1、 28. 十进制的记数法 作者德化一中 颜墀策 甲 内容提要 1. 十进制的记数法就是用 0， 1， 2 9 十个数码记数的方法，位率是逢十进一. 底数为 10 的各整数次幂，恰好是十进制数的各位数： 100=1(个位数，即第 1 位) ，101=10 (十位上的数，即第 2 位) ，102=100 (百位上的 数) ， 10n(第n+1 位上的数) ，10 1（十分位上的数），10 2（百分位上的数）. 例如：54307 记作 5104+4103+3 102+0101+7100； 2.345 记作 21003 10 14 10 25 10 3. 2. 十进制的 n 位数(n 为正整数) ，n
2、naaaa L321记作： 10n 1a1+10n 2a2+10n 3+102an2+10an1+an. 其中最高位a10 ，即 0a19 ，其它是 0a1,a2,a3an9. 3. 各位上的数字相同的正整数记法 例如: 999=1000 1 1031 ， 9999 1041 ， 99999 1051 ， 1043421L99999个nn1 ；从而， 321L11111个n9110 n； 321L33333个n3110 n； 43421L55555个n( )91105 n. 4. 二进制的记数法只用 0 和 1 两个数码记数，逢 2 进 1，各位数都是以 2 为底的整数次幂. 把二进制的数化为
3、十进制： =122)10101(4+122+1 20=16+4+2=22； 把十进制数 78 化为二进制：78=26+23+22+21= 2)1001110(5. 解答有关十进制数的问题，有时会遇到所列的方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示 0 到 9 的整数，这一性质进行讨论. 乙 例题 例 1.一个六位数的最高位是 1，若把 1 移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原六位数的 3 倍，求原六位数. 解：设原六位数在 1 的右边的五位数为 x. 那么原六位数可记作 1 105x ，新六位数为 10x1 ， 根据题意，得 10x1 3 （1 105
4、x ）. 7x=299999， x=42857. 原六位数是 142857. 例 2.设 n 为正整数，计算 1 . 43421L99999个n43421L99999个n43421L99999个n解：原数（10n 1）（ 10n 1）+1 10n+10n1 85 102n2 10n+1+10n+10n1 102n. 例 3.试证明： 12， 1122， 111222， 这些数都是两个相邻的正整数的积. 321L1111个n321L2222个n证明：12 34 ； 1122 33 34； 111222333 334； 注意到 333 334333 （ 3331 ）31-103（31-1031 ）
5、. 由经验归纳法，得 321L1111个n321L2222个n9110 n10n+( )91102 n3110 n（310n32） 3110 n（ )13110+n. 上述结论证明了题设的各个数，都是两个相邻的正整数的积. 例 4.试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是 9 的倍数，那么这个四位数必能被9 整除. 并把它推广到 n 位正整数，也有同样的结论. 证明：设一个四位数为 103a+102b+10c+d, 根据题意，得 a+b+c+d=9k (k 为正整数) ， d=9k a b c, 代入原四位数，得 103a+102b+10c9k a bc （1031 ）a+(1021)b+
6、9c+9k 9(111a+11b+c+k). 111a+11b+c+k 是整数， 四位数 103a+102b+10c+d,能 9 被整除. 推广到n 位正整数： n位正整数记作 10n 1a1+10n 2a2+10an1+an.（1 ） a1+a2+an1+an=9k (k是正整数) ， an=9k a1a2an1. 代入（1 ）得 原数10n 1a1+10n 2a2+10an1+9k a1a2an1（10n 11 ）a1+（10n 21 ）a2+9an1+9k. 10n 11 ，10n 21 ，10 1 分别表示 ， ，9. ()321L91999个n ()321L92999个n原数9 （
7、a321L1111n1 a321L2111n2an-1+k）. 这个 n 位正整数必能被 9 整除. 例 5.已知：有一个三位数除以 11，其商是这个三位数的三个数字和. 求：这个三位数. 解：设这个三位数为 102a+10b+c 其中 0a 9, 0 b, c 9. 861110100 cba +9a b 11cba +，且8 a b+c 18. 要使11cba +是整数， ab+c 只能是 11 或 0. 当 ab+c 11 时，商是 9a+b+1, 根据题意， 得 9a+b+1a+b+c ， c=8a+1， a 只能是 1， c=9, b=a+c 11=1 这不合题意，舍去； 当 ab+
