1、124.1.2 垂直于弦的直径知识要点基础练知识点 1 圆的轴对称性1.下列轴对称图形中,对称轴的条数最多的图形是(A)A.圆 B.正六边形C.正方形 D.等边三角形2.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折,直径两侧的部分相互重合,这说明(B)A.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心B.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴C.圆的直径相互平分D.垂直弦的直径平分弦所对的弧知识点 2 垂径定理3.如图,在 O 上作一条弦 AB,再作一条与弦 AB 垂直的直径 CD,CD 与 AB 交于点 E,则下列结论中不一定正确的是(C)A.AE=BE B.C.CE=EO D.4.如图,在 55 正方形网
2、格中,一条圆弧经过 A,B,C 三点,已知点 A 的坐标是( -2,3),点 C 的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 (-1,1) . 2知识点 3 垂径定理的推论5.下列说法正确的是(D)A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于直径的弦平分这条直径D.弦的垂直平分线经过圆心6.【教材母题变式】如图,在半径为 5 cm 的 O 中,圆心 O 到弦 AB 的距离为 3 cm,则弦 AB的长是(C)A.4 cm B.6 cmC.8 cm D.10 cm【变式拓展】如图, O 直径 CD=20,AB 是 O 的弦, AB CD,垂足为 M,若 OMOC=
3、 3 5,则弦AB 的长为 16 . 知识点 4 垂径定理的实际应用37.如图,是一个高速公路的隧道的横截面,若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分,路面AB=12 米,拱高 CD=9 米,求圆的半径 .解: CD AB 且过圆心 O,AD=AB= 12=6 米,设半径为 r 米, OA=OC=r 米, OD=CD-OC= (9-r)米, 在 Rt AOD 中,OA2=OD2+AD2,r 2=(9-r)2+62,解得 r=6.5.故 O 的半径为 6.5 米 .综合能力提升练8.如图, O 的弦 AB 垂直直径 CD 于点 E, BCE=22.5,AB=2,则 O 的半径长为(A)A. B.2
4、 C. D.39.学习了垂径定理后,合肥一中的数学老师让学生动手折一个半径为 6,圆弧恰好经过圆心的图形,求出折痕的长为(B)4A.4 B.6C.2 D.10. O 内有一定点 G,OG=5, O 的半径为 13,则过 G 点的所有弦中,长度为整数的弦共有(C)A.2 条 B.3 条C.4 条 D.无数条11.如图, AB 是半圆 O 的直径, AC 为弦, OD AC 于点 D,过点 O 作 OE AC 交半圆 O 于点 E,过点 E 作 EF AB 于点 F,若 AC=12,则 OF 的长为(C)A.8 B.7 C.6 D.412.已知 O 的半径为 15,弦 AB CD,AB=24,CD
5、=18,则 AB,CD 之间的距离为(C)A.17 B.7C.21 或 3 D.7 或 1713.如图所示,三圆同心于点 O,AB=6,CD AB 于点 O,则图中阴影部分的面积为 . 14.如图, AB,AC 分别是 O 的直径和弦, OD AC 于点 D,连接 BD,BC,AB=5,AC=4,则 BD= . 515.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径 OA=100 cm,水面宽 AB=120 cm,某天下雨后,水管水面上升了 20 cm,则此时排水管水面宽 CD 等于 1.6 m. 16.(西宁中考) O 的半径为 1,弦 AB=,弦 AC=,则 BAC 度数为 75或 15 .
6、17.(张家界中考)如图, AB,CD 是半径为 5 的 O 的两条弦, AB=8,CD=6,MN 是直径, AB MN 于点 E,CD MN 于点 F,P 为 EF 上的任意一点,则 PA+PC 的最小值为 7 . 18.如图,已知圆 O 的圆心为点 O,半径为 3,点 M 为圆 O 内的一个定点, OM=,AB,CD 是圆 O 的两条相互垂直的弦,垂足为 M.(1)当 AB=4 时,求四边形 ADBC 的面积;(2)当 AB 变化时,求四边形 ADBC 的面积的最大值 .解:(1)作 OE CD 于点 E,OF AB 于点 F,连接 OB,OC,那么 AB=2=4,OF= ,又 OE 2+
7、OF2=OM2=5,OE= 0,CD 为 O 的一条直径, CD= 6,S 四边形 ADBC=ABCD=12.6(2)设 OE=x,OF=y,则 x2+y2=5,AB= 2,CD=2,S 四边形 ADBC=ABCD=2=2=2. 当 x2=时,四边形 ADBC 的最大面积是 13.拓展探究突破练19.如图,在半径为 2 的扇形 AOB 中, AOB=90,点 C 是弧 AB 上的一个动点(不与点 A,B 重合), OD BC,OE AC,垂足分别为 D,E.(1)当 BC=1 时,求线段 OD 的长 .(2)在 DOE 中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由 .(3)设 BD=x, DOE 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围 .解:(1)如图(1), OD BC,BD=BC= ,OD=.(2)如图(2),存在, DE 是不变的 .连接 AB,则 AB=2,D 和 E 分别是线段 BC 和 AC 的中点,DE=AB=.7(3)y=(0x).
