a= R TE - 1R ; b= R TE - 1F; c= F T E - 1F Z 如图 1 中弯曲的实线所示 Z图 1 组合投资有效边界根据完全市场中存在无风险投资收益率 (利率 ) R 0 的作用 , 此时有效边界将转变成图 1 中从 R 0 发出的与原弯曲的有效边界在点 M 0 相切的射线 R 0M 0Z 3, 4, 26 Z在完全市场中 , 当无风险投资收益率与贷款利率一致且保持 R 0 不变时 , 投资者的自有资本与借入 (或贷出 ) 资本组合投资的有效边界为
15、图 1 中的射线 R 0M 0Z Z 考虑其资本按比例投入 Rv= Rvm 与 R= Rm 风险证券组合 , 因此在贷款投资最优证券组合为式 (2)确定的 W 3m :W 3m = E - 1 (R , F ) (R , F ) TE - 1 (R , F ) - 1 (Rvm , 1) T (4)2. 2 不完全市场中受负债率变化摩擦影响的组合投资优化非均衡模型在实际资本市场中 , 随着投资者负债率的提高 , 则其贷款的债息也将提高 Z 这样将导致组合投资收益率与风险的变化 , 当债息函数为 R (x )时 , 由 R (x )确定的风险证券组合在 Rv- R空间的映射 M (x )的坐标为
16、R2m = 1ac - b2 cG 2 (x ) - 2bG (x ) + a Rvm = G (x ) = bR (x ) - acR (x ) - b(5)由 x , R (x )和 M (x )确定的有效边界的解析式为R2 = 1(1 - x ) 2 (ac - b2) cG 2 (x ) - 2bG (x ) + a Rv = 11 - x G (x ) - xR (x ) (6)式中 , G (x ) = bR (x ) - acR (x ) - bZ 式 (6) 所示点的坐标如图 2 中从 R (x ) 出发与原有效边界在点 M (x ) 相切射线R (x )M (x ) 上的点
17、P , 且有 : M (x ) PR (x )M (x ) = x1- x Z 点 P 的轨迹即为债息函数为 R (x )时最优证券组合投资的有效边界 , 如图 3 中的弯曲粗实线所示 Z投资者的最优证券组合为引入资本结构 (负债率 ) x 后由式 (4)所确定的 W 3 (x ):W 3 (x ) = E - 1 (R , F ) (R , F ) TE - 1 (R , F ) - 1 G (x ) , 1 T (7)2. 3 不完全市场中受贷款率变化摩擦影响的组合投资优化非均衡模型在完全均衡资本市场中 , 若投资者以固定利率将部分资产贷出时 , 其组合投资有效边界为图 1 中R 0M 0
18、 段直线所示 Z 但在不完全市场中 , 与借债的情况相似 , 投资者放出贷款的利率也将随着资本贷出率的变化而改变 , 一般也是递增的 Z因此 , 同样可用 R (x )表示贷款利率 , x 表示资本贷出率 Z对贷款利率随资本贷出率变化的组合投资最优证券组合与有效边界的讨论 , 与借款利率随负债率变化的组合投资优化的情况相同 , 其有效边界与最优证券组合均可用式 (5) - (7) 表示 Z 只是式 (7) 中的最优证券组合为除去贷出资本后的剩余自有资本的投资组合 Z 其有效边界如图 4 中的弯曲实线 M 0P 所示 Z14第 4 期 利率随资本结构变化条件下的组合投资有效边界 1995-200
19、5 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.图 2 债息随负债率变化的最优证券组合在 Rv2R空间的映射图 3 债息随负债率变化的组合投资有效边界2. 4 利率随资本结构变化的组合投资优化模型本文前面已经讨论了债息与贷款利率随负债率与资本贷出率变化的组合投资优化模型二种情况 , 将图 3 与图 4 所示的二种情况综合起来即可得到利率随资本结构变化的组合投资有效边界 , 如图 5 所示 Z图 4 贷款率随随资本贷出率变化的组合投资有效边界图 5 利率随资本结构变化的组合投资有效边界3 讨论1) 理想的完全市场中 ,
20、 利率固定不变 , 导致组合投资有效边界线性化 , 这一理想模型描述了市场的变化趋势 Z 实际的资本市场中 , 由于存在信息不对称、投资者能力以及风险偏好不同 , 多种摩擦因素导致组合投资优化产生了复杂性与非均衡 Z 这就是说 , 均衡是理想的长期趋势 , 非均衡是现实的实际活动 Z2) 本文中讨论的利率随资本结构改变而变化的情况中 , 并未对利率函数 R (x ) 作任何特定说明 , 即利率函数可以为线性或非线性 , 可以连续或非连续 Z不同的利率函数将导致不同的组合投资有效边界 Z当然 ,普遍的现象是 , 利率函数是线性或分段线性的 Z3) 从本文的分析中可以看出 , 随着资本结构等摩擦因
21、子的引入 , 组合投资优化模型中反映出摩擦因子实际是在加大投资风险 , 当然 , 这也更客观地反映了实际资本市场的资本活动规律 , 反映了借入或贷出资本投资活动的机会成本 Z 另一方面 , 资本结构等摩擦因子的引入使组合投资决策问题复杂化 , 对于复杂性问题将随着高性能计算技术以及算法的研究与发展而逐步解决 Z附录A. 点 M (x )坐标的确定式 (3)中求 Rv 对 R的导数 , 有24 系统工程理论与实践 2002 年 4 月 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.2R = 1ac -
22、 b2 2cRv dRvdR - 2bdRvdRdRvdR =ac - b2cRv - b (6)图 2 中射线 R (x )M (x ) P 的斜率为k = Rvm - R (x )Rm (7)射线 R (x )M (x ) P 与式 (4)所示有效边界在 M (x )相切 , 即式 (6)与式 (7)相等 , 有ac - b2cRvm - bRm =Rvm - R (x )Rm即R2m = 1ac - b2 (cRv2m - (cR (x ) + b)Rvm + bR (x ) ) (8)令式 (3)中 R= Rm , Rv= Rvm ; 并将式 (8)代入式 (3) , 得点 M (x
23、)的坐标为R2m = 1ac - b2 cRv2m - 2bRvm + a Rvm = aR (x ) - acR (x ) - b(9)B. 利率随负债率变化的组合投资有效边界的确定当利率 R (x )随负债率 x 变化时 , 根据图 2 中点 P 与点 M (x )的几何关系以及 CA PM 理论可知 , 投资者自有资本与贷款进行风险证券组合投资的期望收益率 Rvp 满足Rvp - RvmRvm - R (x ) =x1 - x 即 Rvp = Rvm +x1 - x (Rvm - R (x ) ) (10)式组合风险 Rp 满足Rp - RmRm =x1 - x 即 Rp =11 - x
24、 Rm (11)其中 , Rm , Rvm 满足式 (9)所示点 M (x )的坐标值 Z令 G (x ) = Rvm = bR (x ) - acR (x ) - b, 且将式 (9)中的 Rvm , Rm 分别代入式 (10) , (11) , 可得R2p = 1(1 - x ) 2 (ac - b2) cG 2 (x ) - 2bG (x ) + a Rvp = 11 - x G (x ) - xR (x ) (12)式 (12)即为利率 R (x )随负债率 x 变化时的组合投资有效边界 Z 其对应的有效证券组合为式 (7)所示 Z参考文献 :1 M arkow itz H M. Po
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