1、11信度模型的参数估计孟生旺中国人民大学统计学院2信度保费：问题 ： 在 Bhlmann-Straub模型中，如何确定 ， v和 的值？上述未知参数通常称作 结构参数 （ structural parameters）。(1 )(Buhlmann-Straub), /(Buhlmann-Straub), /ZX ZnZnnvamZmmva+=+观察年数各年的风险单位数之和3符号和假设：r ：保单持有人（个体风险）的个数Xij：保单持有人 i 在第 j 年，平均每个风险单位的损失（ i = 1, , r）。不同保单持有人的损失相互独立。ni：对保单持有人 i 的观察年数i：保单持有人 i的风险参数
2、，是随机变量 i的观察值，i（ i = 1, , r）独立同分布。4Xij| i：相互独立，分布函数为 , j = 1, , nimij：保单持有人 i 在第 j 年的风险单位数。：保单持有人 i 在过去各年的风险单位数总和。1iniijjmm=|(|)ijX ij ifx5保单持有人 i 平均每个风险单位的损失：所有保单持有人在过去各年的风险单位数总和：所有保单持有人在过去各年平均每个风险单位的损失：11, = 1, ., iniijijiX mX i rm=111inrriijiijmm m=111= inrrii ijijjX mX m Xmm=6m23m22m21风险单位数X23X22
3、X21平均每个风险单位的损失2m14m13m12m11风险单位数X14X13X12X11平均每个风险单位的损失12004200320022001观察年份被保险人4111114jjjX mX=431211jjjjmm m=+211iiiX mXm=3222113jjjX mX=27集体保费过程方差的均值（组内差异）假设均值的方差（组间差异）假设结构参数的估计值为 ，则保单持有人 i在下一年的信度保费为其中Var ( )ia =, , va(1 )ii iZX Z +iiimZmk=+vka=E ( )i =E ( )ivv=8注意 ：如果保单持有人 i 在下一年的风险单位数为 ，则其信度保费为即
4、使 是 v 和 的无偏估计，并不能保证 和 是 k和 Z的无偏估计。,1iinm+,1(1 )iin i i imZX Z+ + , va kZ9Bhlmann模型 的结构参数10（ 1） 的无偏估计：故 的无偏估计为 ，即为风险集合平均每个风险单位的损失。 X =111() rnijijEX E Xrn= X =111()rnijijEXrn=111(|)rnijijEEXrn= = 111()rniijErn=111rnijrn = =11（ 2） v的无偏估计对于给定的风险 ， 相互独立，故是的无偏估计。ii=1, ., iinX X211 ()1niijijvXXn=() ( | )i
5、ijivVarX =12而还是 v的无偏估计，即对 求平均，还可以得到 v的另一个无偏估计：（组内方差）iv () ( | ) ( )iii iEv EEv Ev v= = =iv11riivvr=313（ 3） a 的无偏估计因为故而可见， 具有相同的均值和方差。11(| ) ( | ) () ()nnii i iji i i ijjEX EX = = = = =() ( |) ()iii iEX E EX E =() ( |) ( |)iii iVar X Var E X E Var X =+ 1, ., rX X()()iivvVar E ann=+ =+211 ()1riivaXXrn
6、=14因此，对方差 的一个无偏估计为（样本方差）即而 v的无偏估计为 ，即 ，因此上式可变形为()ivVar X an= +211()1riiX Xr=211()1riivEXXarn= =+211()()1riiEv vEXXaaErnn= =+=+ v ()vEv=15从上式可得 a的一个无偏估计为211()1riivaE X X Ern= 211 ()1riivaXXrn=16Buhlmann模型的结构参数估计（小结）211 ()1riivaXXrn= 11riivvr=211 ()1niijijvXXn=11riiXXr=17（ 4） 例假设：风险集合中只有两个个体风险： r = 2对
