1、第9卷第3期 2006年7月 西安文理学院学报：自然科学版 Journal of Xian University of Arts&Science(Nat Sci Ed) VO19 No3 Jul，2006 文章编号：10085564(2006)03002005 九参拟协调元的误差估计 孙会霞 (河南工业大学理学院，河南郑州450052) 摘要：给出了双参数九参拟协调元在求解四阶板弯曲问题时的误差估计式，并对其节点参数扰动 量进行了分析，文中的方法也适用于其他双参数非协调元的误差分析 关键词：双参数法；误差估计；九参拟协调元 中图分类号：024221 文献标识码：A 1 引言 1991年陈绍春教
2、授和石钟慈院士提出了构造非协调元的双参数法，它的优点之一是：节点参数 和自由度相互独立地选取，使单元的构造更具有灵活性，按照构造简单，总体自由度少，计算量少的原则 选取节点参数，例如取单元顶点处的函数值和导数值自由度是中间参数，还可以按照广义分片检查的 原则适当地选取自由度及其节点参数的离散方式，以保证收敛性，如选取单元边上的外法向倒数的积分 平均值等按照这种方法文献2对九参拟协调元做了进一步的直接分析，给出了相应的有限元空间中 九个基函数的显式表达式和节点参数的扰动量误差阶，但遗憾的是文中并未对误差估计进行分析，同时 所给出的扰动量误差阶是在连续模意义下的，而不是Sobolev空间意义下的，
3、本文将通过巧妙地利用 BrambleHilbert引理和迹定理及Sobolev空间的嵌入定理，给出相应的Sobolev空间模的估计；在此基 础上，通过引进一个过渡的插值算子，给出双参数九参拟协调元在求解四阶板弯曲问题时的误差估计 式，并用数值算例验证理论分析的正确性 2基本定理 定理221 设K是三角形单元或矩单元，直径是h ，F是K的一条边，UH (K)，在F上引进 数值积分的梯形公式： r I P I I“(72)dz (“(n)+“(b) J 厶 r I 其中n，b是F的两个端点则其余项：R(“)=I“(72)da：一L (“(n)+“(b) Z- 满足 1 R(U)1 1“1 2K (
4、221) 定理222 设K是三角形单元， 是K的顶点a 的对边(1 3)， l， 2， 3是K的面积坐 标，则 上3次Hermite插值多项式为： + H (7AJ)= +l(1十2a卜1)“tgJ +l+ 一l(1+2a +1)他， l+ ；+l l 让，(口 +1)口 +l口卜l+ 收稿日期：20060328 基金项目：河南省自然科学基金项目(411011300)；河南工业大学科研基金项目(200451) 作者简介：孙会霞(1963一)，女，河南漯河人，河南工业大学理学院副教授，博士 维普资讯 http:/ 第3期 孙会霞：九参拟协调元的误差估计 21 ；一l +lVw(a 1)ai-i口
5、 +l 其中下标按模3求余，硼 =w(a )，则 1 w(a)一H(w)(a)I ch卜 I硼Il,k (222) 其中，C是与K无关的常数，l=3或4 定理223 设K是三角形单元或矩形单元，直径是h ，F是K的一条边，a，b是F的两个端点， H (K)在F上引进数值积分的Simpson公式： z) )+4u( ) 6) 则其余项 )= z)dz一 )+4u( ) 6) 满足 I R( )Ich I I 2 (223) R是参考元，在仿射变换z=B主+b下，KR，FF，口一 ，65，垒_ 一 记 (z)= (B2r+b)=五(主)则在仿射变换下 )= ) 一 4u( = (224) 这说明在
6、仿射变换下，插值余项形式保持不变，由迹定理和Sobolev空间嵌入定理3得 l R(五)Ic( ll Lz( )+ ll L (子)c lI 2l子 其中II R=II (R)所以R是H (R)上的连续线性泛函，且显然V五Pl(R)，R(五)=0(事实 上，Simpn公式对3次多项式精确成立)，因而由BrambleHilbert引理和仿射变换下导数的转换关系 式3有 I R(五)I三I五I 2R=(ll D。 5R) ch I I 2K (225) 将(225)代入(224)得 I R( )I ch I I 2 K 注1：这里出现的任意常数C与剖分无关，文中不同的地方出现的常数c可以不同 注2
7、：通常一维数值积分和多项式插值，利用Taylor展式导出的是 模估计，以上给出的是相应的 Sobolev空间模的估计 注3：定理221和定理222的证明可参考文献6 3 九参拟协调元的误差估计 考虑板弯曲问题：求 Hj(n)满足： a( ， )=f( ) V 略(n) (331) r 其中以( )=J nA( ，v)dxdy，A( ， )= +2(1一 )(2 “UcyUmrUyy一 )， r 厂( )=I y，fL (n)， 是poisson比，0 1，n(二二R 为凸多边形区域 设，是n的三角剖分， = ， 满足拟一致假定3，由2定义的限元空间为： 、 J =“Uh l KP(K)； =(
