1、章末综合检测一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1.若 a， bR，则下列命题正确的是( )A. 若 a b，则 a2 b2 B. 若| a| b，则 a2 b2C. 若 a| b|，则 a2 b2 D. 若 a| b|，则 a2 b2【答案】C【解析】【分析】根据不等式性质证明真命题，举反例否定假命题.【详解】因为 a=1 b=-1， a2=b2,所以 A 错，因为| a|=1 b=-1， a2=b2，所以 B 错，若 a| b|，则 a2| b|2=b2，所以 C 对，因为 a=-1， b=1， a| b|，
2、 a2=b2，所以 D 错，综上选 C.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本判断能力.2.2.已知点 P(x0， y0)和点 A(1，2)位于直线 l：3 x2 y80 的异侧，则( )A. 3x02 y00 B. 3 x02 y00C. 3x02 y08 D. 3 x02 y08【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式与平面区域点关系列式，化简可得选项.【详解】因为点 P(x0， y0)和点 A(1，2)位于直线 l：3 x2 y80 的异侧，所以，选 D.【点睛】 “直线定界，特殊点定域” ，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点
3、同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域3.3.不等式 2x2 x10 的解集是( )A. B. (1，)C. (，1)(2，)D. (1，)【答案】D【解析】由 2x2-x-10 得(2x+1)(x-1)0,解得 x1 或 x0 的解集为(-,- )(1,+).故选 D.4.4.不等式 ax25 x c0 的解集为 x| x ，则 a， c 的值为( )A. a6， c1 B. a6， c1C. a1， c1 D. a1， c6【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得 a， c 的值.【详解】由题意得 为方程 两根，所以 ，选 B.【
4、点睛】一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.5.5.在直角坐标系中，不等式 y2 x20 所表示的平面区域是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据平方差公式化成直线方程形式，再根据符号分类讨论，作可行域.也可选点判断选项.【详解】因为 ，选 C.【点睛】 “直线定界，特殊点定域” ，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域6.6.设 a0， b0，若 是 3a与 3b的等比中项，
5、则 的最小值为( )A. 4 B. 8C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】先根据条件得 a,b 等量关系，再利用基本不等式求最值.【详解】因为 是 3a与 3b的等比中项，所以 ，因此 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 4，选 A.【点睛】利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值7.7.已知 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是()A. 或 B. 或C. D. 【答
6、案】D【解析】试题分析： 恒成立 ， ，当且仅当即 时等号成立，所以 ，即 ，解之得 ，故选 D.考点：1.基本不等式；2.一元二次不等式的解法.【名师点睛】本题考查基本不等式与一元二次不等式的解法，属中档题；利用基本不等式求最值时，应明确:1.和为定值，积有最大值，但要注意两数均为正数且能取到等号；2.积为定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的条件.视频8.8.若实数 满足不等式组 ,则 的最小值是A. 13 B. 15 C. 20 D. 28【答案】A【解析】：作出可行域， ，9.9.在 R 上定义运算： ，若不等式 对任意实数 成立，则实数 的最大值为（ ）A. B.
7、C. D. 【答案】D【解析】由题意得 对任意实数 恒成立， 对任意实数 恒成立设 ，则 ， ，整理得 ，解得 实数 的最大值为 选 D点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单10.10.设 ， ，且不等式 恒成立，则实数 的最小值等于( )A. 0 B. 4 C. D. 【答案】C【解析】，而 时取等号） ， ，要使 恒成立，应有 ， 实数 的最小值等于 ，故选 C.二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在题中的横线上)11.11.
