1、124.1.3 弧、弦、圆心角知识要点基础练知识点 1 圆的对称性1.下列语句中,不正确的是(C)A.圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形B.圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴C.当圆绕它的中心旋转 8957时,不会与原来的圆重合D.圆的对称轴有无数条,但是对称中心只有一个知识点 2 圆心角及圆心角的计算2.下列图中, AOB 是圆心角的是(C)3.如图,在 O 中, B=37,则劣弧所对的圆心角的度数为(A)A.106B.126C.74D.532知识点 3 弧、弦、圆心角之间的关系4.在同圆或等圆中,下列说法错误的是(A)A.相等弦所对的弧相等B.相等弦所对的圆心角相等C.相等圆心角所
2、对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等5.如图所示,已知 OA,OB,OC 是 O 的三条半径,相等, M,N 分别是 OA,OB 的中点 .求证: MC=NC.证明: , AOC= BOC.又 OA=OB ,M,N 分别是 OA,OB 的中点,OM=ON ,在 MOC 和 NOC 中, OM=ON, AOC= BOC,OC=OC. MOC NOC(SAS),MC=NC.综合能力提升练6.如图, O 中,如果 AOB=2 COD,那么(C)A.AB=DC B.AB2DC37.如图所示,在 O 中, A=30,则 B=(B)A.150 B.75C.60 D.158.如图, AB 是圆 O 的直径,
3、 BC,CD,DA 是圆 O 的弦,且 BC=CD=DA,则 BCD 等于(C)A.100 B.110 C.120 D.1359.如图,已知 AB 和 CD 是 O 的两条等弦 .OM AB,ON CD,垂足分别为 M,N,BA,DC 的延长线交于点 P,连接 OP.下列四个说法中: ;OM=ON ;PA=PC ; BPO= DPO.正确的个数是(D)A.1 B.2 C.3 D.410.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则所对圆心角的度数是(C)A.120 B.135 C.150 D.16511.如图是两个半圆,点 O 为大半圆的圆心, AB 平行于半圆的直径且是
4、大半圆的弦且与小半圆相切,且 AB=20,则图中阴影部分的面积是 50 . 412.如图,安徽马鞍山二中的小华假期早起锻炼,从一个圆形操场 A 点出发,沿着操场边缘与半径 OA 夹角为 的方向跑步,跑到操场边缘 B 后,再沿着与半径 OB 夹角为 的方向折向跑 .小华一直沿着这样的方向跑,当小华第五次走到操场边缘时,正好在弧 AB 上,这时 AOE=80,则 的度数是 55 . 13.如图,已知点 C,D 是半圆上的三等分点,连接 AC,BC,CD,OD,BC 和 OD 相交于点 E.则下列结论: CBA=30;OD BC;OE=AC ; 四边形 AODC 是菱形 .说法正确的有 . 14.如
5、图, MN 是 O 的直径, MN=12, AMN=20,点 B 为的中点,点 P 是直径 MN 上的一个动点,则 PA+PB 的最小值为 6 . 提示:作点 A 关于直线 MN 的对称点 A,连接 AB 交 MN 于点 P,由轴对称的性质可知 AB 即为PA+PB 的最小值 .15.如图,已知 AB 是 O 的直径,弦 AC OD.5(1)求证:;(2)若所对圆心角的度数为 58,求 AOD 的度数 .解:(1)连接 OC.OA=OC , OAC= ACO.AC OD, OAC= BOD, COD= ACO. BOD= COD,.(2) , AOC=58, BOD= COD= BOC=(18
6、0-58)=61. AOD= AOC+ COD=119.16.如图, AB 是 O 的直径, C 是的中点, CE AB 于点 E,BD 交 CE 于点 F.(1)求证: CF=BF;(2)若 CD=6,AC=8,求 BE,CF 的长 .解:(1)延长 CE 交 O 于点 P,CE AB,. BCP= BDC.C 是的中点,6CD=CB. BDC= CBD. CBD= BCP.CF=BF.(2)CD= 6,AC=8,AB= 10.BE= 3.6.CE= 4.8.设 CF=x,则 FE=4.8-x,BF=x, (4.8-x)2+3.62=x2.x=.拓展探究突破练17.已知 Rt ABC 中,
7、ACB=90,CA=CB,有一个圆心角为 45,半径的长等于 CA 的扇形 CEF绕点 C 旋转,且直线 CE,CF 分别与直线 AB 交于点 M,N.(1)当扇形 CEF 绕点 C 在 ACB 的内部旋转时,如图 1,求证: MN2=AM2+BN2;(思路点拨:考虑 MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决 .可将ACM 沿直线 CE 对折,得 DCM,连 DN,只需证 DN=BN, MDN=90就可以了 .请你完成证明过程 .)(2)当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图 2 的位置时,解析式 MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由
8、 .解:(1) 将 ACM 沿直线 CE 对折,得 DCM,连 DN, DCMACM.CD=CA ,DM=AM, DCM= ACM, CDM= A.又 CA=CB ,CD=CB , DCN= ECF- DCM=45- DCM, BCN= ACB- ECF- ACM=90-45- ACM=45- ACM, DCN= BCN.又 CN=CN , CDN CBN.DN=BN , CDN= B. MDN= CDM+ CDN= A+ B=90.7 在 Rt MDN 中,由勾股定理得 MN2=DM2+DN2,即 MN2=AM2+BN2.(2)解析式 MN2=AM2+BN2仍然成立 .证明: 将 ACM 沿直线 CE 对折,得 GCM,连 GN, GCM ACM.CG=CA ,GM=AM, GCM= ACM, CGM= CAM.又 CA=CB ,得 CG=CB. GCN= GCM+ ECF= GCM+45, BCN= ACB- ACN=90-( ECF- ACM)=45+ ACM, GCN= BCN.又 CN=CN , CGN CBN.GN=BN , CGN= B=45, CGM= CAM=180- CAB=135. MGN= CGM- CGN=135-45=90. 在 Rt MGN 中,由勾股定理得 MN2=GM2+GN2.即 MN2=AM2+BN2.