8、P，CG。)，qR Uh在a 上的节点参数为0 (331)的离散问题是：求“ 使 al (Uh， )=f( ) V (332) 其中以(，-)：I ，A(，)drdy定义能量模 K ：(I K)由文献2知离散问题 K 维普资讯 http:/ 22 西安文理学院学报：自然科学版 第9卷 (332)有惟一解 设三角单元k的三个顶点为a =(27 ，Yf)对应的边为 ，三边的单位外法线向量和切向量分别为 72 和 ，K的面积坐标为： 1， 2，2 3，K的面积为令 1=3722：3 2=2：3371， 3=371372； 1= y2一y3， ：y3一yl，r3：yly2；rl： ，r2= ，r3=
9、，ti= 一， 2 一， 一； 一， 一，r 一 ，r = 7“i (1 ， 3) 九参拟协调元的形函数空间P女(K)=P3(K)2第一套节点参数，即自由度取为： D( )：(d1(73)，d1o( ) r (333) 鼽d如 =南fF vds =南fF vds =南fF vds， JF， s=JF， =JF 记P =( 1，P2，Plo)丁b=(卢1，卢2，PlO)丁，设(，)为R 。中的内积，则P(K)中的函数可表 示为 旦 =fliP =(P，b) (334) 将(332)代入(334)得插值方程： D( )=Cb (335) C的表达式见文献2，且C的元素是O(1)量级，即ll C l
10、lC与h无关 由上述表达式得： V P(K) =(P，C一 D( ) (336) 相应的插值算子k：H (K)一P(K)定义为： V H0(K)，IKv=(P，C D( ) (337) 九参拟协调元的第二套节点参数取为： Q( )=(731，731 ， 1v，732，732 ，732y，“O3，“O3 ，“O3 ) (338) 用文献2中的方法将第一套节点参数表示成第二套节点参数的线性组合，其中，d1一d9如2， dlo( )的离散方法如下：在自由度J F 1 s中，赛用F3上的线性插值代替经过计算得： dlo= ( al+ ( a2 (339) 在第一节已经分析了由数值积分的梯形公式、三次H
11、ermmite插值及Simpson公式引起的误差，下 面分析由(339)式引起的误差，记 =： ，则有下列误差估计式 引理331 由(339)式所引起的误差 训=I 一 (a1)+ a2 I K(3310) 证明：在仿射变换z= 十b下 )= 1)+ )(3311) 由迹定理和Sobolev空间嵌入定理，我们有：I ( )Ic ll ll2_K，这说明R(五)是H (R)上的连续 线性泛函，且V P1( )，R( )=0，由BrambleHilbert引理及仿射变换下导数的转换关系得： l (五)Ic I I 2RchK I I 2K将上式代入(3311)式得：I R( )Ich I“l 2，
12、K这样d1o( ) =去-(2 l + 2 )r3+(2v1)，+792 )+o(Jf2 )l l 2K上述离散过程(1)(2)(3)(4)可表示成： 维普资讯 http:/ 第3期 孙会霞：九参拟协调元的误差估计 D( )=6 ( )+E( ) (3312) 略去(3312)式中的余项E( )，代入(335)式得到用双参数方法构造的九参数拟协调元的形函 数为： R (K)， =(P，C GQ( ) (3313) 注意 由Q( )的值按上式确定的Pk(K)中的元素 的节点参数值Q( )对Q( )有扰动，但 = 可以证明扰动量满足下列关系式 定理331 J Vlx一 垃Jc J J 3K， J
13、一 J I J 3K 证明：V Pk(K)由(336)、(3312)、(3313)式及定理(221)、(222)、(223)及引理 (331)得： =(P，C一 D( )=(P，C一 (G ( )+E( )= +(P，C一。E( ) 由上面分析知， ： ， 妇一 妇=(P妇，C-1E( )再由仿射变换的性质，ll P妇ll = (妻( (ai) )ch_。，而ll C-1E( )llCl Il E( )llch2 J J 3K，因此J 妇一 垃J ch l J 3K同理J 一 f Jch J J 3，K注意，这里1i3，llll是向量模 以上的证明说明一阶偏导数有0(h)阶的扰动 双参数九参拟
