1、关于平面向量在代数中的应用的说课 黄继红 1 教材与学情分析 “平面向量的应用” 这节教材在二期课改课本第 10 章最后一节 10.6， 属于 拓展内容。教材选取 5 个例题说明向量作为工具在数学、物理中的广泛应用性， 其中例 1 和例 2 说明向量在平面几何中的应用，例 3（柯西不等式的证明）说明 向量在代数中的应用，例 4 和例 5 说明向量在力学中的应用。已学完“力学” 的高二学生对向量在力学中的应用并不陌生，联想向量相等、平行向量的关系、 垂直向量的关系等解决平面几何问题让学生感到也较自然，因为这是形形 的转化、很直观，而且涉及的向量知识也较容易，学生掌握得也好。而联想向量 模的意义、
2、 “两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系” 、 “数量积的平方 小于或等于模的平方的积” 、将“向量加法的多边形法则”转化为 “有关坐标的 等式”等解决函数最值、不等式和等式证明、三角求值等问题让学生感到比较困 难，其原因之一是以上的知识掌握和理解有一定的难度，二是联想构造“数 形数”转化的要求高、综合性强、较抽象，三是教学中能力培养不到位， 因此在“平面向量在代数中的应用”的教学中能力培养是关键。 本课是在学生已经学习“向量在平面几何中的应用”基础上，学习“向量在 代数中的应用” 。围绕以上向量的概念和运算性质的应用精心问题，引导学生观 察、分析表达式的特征，联想向量知识，通过构造向量
3、将已知条件或结论转化为 向量表达、进行向量运算或向量性质的应用将所得的结果转化为所求结论的过 程，学生会对数学思想方法中的“数形结合” 、 “转化”等有更深刻的理解；通过变式教学、 特殊与一般的研究， 感受数学发现的乐趣； 通过错误辨析、 一题多解、 一题多变的探究，夯实学生基础，达到深刻理解向量的概念，熟练掌握向量的运 算和性质的目的，因而本节课的教学有助于学生能力的提高。 本课的教学对象为松江二中高二学生， 他们已较好地理解了向量的概念， 比 较熟练地掌握向量的运算和性质，并能进行简单应用，有“数形结合”的应用意 识，善于思考和发现，有较高的认知水平。因此，有可能也有必要引导他们进行 问题
4、探究。关于“数形结合”的思想应用，来源于两个方面，一是已体会到向量 本身就是一个数形结合的产物，它兼具代数的抽象、严谨和几何的直观特点，二 是通过基本函数的图象与性质的学习，体会到应用“数形结合”研究函数性质、 解决函数的零点、方程和不等式的解等问题。正如美国数学家斯蒂恩说： “如果 一个特定的问题可以转化为一个图形， 那么思想就整体地把握了问题， 并能创造 性思索问题的解法” 。所以本节课以“向量在代数中的应用”为载体，进一步让 学生体验 “数形结合” 、 “转化” 的思想应用为目标， 培养学生的探究精神为归宿， 促进学生思维能力的提高。 2教学目标 21 学生通过问题探究，深刻理解向量的概
5、念，熟练掌握向量的运算和性 质，并能着意联想恰当应用，解决有关代数问题； 22 学生通过一题多解、一题多变的研究，揭示向量在代数问题中的应用 本质，体验数形结合思想及特殊与一般关系的应用，感受数学发现的乐趣，培养 学生的创新意识。 3教学重点、难点、注意点 本课重点是加深向量概念、 向量的运算和性质的理解， 并应用数形结合与转化思想解决有关代数问题； 难点是如何数形转化和有关向量模的不等式等号成立 的本质理解；注意点要求学生规范表达数形结合解题的步骤。重点突破：以问题 为出发点，观察、分析、展开联想，实践探索，展示学生在讨论、回答过程中的 思维活动，体会问题本质。难点突破：复习回顾有关“向量实
6、数化”的特征，如 模、数量积、坐标的表示等，通过问题衔接设计，铺垫暗示，一题多解、一题多 变、错题辨析、几何画板的应用等达到突破难点目的。 4 教学方法与教学手段 41 充分体现“以学生为主体，教师为主导”的原则 注重问题设计，体现教师的导向功能，展示学生是展开联想的主体； 重视实践探索，体现教师的导律功能，展示学生是揭示规律的主体 应用媒体实验，体现教师的导标功能，展示学生是体验演示的主体 42 采取教师指导下的学生实践、探索的模式，把问题作为教学的出发点， 指导尝试，总结反思。 43 powerpoint、几何画板、多媒体系统 5课堂设计 51 新课引入 （1）用 PPT 在屏幕上显示华罗
7、庚的相片和华罗庚关于“数形结合”的至理 名言“数缺形时少直观 形离数时难入微”的话，让学生体验数形结合是数学 中非常重要的思想和解决问题的常用策略， 以数学家的语言激发同学进一步学好 数学的愿望； （2） 向量本身就是一个数形结合的产物， 它兼具代数的抽象、 严谨和几何的直观特点，引导学生回顾有关“向量实数化”的特征，如模、数量积、坐标的 表示等，期望能进一步说出有关的不等式和等式，如模的意义、 “两向量和与差 的模与向量模的和与差的不等关系” 、 “数量积的平方小于或等于模的平方的积” 、 将“向量加法的多边形法则”转化为 “有关坐标的等式” （3）提出课题，在学习“向量在平面几何中的应用”
