1、郴州市 2018 届高三第二次教学质量监测试卷数学（理科）(命题人：2018 届高三数学理科研究专家组审题人:郴州教育科学研究院 汪昌华 桂阳一中 李民忠 宜章一中 朱联春)一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 满足 ，则 的虚部是（ ）A. -1 B. 1 C. -2 D. 2【答案】B 的虚部是 1故选：B2. 已知 , ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得： ， ，故选：A3. 甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【
2、解析】甲、乙、丙三人站成一排照相,共有 种排法，其中甲排在左边的排法为 种，甲排在左边的概率是故选：D4. 如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的一种运算方法，执行该程序框图，若输入的 ， 分别为 12，20，则输出的 （ ）A. 0 B. 14 C. 4 D. 2【答案】C【解析】由 a=12，b=20，不满足 ab，则 b 变为 2012=8，由 ab，则 a=128=4，由 ba，则 b 变为 84=4，由 a=b=4，则输出的 a=4故选：C点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；
3、(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 已知数列 的前 项和 ，且 ，则 （ ）A. 27 B. C. D. 31【答案】C【解析】 ，且 ， ，即 ，当 时， ， ，即 ， 故选：C6. 函数 (其中 ， )的部分图象如图所示,将函数 的图象（ ）可得 的图象A. 向右平移 个长度单位 B. 向左平移 个长度单位C. 向左平移 个长度单位 D. 向右
4、平移 个长度单位【答案】D【解析】由函数 的部分图象知， ， ，解得 ，由五点法画图知， ，解得 ，又将函数 的图象向右平移 个单位，可得 的图象，故选 D.7. 设 , , 为正实数,且 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】x，y，z 为正实数，且 ，可得：x=2 k1，y=3 k1，z=5 k1 =2k1 ， =3k1 ， =5k1 ，令 ，又 在 上单调递减， ,即故选：C8. 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， 为整数，且 ，则数列 前 项和的最大值为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】A【解析】a 1=9，a 2为整数，可知：等差数列a
5、n的公差 d 为整数，由 SnS 5，a 50，a 60，则 9+4d0，9+5d0，解得 ，d 为整数，d=2a n=92（n1）=112n，数列 前 项和为令 bn= ，由于函数 f（x）= 的图象关于点（4.5，0）对称及其单调性，可知：0b 1b 2b 3b 4，b 5b 6b 70，b nb 4=1最大值为= 故选：A9. 已知 是定义在 上的函数,对任意 都有 ，若函数满足 ，且 ，则 等于（ ）A. 2 B. 3 C. -2 D. -3【答案】B【解析】对任意 xR，都有 f（x+4）=f（x）+2f（2） ，f（2+4）=f（2）+2f（2）f（2）+f（2）=02f（2）=0
6、f（2）=0，f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x） 即函数周期为 4f（2019）=f（4504+3）=f（3）=f（1）=f（1）=3故选：B10. 如图， 是抛物线 ( )的焦点，直线 过点 且与抛物线及其准线交于 , , 三点，若 , ，则抛物线 的标准方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|=a，则|BC|=3a，|BD|=a， ，在直角三角形 ACE 中，|AB|=9，|AC|=9+3a，3|AE|=|AC|， =9+3a，即 a=3，BDFG， ，即 ，解得 p=4，抛物线的方程为 y2=8x故
7、选：C11. 三棱锥 的一条棱长为 ，其余棱长均为 2，当三棱锥 的体积最大时, 它的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意画出三棱锥的图形，其中 AB=BC=CD=BD=AC=2，AD=m；取 BC，AD 的中点分别为 E，F，可知 AEBC，DEBC，且 AEDE=E，BC平面 AED，平面 ABC平面 BCD 时，三棱锥 ABCD 的体积最大，此时 AD=m= AE= = ；设三棱锥外接球的球心为 O，半径为 R，由球体的对称性知，球心 O 在线段 EF 上，OA=OC=R，又 EF= = = ，设 OF=x，OE= x，R 2= +x2= +1，解得 x
8、= ；球的半径 R 满足 R2= ，三棱锥外接球的表面积为 4R 2=4 = 故选：B点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直，且PA a， PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2 a2 b2 c2求解12. 已知函数 ， ，若 与 的图像上存在关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
9、【答案】D【解析】g（x）= 关于直线 y=1 对称的直线为 y=1mx ，直线 y=1mx 与 y=2lnx 在 ，e 2上有交点作出 y=1mx 与 y=2lnx 的函数图象，如图所示：若直线 y=1mx 经过点（ ，2） ，则 m=3e，若直线 y=1mx 与 y=2lnx 相切，设切点为（x，y） 则 ，解得 m3e故选：D点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，
10、然后数形结合求解第卷（共 90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题卡上.13. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 _【答案】2. ，即 + ，即故答案为：214. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】【解析】由三视图可知，该几何体由四分之三的圆柱与三棱锥组成，该几何体的体积为故答案为：15. 设 实数 、 满足： ， 实数 、 满足 ，若 是 的充分不必要条件，则正实数 的取值范围是_【答案】【解析】 是 的充分不必要条件， 是 的充分不必要条件，表示以 为圆心， 为半径的圆面，当圆面与直线 相切时，圆面最大，正实数 的取值范
11、围是故答案为：16. 已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，点 为双曲线 的左焦点，过点 作垂直于 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 于 ， 点，连接 交 轴于点 ，连接 交 于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为_【答案】5【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：双曲线 C： 中，PQ 过左焦点 F 且垂直与 x 轴，假设 P 在 Q 的上方，则 xP=xQ=c，将 x=c 代入双曲线的方程可得：y P= ，y Q= ，则|PF|=|FQ|= ，又由 OEPM，则EOBPFB，则有 ，则|EO|=c-a，而EOAMFA，则有 ，即 ，整理可得：c=5a，则 e=5，故双曲线的离心率为 5；故