7、每个风险的观察期均为 3年： n = 3第一个风险的经验损失： 3, 5, 7第二个风险的经验损失： 6, 12, 9Bhlmann信度保费的计算：（关键是估计结构参数 a v, 的值）18121(3 5 7) 531(6 12 9) 93XX= + = +=1 (5 9) 72X = =+=222122221 (3 5) (5 5) (7 5) 4311 (69) (129) (99) 931vv= + = + =12132 (4 9)v = +=221135(5 7) (9 7)21 3 6av=+=（假设均值）（集体保费，总均值）（过程方差）（过程方差的均值）（假设均值的方差）419 3
8、9 35335483vkaZk=+12133(1 )24203(1 )24ZX ZZX Z+ =+ =20Bhlmann-straub模型的结构参数21（ 1） 的无偏估计为 : 11riiiX mXm=1(|) |inijii ijij imEX E Xm= 1(|)inijij ij imEXm=1()inijij imm=()i=因为22 () ( |) ()iii iEX E EX E= = =11()riiiE XE mXm=1, ., rX X可见， 具有相同的均值 11()riiimE Xm=11riimm=23（ 2） v 的无偏估计可以证明，在给定 i的条件下，是 的无偏估计
9、，即(|) ()()( | ) 1, ., ij i iiij i iijEXvVar X j nm= = =211 ( ) , = 1, ., 1iniijiijivmXXirn=()iv (| ) ( )ii iEv v=24因此即也是 v的一个无偏估计。v的另一个无偏估计可以通过对 求加权平均而得到。如果让权数与观察年数成比例，即令（ ni为每个保单持有人的观察年数） () ( | ) ( )iii iE vEEv Ev v= = =iviv11(1)ii riinwn=525即可得到 v 的一个无偏估计为其中()1riiivwv=211 ()1iniijiijivmXXn=26（ 3）
10、 a 的无偏估计（证明略）2121()(1)1riiiriimX X vrammm= =27附 注 ：上述关于 ， v， a的无偏估计是非参数的，无需对损失的分布进行假设。a的无偏估计不是惟一的，有可能出现 ，这意味着a很接近于 0（即组间方差为 0），可取 Z 0。如果 Xij|j和 j是正态分布，上述估计是极大似然估计。 0a 28例 ：假设有两个被保险人 A和 B，它们在过去四年的损失数据如下表所示。请应用 Bhlmann-Straub模型估计每个被保险人的年期望索赔频率。234被保险车辆数012索赔次数B1222被保险车辆数0223索赔次数AY+3Y+2Y+1Y年份被保险人29令随机变
11、量 Xij表示索赔频率，用 mij表示相应的风险单位数m23= 2m22= 3m21= 4风险单位数（车辆数）X23=0X22=1/3X21=1/2每个风险单位的索赔次数Bm14= 1m13= 2m12= 2m11= 2风险单位数（车辆数）X14=0X13=1X12=1X11=3/2每个风险单位的索赔次数AY+3Y+2Y+1Y年份被保险人30mA=2+2+2+1=7 mB=4+3+2=9 m=7+9=16(3220)/71Ax = + = (2 1 0) /9 1/3Bx =+ =(7)(1) (9)(1 / 3) / 16 5 / 8x = +=22221 2(3 / 2) 1) 2(1 1
12、) 2(1 1) 1(0 1) /(4 1) 1 / 2v =+=2222 4(1/ 2) (1/ 3) 3(1/ 3) (1/ 3) 2(0 (1/ 3) /(3 1) 1v = + =63141(1/2)(31)(1/6) 11/ 30 0.366741 (31)v+=+（）（）/ 0.3667 / 0.1757 2.0871kva= =222271 (5/ 8) 9(1/ 3) (5/ 8) (2 1)(11/ 30) 0.175716 (1/16)(7 9 )a+327.77037 2.0871AAAmZmK= =+ .7703(1) (1 .7703)(5/ 8) .9139A =+
13、 =9.81189 2.0871BBBmZmK= =+ .8118(1/ 3) (1 .8118)(5/ 8) .3882B =+ =注意：两个保单持有人的 k是相同的，但信度因子不同！33结构参数估计方法的比较（ 1）集体保费 Buhlman模型：Bhlmann-Straub模型 ：11 riiX Xr=11riiiX mXm=34注： 如果每个保单持有人的风险单位数均为 mij= 1，且对它们的观察期均为 ni= n，则它们相等。111, inrriijiiijmm mrnmn= = =35（ 2）过程方差的均值 vBuhlman模型：Bhlmann-Straub模型：注： 如果每个保单持
