1、数列的应用,解: (1)由已知 a2=3a1+32-1=15+8=23;,a3=3a2+33-1=69+26=95.,a2, a3 的值分别为 23 和 95.,6(23+)=9(5+)+95+.,典型例题,解: (1)an 是等差数列, a2+a3=a1+a4=14.,又a2a3=45,a2, a3 是方程 x2-14x+45=0 的两实根.,公差 d0, a2a3, a2=5, a3=9.,a1+d=5 且 a1+2d=9 a1=1, d=4.,an=4n-3.,(2)由(1)知: Sn=2n2-n.,bn 也是等差数列, b1+b3=2b2, 即:,解得: c=-0.5(c=0 舍去).
2、,易知 bn 是等差数列,c=-0.5.,解: (3)由 (2) 知 bn+1=2n+2,解: (1)an+2-2an+1+an=0(nN*), an+2+an=2an+1 (nN*).,数列 an 是等差数列. 设其公差为d, 则由已知得:,8+3d=2.,d=-2.,an=-2n+10.,Sn=b1+b1+bn,m8.,存在满足条件的最大整数 m, 其值为 7.,可求得 a1=a2=a3=2.,an 为常数列,an=a1=2, nN*.,故 a1, a2, a3 及 an 的值均为 2.,5.下表给出一个等差数阵:,(1)写出 a45 的值;,(2)写出 aij 的计算公式;,(3)证明正
3、整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积;,(1)解: 依题意 a15=4+(5-1)(7-4)=16, a25=7+(5-1)(12-7)=27,a45=16+(4-1)(27-16)=49.,(2)解: 依题意 a1j=4+(j-1)(7-4)=3j+1, a2j=7+(j-1)(12-7)=5j+2,aij=3j+1+(i-1)(5j+2)-(3j+1)=2ij+i+j.,(3)证: 必要性: 若 N 在等差数阵中, 则存在正整数 i, j 使得:,N=2ij+i+j.,则有 2N+1=4ij+2i+2j+1,=(2i+1)(2j+1).,即
4、2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积;,充分性: 若 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积, 2N+1 是奇数, 它必为两个不是 1 的奇数之积.,即存在正整数 m, n 使得: 2N+1=(2m+1)(2n+1).,2N+1=4mn+2m+2n+1.,N=2mn+m+n=amn.,即 N 在等差数阵中.,综上所述, 正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积.,解: (1)设等比数列 an 的公比为q, 等差数列 bn 的公差为d,a1=2, a3=18, 18=2q2.,q2=9.,q=3.,当 q=-3 时, a1+a2+a
5、3=1420, 不合题意, 舍去;,当 q=3 时, a1+a2+a3=26, 符合题意.,由 b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26 得: 42+6d=26,bn=2+(n-1)3=3n-1.,d=3.,数列 bn 的通项公式为 bn=3n-1.,(2)由已知及(1)知 b1=2, d=3,数列 bn 的前 n 项和公式为,6.已知an是等比数列, a1=2, a3=18, bn是等差数列, b1=2, b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320. (1)求数列 bn 的通项公式; (2)求数列 bn 的前 n 项和公式; (3)设 Pn=b1+b4+b7 +b3n-2, Qn=b
6、10+ b12+b14 +b2n+8, 其中, n=1, 2, , 试比较 Pn 与 Qn 的大小, 并证明你的结论.,6.已知an是等比数列, a1=2, a3=18, bn是等差数列, b1=2, b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320. (1)求数列 bn 的通项公式; (2)求数列 bn 的前 n 项和公式; (3)设 Pn=b1+b4+b7 +b3n-2, Qn=b10+ b12+b14 +b2n+8, 其中, n=1, 2, , 试比较 Pn 与 Qn 的大小, 并证明你的结论.,解: (3)b1, b4, b7, , b3n-2 组成以 3d 为公差的等差数列,又 b10,
7、 b12, b14, , b2n+8 组成以 2d 为公差的等差数列,对于正整数 n,当 n18 时, PnQn;,当 n=19 时, Pn=Qn;,当 n20 时, PnQn.,解: (1)当 xn, n+1(nN*) 时, f(x)=x2+x 为增函数,f(x) 的值域为 n2+n, n2+3n+2.,f(x) 的所有整数值的个数 g(n)=2n+3(nN*).,Sn=a1-a2+a3-a4+(-1)n-1an,(2)由 (1) 及已知得 an=n2, 当 n 为偶数时,=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2,=-(1+2+3+n),当 n 为奇数时,Sn=Sn-1+an,T
8、n7 恒成立.,Tnl(lZ), l 7., l 的最小值为 7.,8.已知an中, a1=1 且 a2k=a2k-1+(-1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中, k=1, 2, 3, , (1)求 a3, a5; (2)求 an 的通项公式.,解: (1)由已知 a2=a1+(-1)1=0;,a4=a3+(-1)2=4;,a3, a5 的值分别为 3, 13.,(2)由已知 a2k+1-a2k-1=(-1)k+3k,a2k+1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a2k+1-a2k-1),=1+(-1)1+(-1)2+(-1)k+(31+32+3k),a2k=a2k-1+(-1)k
9、=,a3=a2+31=3;,a5=a4+32=13.,应用题举例,1.某种汽车购买时费用为 14.4 万元, 每年应交付保险费, 养路费及汽油费共 0.9 万元, 汽车的维修费为: 第一年 0.2 万元, 第二年 0.4 万元, 第三年 0.6 万元, , 依等差数列逐年递增. (1)设使用 n 年该车的总费用为 f(n), 试写出 f(n) 的表达式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年平均费用最少)?,解: (1)依题意得: f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+0.2n)+0.9n,=0.1n2+n+14.4.,故 f(n) 的表达式为 0.1n2+n+14.4.