8、基础上，学习“向量 在代数中的应用” 。 52 问题探究 出示问题 1. 设 a、b 为不相等的实数， . 1 ) ( 2 x x f 求证： . ) ( ) ( b a b f a f 要求学生自主探索、相互讨论。 预计：学生思路分下列三种类型： （1）有根号想到两次平方分析； （2）由 根号内的现性特征，联想向量的模概念，构造向量，将结论转化为向量表达式， 从而揭示“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”本质； （3）由根号 内的现性特征，联想两点间距离公式，构造点坐标，将结论转化为平面上三点间 距离的不等关系，从而揭示“两线段长度之和（差）大于或等于（小于或等于） 第三线段的长”本
9、质。 分析：学生讨论三种方法的异同点，期望说出（1）是处理绝对值和根号的 一般代数方法；而（2） （3）都是应用数形转化解决，体现本问题的特殊性，且 强调（2） （3）两种方法解题原理相同 总结用向量解决代数问题的步骤： （1）构造向量,将已知条件或结论转化为向量表达式 (数-形); （2）进行向量运算或向量性质的应用; （3）将所得的结果转化为所求的结论(形-数). 老师板书示范后，引导学生讨论，条件不变的前提下，由于构造向量或向量 性质应用的差异，会得到不同的结论，期望同学一题多变 注意： “两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系” 等号成立的条件， 为下面突破难点作好铺垫。 练一练
10、求函数的 最小值. 10 6 9 ) ( 2 2 x x x x f 由学生的错误答案 13 ， 引导学生寻找错误原因， 并通过几何画板演示最小 值取得的条件。强调最值的验证，揭示数学问题的实质，突破难点。 引导：当看到 2 2 y x 时，可以联想向量的模。当看到 时，你 能联想啥？ 2 1 2 1 y y x x 出示问题 2，即课本 P50 例 3，让学生讨论总结“数量积的平方小于或等于 模的平方的积”的应用，就证明了柯西不等式，此时预计学生比较活跃，课堂进 入高潮 变式 ). 4 b )( ( ) ( , 4 2 2 2 3 3 a b a b a R b a 求证： 、 若 并指出等
11、号成立的充要条件. 预计：许多学生已观察出仍然是“数量积的平方小于或等于模的平方的积” 的应用，揭示数学本质本质，体会柯西不等式所反映实数关系的奇妙性，感受一 般与特殊关系。 注意： “数量积的平方小于或等于模的平方的积”中等号成立的条件，为下面练习铺垫， 。 练一练 . 1 1 1 2 2 a b b a , R b a 、 若 . 1 2 2 b a 求证： 由学生构造向量的两种方法，进行比较分析，体验等号成立的条件，说明柯 西不等式等号情形的应用。 （备用题）出示问题 3 求 的值。 293 cos 221 cos 149 cos 77 cos 5 cos 预计：学生使用计算器，很快发现
12、值为 0 教师因势利导：你能不用计数器解决吗？观察角构成的等差数列的代数特 征，公差为 72 ，项数为 5，如果构造五个单位向量且顺次连接，那么将会得到 什么图形？学生动手实验画图、几何画板演示，学生观察、体验。 预计： 学生回答正五边形， 并很快解释值为 0 的理由， 将五个单位向量的起 点放在原点处，终点连接，也构成正五边形，原点为其中心，由力学知识所知， 五个单位向量的和为零向量。 教师给予表扬，强调同学有很好的直觉思维，因为一个真理的发现很重要， 而证明只是一个时间问题。正如大数学家、物理学家牛顿有句名言： “没有大胆 的猜想，就做不出伟大的发现。 ” 并鼓励他完成逻辑证明。 教师点拨
13、： 既然构造五个单位向量能组成正五边形， 那么对于多边形有怎样 的向量运算性质呢？ 学生：此时五个单位向量的和为零向量的结论有了依据，学生兴奋不已，而且得到了一个“副产品” ，这五个角的正弦和也为 0。 由此引导学生自我编题， 体验一类三角求值的本质特点， 从而进行一般研究。 推广： 5.3 课堂总结， （1） 深化理解向量概念， 熟练掌握向量的运算和性质。 掌握平面向量在代 数中应用的解题步骤。 （2）善于抽象概括 ，从而做到触类旁通； 研究问题的数学特征（代数意 义、几何意义） ，善于联想，使数量关系与几何形式有机结合。 （3）通过问题探究，应注重逻辑思维和直觉思维的有机渗透，因为直觉思
14、维是创造性思维活动的一种表现。 5.4 注意 向量是解决数学问题的一个工具， 当然如果不用向量， 也可以解决有关问题。 但是如果由代数特征，联想向量的概念和运算，巧设向量解题，那么可以简化问 题解决，也可以加强数形结合思想的应用。 5.5 作业（为进一步巩固本课所学知识和方法，完成下列作业，因课上时间） A b B a c ABC x y y xy y x x x y x x x x y cos cos cos . 6 30 5 30 5 . 5 sin sin cos cos cos . 4 1 , 3 6 1 1 . 3 4 4 3 . 2 5 4 10 2 . 1 2 2 2 2 2 ，恒有 中，求证：对任意的 在 否回到起点？ 此进行下去，机器人能 如 ； 米，再左转 ；再前进 米，左转 ：前进 机器人被输入如下指令 式 利用向量法导出三角公 的值 求 已知 的最大值 求函数 的最大 值 求函数 5.6 板书 投影和黑板 （在代数中应用向量的运算性质解题的工具和问题 1 的解题过程及问 题 2、3 的简要过程一直留在黑板上，其它都通过投影显示。 ） 2006-5-22