12、答案为：5点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题：共 70 分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17. 在 中，内角 的对边分别为 ，且,（）求角 的大小；（）若 ，求 的面积.【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：(1)利用二倍角公式及商数关系得到 ，从而得到结果；（2) 由，得 ，结合正余弦定理可得 ，又 ， ，从而
13、解得 ，进而得到 的面积.试题解析：（）解法一：由 ，得 ，因为在 中， ，所以 ，即 .又因为在 中， ，所以 ， ，解法二：由 ，得 ，即 ， ， .又因为 中， ，所以 ， ，（）由 ，得根据正弦定理和余弦定理得， ，即 .又由（）知 ，所以 .又 ，解得 所以，面积为 .18. 如图，在长方形 中， ， ，现将 沿 折起，使 折到 的位置且在面 的射影 恰好在线段 上.（）证明： ；（）求锐二面角 的余弦值.【答案】 （）见解析；（） .【解析】试题分析：(1)先证明 平面 ，进而得到 平面 ，从而得证；(2) 以 为原点，建立空间直角坐标系 .求出平面 与平面 的法向量，代入公式得到
14、结果.试题解析：（）由题知 平面 ，又 平面 ， ；又 且 ， 平面 ；又 平面 ， ；又 且 ， 平面 ；又 平面 ，所以 .（）在 中， , 由射影定理知 ， .以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系 .则 , ， , ， ， ,设 是平面 的一个法向量，则 ， ，即 ，即 ，取 ，所以 ；设 是平面 的一个法向量，则 ， ，即 ，即 ，取 ，所以 ；设锐二面角 的大小为 ，则所以锐二面角 余弦值为 .点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出
15、方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 (单位：万元)和产品营业额 (单位：万元)的统计折线图.()根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用 与产品营业额 的关系，请用相关系数加以说明；()建立产品营业额 关于宣传费用 的归方程；()若某段时间内产品利润 与宣传费 和营业额 的关系为 ，应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润.参考数据： ， ， ， ，参考公式：相关系数， ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘佔计公式分别为 ，.
16、(计算结果保留两位小数)【答案】 （）见解析；（） ；（）投入宣传费 3 万元时，可获得最大利润 55.4 万元.【解析】试题分析：(1) 由折线图中数据和参考数据得： , 从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系;(2)根据公式求得 ，得到 关于 的回归方程为 ；（3） ，利用二次函数性质求最值.试题解析：（）由折线图中数据和参考数据得： ， ，因为 与 的相关系数近似为 0.99，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系.（） ， ，所以 关于 的回归方程为 .（）由 ，可得 时， .所以投入宣传费 3 万元时，可获得最大利润 55.4 万元.20. 已知椭圆
17、的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆 与直线 相切于点 .（）求椭圆 的标准方程；（）若直线 与椭圆 相交于 、 两点( ， 不是长轴端点)，且以 为直径的圆过椭圆 在 轴正半轴上的顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】 （） ；（）直线 过定点，定点坐标为 .【解析】试题分析：（1）利用点在椭圆上及相切关系布列方程组，即可解得椭圆 的标准方程；（2）联立方程易得： ， ，以 为直径的圆过椭圆 在 轴正半轴上的顶点， ，即 或 ，经检验得到结果.试题解析：法一（）由题意设椭圆的标准方程为 （ ， 且 ） 在椭圆上， 由 得椭圆 与直线 相切， ，即 由知 ，故所求椭圆方程为法二：设
18、椭圆为 （ ， 且 ）则它在点 处的切线为 ，它与 表示同一直线， ， ， ，故所求椭圆方程为 .()设 ， ，联立得得，因为以 为直径的圆过椭圆的上顶点 即即即即 或当 时，直线 过定点 与已知矛盾当 时，直线 过定点 满足所以，直线 过定点，定点坐标为点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 函数 ，（）求函数 在点 处的切线方程；（）若 时，
19、有 成立，求 的取值范围 .【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：(1) , 又 切线方程；（2），又 在 时取到最小值为 ， 在 时取到最大值为 ， ，从而得到结果.试题解析：（） 又 所以在点 处在切线方程为()由于函数 定义域为所以令则 ，可得当 时， ，当 时，所以令 ，则 ，可得当 时， ，当 时，所以因此，由 得，所以， 的取值范围为 (讨论分离常数或其它解法，适当给分)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半
20、轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （ 是参数）,（）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，曲线 任一点为 ，求点 直线 的距离的最大值.【答案】 （）直线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ；（）.【解析】试题分析：（1）利用代入消参法得到直线 的普通方程，利用 得到曲线 的直角坐标方程；（2）曲线 经过伸缩变换 得到曲线 为 ，利用点到直线距离公式得到点 直线 的距离，进而求出最大值.试题解析：（）直线 的普通方程为 ， 故曲线 的直角坐标方程为 ，（）由（）得 ，经过伸缩变换 得到曲线 的方程为 ，所以曲线 的方程 ，可以令 ( 是参数)，根据点到直线的距离公式可得,故点 到直线 的距离的最大值为 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知 为正数，函数（）求不等式 的解集；（）若 的最小值为 ，且 ，求证：【答案】 （） ；（）见解析.【解析】试题分析：（）对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式 的解集；（）利用基本不等式求出 的最小值为 ，根据柯西不等式可得 ，从而可得结论.试题解析：（）等价于 或 或 ，解得 或 或所以不等式 的解集为 .（）因为 ，所以 ，即 .法 1： ， ， ， .当且仅当 时等号成立法 2：由柯西不等式得： ， ，当且仅当 时等号成立