14、协调元的插值算子IIK：H3(K)一 (K)定义为： V H3(K)，K =(P，C一 6 ( ) 考虑板弯曲问题(331)则由Strang引理3可以证明双参数九参拟协调元有下列误差估计式： 定理332 设n是凸多边形区域，“和“分别是(331)和(332)的解，UH3(n)n H5(n)，则 l UUJ (J U J 3n+h ll厂ll on) (3314) 证明：由Strang引理3 J“一Uh Jc “一 J 十 )(3315) 其中第一项为逼近误差，第二项为相容误差 由单元的构造知P2(K)(二=P3(K)(二=P(K)又由离散方式知，自由度对节点参数的离散对二次多 项式精确成立，因
15、此，该单元满足逼近性质设k是九参三角形元的插值算子，则由4知： J UIKU J 2Kch I U J 3K V UH3(K) 由(335)、(337)、(3312)式得：IKVIIKv=(P，C一 D( )一C一 6 ( )=(P，C一 E( )这 样J IKVIIKv J 2Kcl J P J 2K ll E( )ll，其中llll是R 上的欧氏模 由仿射变换性质知I P J 2K _K ，由定理(221)、(222)、(223)及引理(331)知ll E( )ll J J 3K，由此得 J IKVIIKv I 2Kch J J 3K (3316) 定义整体插值算子 ， J K=k，J K
16、=K结合(3316)式得 inf l UVh J hJ UI-IhU J hJ“一Ihu J h+J “一“J h= (J“一， K) +(J IK“一IIKu J；f() ch“【3In (3317) KEJh KEJh 下面分析相容误差文献2已证明该单元满足强FlF2一 f因此，对一般四阶问题收敛取 Lfl为 上的以单元顶点为插值节点的分片线性插值，用文献5中对相容误差的估计方法可以得到相 容误差： 三 (_ 兰 (J“J ，n+h II f II。，n)(3318) 维普资讯 http:/ 西安文理学院学报：自然科学版 第9卷 将(3317)、(3318)代入(3315)，定理得证 4
17、数值试验 考虑单位正方形薄板弯曲问题，边界支撑条件为固支或简支，荷载为单位均匀荷载或中心集中荷 载，Poisson比 =03，板中心点的挠度和弯距的精确值取自63对九参拟协调元，采取三平行线剖分， 其数值结果如下： i 2 3 5 6 表1 九参拟协调元的数值结果 说明：上表中，“表示挠度，M 表示弯距 参考文献 陈绍春，石钟慈构造单元刚度矩阵的双参数法J计算数学，1991(3)：286286 石钟慈，陈绍春九参拟协调元的直接分析J计算数学，1990(1)：7684 BRENNER S C，SOTT L RThe mathematical theory of finite element me
18、thodsMNew York：SpringerVerlag， 1994 CIARLET P GThe finite element method for elliptic problemsMNew YorkNorthHolland Publishing Company， Amsterdam，1978 陈绍春，石东洋非协调元的一般性误差估计式J计算数学，2000(3)：295300 孙会霞，陈绍春，魏保军12参双参数矩形板元的误差估计J高校应用数学学报，2005(2)：178184 责任编辑王新奇 Error Estimation of 9parameter Quasiconforming El
19、ements SUN Huixia (Department of Mathematice and Physics，Henan University of Technology，zhengzhou 450052，China) Abstract：The formula of error estimation of 9parameter quasiconforming element in mlving the prob lem of 4一order plate bending was introducedThe disturbance quantity of node parameter was analyzed This method can also be used in the error analysis of other nonconforming elements of double parameters Key words：double parameter method；error estimation；9parameter quasiconforming elements 维普资讯 http:/
