1、1河南省信阳高级中学 2018 届高三数学第四次模拟考试试题 文第 I 卷（选择题）一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合 ， ，则 （ ）*2|0AxNx23B， ABA B C D ,31,1,13，2设 zi（ 是虚数单位） ，则 2z （ ）A 1 B i C i D i 3已知菱形 ABCD 的对角线 AC 长为 1，则 =（ ）A B1 C2 D424若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）A B C D352531095已知直线 交抛物线 于 两点（点 在 x 轴上方），点 为抛1
2、xyxy42BA, F物线的焦点，那么 =（ ）FA5 B4 C3 D26某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B143163C D6887在等差数列 中，满足：na,10531a表示前 项和， 则使 达到最大值的 是 （ ）,9642aSnSnA21 B 20 C19 D188函数 的图像大致为（ ）silnxy29如图是用模拟方法估计圆周率 的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A B10NP104NC DMMP10已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为（x 1,y1） ，(x2
3、,y2)， （ xm,ym） ，则 （ ）1iA 0 B m C2 m D 4 m11若 满足 且 的最小值为 ，则 的值为（ ）yx,02ykxyz-kA B C2D22112已知 是椭圆 （ ）的左，右顶点，点 是椭圆上异于,12byax0aP的动点，记直线 的斜率分别为 ，当 取得最小值时，, PA, 21,k2121lnk椭圆的离心率为（ ）3A B C D2112223第 II 卷（非选择题）二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知等比数列 13nnaSaa是 递 增 数 列 ,是 的 前 项 和 .若 ， 是 方 程.2 650x的 两 个 根 ， 则
4、14函 在点 处的切线方程是 xefl1f，15我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. （注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）16已知四面体 中， 和 都是边长为 6 的正三角形，则当四面体的体ABCDBCD积最大时，其外接球的表面积是_.三、解答题（本题共 7 道小题,共 70 分）17 （本小题满分 12 分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，已知ABCBC,abc24sin4sin2（）求角 的大小；（）已知 ，
5、的面积为 6，求边长 的值.bABCc18 （本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 PABC中， PA AB， PA BC， AB BC， PA=AB=BC=2， D 为线段 AC 的中点， E为线段 PC 上一点（）求证： PA BD；（）求证：平面 BDE平面 PAC；（）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积419. （本小题满分 12 分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在 内，则为合格品，否则为不合格品. 表 1 是甲套设备的样本的频
6、数)120,分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方图. 表 1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值 95,100) 100,105) 105,110) 110,115) 115,120) 120,125频数 1 5 18 19 6 1图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）将频率视为概率. 若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中的不合格品约有多少件；（）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计合格品不合格品合计（）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较.附： .)()(2
7、2 dbcabnKP(K2k 0) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.（本小题满分 12 分）椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，离心率 ，过左焦点 作 轴的垂线交椭圆Ox2e1Fx于 、 两点， A4（）求该椭圆的标准方程；5（）取平行于 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 、 ，过 、 作圆心为 的圆，yPPQ使椭圆上的其余点均在圆 外求 的面积 的最大值，并写出对应的圆 的标准QS方程21.已知函数 1()()afxR（） 当 时，求曲线 在 处的切线方程；0xf1（） 设函数 ，求函数 的极值；()ln
