1、 |h !2 專題一：高次不定方程解析 2 |h !* + PK !(1) 一次不定方程： ax by c+= ,abc ax by c+=cK !(,)|ab c!00,x y b Q KKK!00(,)(,)bx xtabayy tab=+= t!)3*高次不定方程： !對於高次不定方程，我們還無法找到判別一個高次方程是否有解的統一方法，當然要求出通解更是困難。所以並沒有統一的方式來處理高次不定方程，以下我們將處理高次不定方程常見的方法分成五類： !因式分解法。 !配方法。 !不等式估計法。 !同餘法。 !構造法。*/Q6+ !例1. 試求方程式：2(1)( 2)( 2)1xy xy xy
2、 xy + + + =的整數解。 Ans： (2,2),(0,0),(2,0),(0,2) / 3 演練1. (1)求方程式：222 23 30 517xxy y+=+的正整數解。 (2)正整數 ,abcd滿足： 1 1000abcd ，且 adbc+ =+， 2004bc ad= ， 求所有這樣的正整數組 (, )abcd 的組數。 Ans：(1) (7,2) (2)2297 組 * h+ !例2. 求方程式：2 432x xy y y y+ =+的整數解。 Ans： (0, 1),( 1, 1),(0,0),( 1,0),( 6,2),(5,2) |h !4 演練2. (1)求不定方程22
3、343 35xxyy+=的全部整數解。 (2)求所有整數 ,x y ，使得221xxyy+ +=。 Ans：(1) (4,1),(1, 4),( 4, 1),( 1, 4) (2)( 1,0),(0,1),( 1,1),(1, 1),(0, 1) * Q+ !例3. 求不定方程3361xyxy =+的正整數解。 Ans： (6,5) / 5 演練3. 求不定方程222()116x yy=+的整數解。 Ans： ( 1,0),( 4,3),( 4,5) *“+ !例4. 證明：不定方程式22 386xy z+ =沒有整數解。 Ans：略 |h !6 . Z/ !1. 求方程式： 10( ) 1x
4、y x y+=的整數解。 Ans： (11,111),(111,11),(9, 91),( 91,9) 2. 求方程式：223 0xxyxy+=的整數解。 Ans： (0,0),( 2,0),( 4, 8),( 6, 8) 3. 求方程式：22452470xxyyxy+=的整數解。 Ans： (5, 2), (1, 2) 4. 求方程式： 233560xxyyxy+=K Ans： (1,2),(8,2),(0,3) 5. 試證：不存在整數 ,x yz，使得： 444 22 22 2222 24xyz xy yz zx+= + + +。 Ans：略 6. 設 n，不定方程 22x yzn+=恰有 28 組正整數解，求 n 值。 Ans：17或18 Hint：討論 x 的奇、偶 7. ,xyz，滿足222222734816 7 9 3xyzxyz +=+=，求222?xyz+ += Ans： 165 8. 求所有的正整數 ,mn，使得 ( ) 1413mmmn n+=+ 。 Ans： (3,11)
