1、1小专题(九) 用概率判断游戏规则的公平性一个游戏规则是否公平,关键是看游戏双方获胜的概率是否相等,若相等则公平,否则不公平 .要解决这类问题,先要算出双方获胜的概率,再判断 .另外,设计新规则,方案不唯一,只要使双方获胜的概率相等即可 .类型 1 判断游戏是否公平1.下列游戏公平的是(A)A.掷一个硬币两次,出现两次正面甲胜,出现两次反面乙胜B.掷一个硬币两次,出现一次正面甲胜,出现两次反面乙胜C.掷一个硬币两次,至少出现一次正面甲胜,出现一次反面一次正面乙胜D.掷一个硬币两次,出现相同面甲胜,至少出现一次正面乙胜2.小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子,规定两人掷的点数和为偶数,则小玲胜;点数
2、和为奇数,则小丽胜,下列说法正确的是(C)A.此规则有利于小玲B.此规则有利于小丽C.此规则对两人是公平的D.无法判断3.在联欢会上,有 A,B,C 三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置是在 ABC 的(B)A.三边中线的交点B.三边垂直平分线的交点2C.三条角平分线的交点D.三边上高的交点4.甲和乙一起做游戏,下列游戏规则对双方公平的是(B)A.在一个装有 2 个红球和 3 个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一球,摸到红球甲获胜,摸到白球乙获胜;B.从标有号数 1 到 10
3、0 的 100 张卡片中,随意抽取一张,抽到号数为奇数甲获胜,否则乙获胜;C.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数小于 4 则甲获胜,掷出的点数大于 4 则乙获胜;D.让小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机地停在某块方块上,若小球停在黑色区域则甲获胜,若停在白色区域则乙获胜5.王红和刘芳两人在玩转盘游戏,如图,把转盘甲、乙分别分成 3 等份,并在每一份内标上数字,游戏规则:转动两个转盘停止后,指针所指的两个数字之和为 7 时,王红胜;数字之和为 8时,刘芳胜 .那么这二人中获胜可能性较大的是 王红 . 6.(泉州中考) A,B 两组卡片共 5 张, A 中三张分别写有数字 2,4,6,B
4、中两张分别写有 3,5,它们除数字外没有任何区别 .(1)随机地从 A 中抽取一张,求抽到数字为 2 的概率;(2)随机地分别从 A,B 中各抽取一张,请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果 .现制定这样一个游戏规则:若所选出的两数之积为 3 的倍数,则甲获胜;否则乙获胜 .请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?解:(1) P=.(2)由题意画出树状图如图,3一共有 6 种情况,甲获胜的情况有 4 种, P=;乙获胜的情况有 2 种, P=,所以这样的游戏规则对甲乙双方不公平 .类型 2 修改游戏规则7.现有游戏规则如下:第一个人先说“1”或“1、2”,第二个人要接着往下说一个或
5、两个数,然后又轮到第一个人,再接着往下说一个或两个数,这样两人反复轮流,每次每人说一个或两个数都可以,但是不可以连说三个数,谁先说到“38”,谁就得胜 .在这个游戏中,若采取合理的策略,你认为(C)A.后报者可能胜 B.后报者必胜C.先报者必胜 D.不分胜负8.四张质地相同的卡片如图 1 所示,将卡片洗匀后,背面朝上放置在桌面上 .(1)求随机抽取一张卡片,恰好得到数字 2 的概率 .(2)小贝和小晶想用这四张卡片做游戏,游戏规则见图 2.你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由 .若不公平,请你修改规则,使游戏变得公平 .解:(1) P(随机抽取一张卡片,恰好得到数字 2)=.(
6、2)画树状图如下:4从树状图中可以看出所有等可能的结果共有 16 种,组成的两位数不超过 32 的有 10 种,P (组成的两位数不超过 32)=,P (小贝胜) P(小晶胜),游戏规则不公平 .修改规则:法一:将游戏规则中的 32 换成 2631(包括 26 和 31)之间的任何一个数都能使游戏公平 .法二:游戏规则改为:组成的两位数中,若个位数字是 2,则小贝胜,反之小晶胜 .(答案不唯一,合理即可)类型 3 设计公平的游戏9.三个筹码,第一个一面画上 ,另一面画上;第二个一面画上,另一面画上 #;第三个一面画上 #,另一面画上 .甲、乙两人玩抛掷三个筹码的游戏,其游戏规则定为“掷出的三个
7、筹码中 有一对 或一对 #(答案不唯一,合理即可) ,则甲方赢;否则,乙方赢”时,这个游戏是公平的 . 10.一个不透明的布袋里装有 16 个只有颜色不同的球,其中红球有 x 个,白球有 2x 个,其他均为黄球,现甲从布袋中随机摸出一个球,若是红球则甲同学获胜,甲同学把摸出的球放回并搅匀,由乙同学随机摸出一个球,若为黄球,则乙同学获胜 .(1)当 x=3 时,谁获胜的可能性大?(2)当 x 为何值时,游戏对双方是公平的?解:(1)当 x=3 时,有红球 3 个,白球 6 个,黄球 7 个,故甲同学获胜概率为,乙同学获胜概率为,因为,当 x=3 时,乙同学获胜可能性大 .(2)游戏对双方公平必须
8、有,解得 x=4,当 x=4 时,游戏对双方是公平的 .511.在一副扑克牌中,拿出红桃 2、红桃 3、红桃 4、红桃 5 四张牌,洗匀后,小明从中随机摸出一张,记下牌面上的数字为 x,然后放回并洗匀,再由小华随机摸出一张,记下牌面上的数字为 y,组成一对数( x,y).(1)用列表法或树状图表示出( x,y)的所有可能出现的结果 .(2)求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数满足 x+y=5 的概率 .(3)小明、小华玩游戏,规则如下:组成数对和为偶数小明赢,组成数对和为奇数小华赢 .你认为这个游戏公平吗?若不公平,请重新设计一个对小明、小华都公平的游戏 .解:(1)由列表或树状图(略)可得共有 16 种等可能的结果 .(2)满足所确定的一对数满足 x+y=5 的结果有 2 种:(2,3),(3,2),此事件记作 A,则 P(A)=.(3)组成数对和为偶数的概率是,组成数对和为奇数的概率是,所以游戏公平 .