8、若 a b0，则 与 的大小关系为_【答案】【解析】【分析】作差化简，根据差的符号判断大小.【详解】【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本论证能力.12.12.不等式 2 的解集为_【答案】(，7)(2，)【解析】【分析】先移项通分，再根据符号确定不等式解集.【详解】 ,即解集为(，7)(2，).【点睛】本题考查分式不等式解法，考查基本求解能力.13.13.如果实数 x， y 满足条件 则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数表示可行域内的点与定点（1，1）连线的斜率，结合图形确定取值范围.【详解】作可行域，B(-1,0),C(0,-1)， 表示可行域内的点 P
9、与定点 A（1，1）连线的斜率，由图可知【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.14.建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，若池底每平方米 120 元，池壁的造价为每平方米 80 元，这个水池的最低造价为_元【答案】1760【解析】【分析】设池底长为 x，根据条件建立水池的总造价，再根据基本不等式求最值.【详解】设池底长为 x，则宽为 ，因此水池的总造价为，当且仅当 时取等号，即这
10、个水池的最低造价为 1760 元.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.15.函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，则的最小值为 .【答案】4【解析】试题分析：依题意，函数 的图象恒过定点 ，点 在直线上，即 ，由基本不等式有 考点：指数函数，基本不等式【思路点晴】本题主要考查指数函数的基本概念，基本不等式的基本题型.由于指数函数过定点 故函数 的图象恒过定点 ，由于 在直线上，点的坐标可以代入直线方程，即
11、.利用 的代换，将乘以要求的表达式 ，展开后就可以利用基本不等式求得最小值.三、解答题(本大题共 5 小题，共 50 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.16.解不等式组【答案】2， )(1，6)【解析】【分析】先解分式不等式，再解一元二次不等式，最后求两者交集.【详解】解： 1 0 x2，6)，2x2 x10(2 x1)( x1)0x(， )(1，)，所以原不等式组的解为 x2， )(1，6)【点睛】本题考查分式不等式解法以及一元二次不等式解法，考查基本求解能力.17. 已知 lg(3x)lgylg(xy1)(1)求 xy 的最小值；(2)求 xy 的最小值【答案】 （1）
12、1 （2）2【解析】解：由 lg(3x)lgylg(xy1)得(1)x0，y0，3xyxy12 1，3xy2 10，即 3( )22 10，(3 1)( 1)0， 1，xy1，当且仅当 xy1 时，等号成立xy 的最小值为 1.(2)x0，y0，xy13xy3( )2，3(xy) 24(xy)40，3(xy)2(xy)20，xy2，当且仅当 xy1 时取等号，xy 的最小值为 2.18.18.解关于 x 的不等式 x25 ax6 a20.【答案】见解析【解析】【分析】先解方程，再根据两根大小分三种情况讨论解集.【详解】解：原不等式化为( x3 a)(x2 a)0.当 a0 时，3 a2 a，则
13、原不等式化为 x20，则 x；当 a0 时，3 a2 a，则原不等式的解集为 x|2a x3 a；当 a0 时，2 a3 a 则原不等式的解集为 x|3a x2 a综上， a0 时，原不等式解集为；当 a0 时，原不等式解集为 x|2a x3 a；当 a0 时，原不等式解集为 x|3a x2 a【点睛】本题考查含参数一元二次不等式解法，考查分类讨论思想以及基本求解能力.19.19.某玩具所需成本费用为 P 元，且 P1 0005 x x2，而每套售出的价格为 Q 元，其中 Q(x) a (a， bR)，(1)问：玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？(2)若生产出的玩具能全部售出，且当
14、产量为 150 套时利润最大，此时每套价格为 30 元，求a， b 的值(利润销售收入成本)【答案】 （1）该玩具厂生产 100 套时每套所需成本最少 （2） a25， b30.【解析】【分析】（1）先建立每套所需成本费用函数关系式，再根据基本不等式求最值， （2）先根据利润销售收入成本建立利润函数关系式，再根据二次函数性质确定开口方向、对称轴位置以及最大值取法，解方程与不等式组可得 a， b 的值.【详解】解：(1)每套玩具所需成本费用为 x 52 525，当 x ，即 x100 时等号成立，故该玩具厂生产 100 套时每套所需成本最少(2)设售出利润为 w，则 w xQ(x) P x x2
15、( a5) x1 000，由题意得 解得 a25， b30.【点睛】研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法.20.20.已知函数 f(x) x22 x8， g(x)2 x24 x16，(1)求不等式 g(x)2，均有 f(x)( m2) x m15 成立，求实数 m 的取值范围【答案】 （1） x|22 时， f(x)( m2) x m15 恒成立， x22 x8( m2) x m15，即 x24 x7 m(x1)对一切 x2，均有不等式 成立而 ( x1) 22 22(当 x3 时等号成立)实数 m 的取值范围是(，2【点睛】含参数的不等式存在性问题以及恒成立问题，都可转化为最值问题，即 恒成立 ， 恒成立 .