8、()hxaxh（） 若 在 （e2718 28）上存在一点 ，使得g， 0x成立，求 的取值范围00()xf请考试在 22-23 两题中任选一题做答，如果多选，则按所选做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数） ，以该直角坐标系的xOyC2(1xty原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线 的方程为P.24cos30（）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；P（）设曲线 和曲线 的交点 、 ，求 .CAB23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 2xf（）求不等式 的解集；046
9、（）设 ，若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的mxg37xxgfm取值范围1、选择题ADADC CBBDB AC2、填空题13、63 14、y=ex-e 15、3 16、 60三、解答题17 （1）由已知得 ，2sin4)cos(12BA化简得 ，即 ，2incsBA)co(因为 ,所以 ，043又因为 ，所以 . 6 分 C（2）因为 ，由 ， ， ，得 ，abSsin216ABCSb32a由余弦定理得 ，所以 . 12 分ccos210c18证明：（） ，,P平面 ， 平面 ，且 ，ABCBACB平面 ， 平面 , ； PDPD 3 分（） ， 是 的中点， ,A2018 年普通高等学
10、校招生全国统一考试模拟卷文 科 数 学 答 案7由（）知 平面 ， 平面 ，PABCPAC平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 , ，DBA平面 ，BD平面 , 平面 平面 , EBPAC 7 分（） 平面 ，又 平面 平面 ,/PADE平面 ， C/是 中点， 为 的中点， DE1是 的中点， ,A122BDABCS133EBCDV 12 分19.（）由图 1 知，乙套设备生产的不合格品率约为 . 2 分507乙套设备生产的 5000 件产品中不合格品约为 （件） 3 分（）由表 1 和图 1 得到列联表甲套设备 乙套设备 合计合格品 48 43 91不合格品 2 7 9合计 50 50 10
11、05 分将列联表中的数据代入公式计算得05.39150)4278(1)()(22 dbcabnK8 分 706.25.3有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. 9 分8（）由表 1 和图 1 知，甲套设备生产的合格品的概率约为 ，乙套设备生产的合格品5048的概率约为 ，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105,115）之间，乙套设5043备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备. 12 分20921解：（） 当 a0 时， , f （1） 1, 则切点为（1, 1
12、），1 分xf , 切线的斜率为 , 2 分21()fx()kf曲线 在点（1, 1）处的切线方程 ，即 3 分 y02yx（）依题意 ，定义域为（0, +），1()lnahxax , 4 分22 21()(1)()() xa当 ，即 时，令 ，x0，0x1+ a, 0ah此时，h（x） 在区间（0, a+1）上单调递增，令 ，得 x1+ a()此时，h（x）在区间（a+1,+）上单调递减 5 分当 a+10，即 时， 恒成立， h（x）在区间（0,+）上单调递减 1()06 分综上，当 时，ah（x）在 x1+a 处取得极大值 h（1+a） ，无极小值；ln(1)2a当 时，h（x）在区间（
13、0,+）上无极值 7 分1（）依题意知，在1, e上存在一点 x0，使得 成立,00()gxf即在1, e上存在一点 x0，使得 h（x 0）0，故函数 在1, e上，有 h（x） max0 8 分1()lnahxa由（）可知，当 a+1e, 即 时，h（x）在1, e上单调递增，1e , , max1()(e)0ah 2 9 分212当 0a+11，或 ，即 a0 时，h（x）在1, e上单调递减，1a ， 10 分max()()0h2a当 1a+1e，即 0ae-1 时，由（）可知，h（x）在 x1+a 处取得极大值也是区间（0, +）上的最大值，即 h（x） maxh（1+a） ，ln(
14、1)2ln(1)2aa0ln（a+1）1, h（1+a）0 在1, e上恒成立，此时不存在 x0使 h（x 0）0 成立11 分10综上可得，所求 a 的取值范围是 或 a-2 12 分2e1a22.（）由 为参数）消去参数 得曲线 的普通方程：2(1xtytC10xy将 代入 得曲线 的直角坐标方程为22cosx24cos30P. 4 分2430xy（）曲线 化为 ，表示圆心在 ，半径 的圆，P2()1xy(2,0)1r所以圆心到直线 的距离为Cd所以 10 分2ABr23.（）由题意，当 ， ，解得 , x0422x12x或 x当 ， ,解得 ，2x04-23或原不等式的解集为x|x2 或 x1； 5 分（）原不等式等价于|x2|+|x+7|3m 的解集非空，|x2|+|x+7|x2x7|=9，3m9，m3 10 分