10、,(2)设该车的年平均费用为 S 万元, 则,当 n=12 时 S 取最小值3.4.,故这种汽车使用12 年报废最合算.,2.有一个细胞集合, 在一小时里死亡两个, 剩下的细胞每一个都分裂成两个, 假设开始有 10 个细胞, 问经过几小时后, 细胞的个数为 1540 个?,解: 设 n 小时后的细胞个数为an+1, 依题意得:,an+1=2(an-2), 且有 a1=10.,an+1-4=2(an-4).,an-4 是以 a1-4=6 为首项, 2 为公比的等比数列.,an-4=62n-1.,an=62n-1+4.,an+1=62n+4.,由 an+1=1540 解得 n=8.,故经过 8 小
11、时后, 细胞的个数为 1540 个.,3.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆, 预计今后每年报废上一年末汽车保有量的 6%, 并且每年新增汽车量相同, 为保护城市环境, 要求城市汽车保有量不超过 60 万 辆, 那么每年新增汽车数量不超过多少万辆?,解: 设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆, 以后各年末汽车保有量 依次为 b2 万辆, b3 万辆, , bn 万辆, 每年新增汽车 x 万辆.,则 b1=30, b2=b10.94+x, 对于 n1, 有 bn+1=0.94bn+x,故每年新增汽车不应超过 3.6 万辆.,4.某县位于沙漠边缘, 当地居民与风沙进行着长期艰苦的
12、斗争, 到 2003 年底, 全县的绿地面积已占全县面积的 30%, 从 2004 年起, 县政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度, 每年将有 16% 的原沙漠地带变成绿地, 但同时原有绿地面积的 4%又被侵蚀变成沙漠, 设全县面积为 1, 记 2003 年底的绿地面积为 a1, 经过 n 年后的绿地面积为 an+1.,(1)试用 an 表示 an+1;,(3)问至少在哪一年的年底, 该县的绿地面积超过全县面积 的 60%?,(参考数据: lg20.301, lg30.477),(1)解: 依题意 an+1=an+(1-an)16%-an4%,(3)解: 由 (2)得:,4.1.,故取 n=5
13、, 至少在 2008 年底该县的绿地面积将超过全县面积的 60%.,解: (1) 依题意这个人第一年收入 a1=a 元;,故对 n2, nN*, 均有 ana 成立.,a.,一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入.,6.某公司取消福利分房和公费医疗, 实行年薪制工资结构改革, 从 2000 年起, 每人的工资由三个项目组成:,如果该公司 2000 年有 5 位职工, 计划从 2001 年起每年新招 5 名职工. (1)若 2000 年算第一年, 试把第 n 年公司付给职工的工资总额 y(万元)用 n 表示出来; (2)试判断公司每年发给职工工资总额中, 房屋补贴和医疗费的总和能否超过基本工资总额的20%?,解: (1)依题意第 n 年共有 5n 个职工, 基本工资总额为,医疗费总额为 5n0.16=0.8n(万元);,房屋补贴为 50.04+50.042+50.04n,=0.2(1+2+n)=0.1n(n+1)(万元).,故房屋补贴和医疗费的总和不会超过基本工资总额的 20%.,