14、有人的风险单位数均为 mij= 1，且对它们的观察期均为 ni= n，则它们相等。2111 ()(1)rrniijijvv XXrrn= 211111()1(1) (1)inrij ij irijiirriiimX Xnvvnn=36（ 3）假设均值的方差 aBuhlman模型：Bhlmann-Straub模型：注：如果每个保单持有人的风险单位数均为 mij= 1，且对它们的观察期均为 ni= n，则它们相等。211 ()1riivaXXrn= 122111()(1)rriiiiiam m mXX vrm= = 737平衡调整信度保费的总和（ TP）可能不等于损失的总和（ TL）损失的总和：信
15、度保费的总和：1riiiTL m X=1(1 )riii iiTP m Z X Z =+11(1 )( )rrii i iimZ X mX=+1() riiiikmXTLmk=+38为了使得 TL TP，应有1()0riiiikmXmk= =+1()0riiiimXmk= =+1()0riiiZX= =11rriiiiiZ ZX=11riiiriiZ XZ=39可见，为了保证总损失等于总保费，在信度保费公式中，应该用信度因子加权计算的集体保费代替原来的集体保费 ，即注 ：用信度因子加权计算集体保费， 的方差是最小的（参见 loss models 例 16.7）。信度保费公式中原来使用的集体保费
16、的估计值为11riiiriiZ XZ=11riiiXmXm=40从上例可知，样本总均值为 0.6250，而信度估计值的加权平均值为 (7/16)(0.9139) + (9/16)(0.3882) =0.6182。显然，信度估计值的加权平均值小于样本总均值，亦即信度保费的总和小于实际损失的总和。为了进行平衡调整，可以计算信度加权的总均值，即21210.7703 1 0.8118 (1/ 3) 0.65790.7703 0.8118iiiiiZXZ=+ = =+41应用上述总均值，重新计算信度估计值，则有A = 0.7703 1 + (1 0.7703) 0.6579 = 0.9214 B = 0
17、.8118 (1/3) + (1 0.8118) 0.6579 = 0.3944 此时，信度估计值的加权平均值为(7/16) 0.9214 + (9/16) 0.3944 = 0.6250正好等于样本总均值 0.6250。42参数模型和半参数模型843例 ：风险集合中只包含两种风险， A和 B。已知风险 A和 B的损失金额服从下述分布：0.10.2700000.30.330000.60.5300风险 B的概率分布风险 A的概率分布损失额风险 A发生损失的概率是风险 B的两倍。如果已知某个风险在某次事故中的损失额为 300，求该风险下次损失额的Bhlmann信度估计值。解 ：对任意一次损失，是由
18、 A所致的概率为 1/3，由 B所致的概率为 2/3。44 | 1 15050B | 2 8080AEXEX= = =的期望损失：的期望损失：22(2 / 3)*(15050 12726.7) (1/ 3) (8080 12726.7) 10795755.56a =+=（组间差异，不同个假设均值的方差 ：体之间的变异性）(2/3) | 1(1/3) | 2(2 / 3) 15050 (1/ 3) 8080 12726.7EX EX EX = = = + = +=风险集合的期望损失：4522 222 2 | 1 0.5 (300 15050) 0.3 (3000 15050) 0.2 (70000 15050)756242500 | 2 0.6 (300 8080) 0.3 (3000 8080) 0.1 (70000 8080)427467600Var XVar X= = + + = = + + =(2 / 3) 756242500 (1/ 3) 427467600 646650866.7v = + =（组内差异，自身的变异性）过程方差的均值 ：46/ 59.89910.016421 59.899kvanZnk= = =+ +(1 ) ( ) 0.01642 300 (1 0.01642) 12726.712522.65XZEX+ = + =信度估计值为：Z