8、c 0 时，商是 9a+b. 9a+b= a+b+c，且 ab+c 0. 即 解得 =+=+09cbacbaba=.8,9,1cba答：这个数是 198. 例 6.已知一个正整数十位上的数字比个位数大 2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是 8877，求这个正整数. 解：顺序颠倒过来后, 两个数的和是 8877, 可知它们都是四位数. 设原四位数的千、百、十位上的数字分别为 a, b, c，则个位数是 c 2, 根据两个四位数的和是 8877，试用列竖式来讨论答案： a b c (c2) 从个位看 (c 2)+a=7 或 17， +) (c2) c b a 从千位看 a+(c
9、2)=8 ( 没进入万位) ， 8 8 7 7 可知 (c 2)+a=7， 即 c+a=9. (1) 从十位上看 b+c=7 或 17，从百位上看 c+b=8 (进入千位) ，可知 c+b=17. (2) (2)+(1)得 b a=8. 0a 9，且 0 b9 ， b=9. a=1, b=9, c=8， c 2=6. 答：这个正整数是 1986. 丙 练习 28 1. 设 a 是个两位数， b 是三位数. 当 a 接在 b 的左边时，这个五位数应记作_；当 a 接在 b 的右边时，这个五位数应记作_. 2. 有大小两个两位数，大数的 2 倍与小数的 3 倍的和是 72，在大数的右边写上一个 0
10、，再接着写小数，得到第一个五位数；在小数的右边写上大数，再接着写个 0，得到第二个五位数. 已知第一个五位数除以第二个五位数，得商 2，余数 590.求这两个两位数. 3. 计算：1987 19861986 1986 19871987. 4. 一个 22 位数，个位数字是 7，当用 7 去乘这个 22 位数时，其积也是 22 位数，并且恰好是将这个数的个位数字 7 移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变. 求原 22 位数 . 5. 试证明：11 2， 1111 22， ，各数都能写成某个正整数的平方.321L12111个n321L2222个n87（即证明各数都是完全平方数. ） 6. 一个两
11、位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比是 47. 求符合条件的所有两位数. 7. 已知一个六位数乘以 6，仍是六位数，且满足等式 abcdef 6 defabc . 求原六位数 abcdef . 8. 已知四位数 abcd 除以 9 得四位数 dcba，求原四位数. 9. 一个五位正奇数 x，将 x 中的所有 2 都换成 5，并把所有 5 都换成 2，其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作 y ，若 x, y 满足等式：y=2(x+1), 那么 x=_. (1987 年全国初中数学联赛题) 10. 已知：存在正整数 n 能使数 被 1987 整除. 43421L111111个n求证：
12、p= 能被 1987 整除. 43421L111111个n43421L999999个n43421L888888个n43421L777777个n（ 1987 年全国初中数学联赛题） 11. 一个三位数被 11 整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和. 求符合条件的所有三位数. （ 1988 年泉州市初二数学双基赛题） 12. 一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小 2，而个位数比百位上数字的算术平方根大 7.求这个三位数. 13. 求证： 是一个合数. 43421L1199011111个14. 某自然数的偶次幂是千位数字为 3，个位数字为 5 的四位数，则这个自然数是. （ 2005 年希望杯邀请赛初一试题） 15. 计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制数，将它转化成十进制形式是 1231 220 211 2013，那么将二进制数(1111)2转化成十进制形式是数( ) (A).8 ； (B) 15； (C) 20 ； (D) 30. ( 2003 年福建省数学奥校初一试题) 16. 两个七进制整数 和(5)7)454(7的商的七进制表示法为_. （ 2000 年希望杯邀请赛初二试题） 88
