1、数学模型与数学建模简介一 数学模型与数学建模的概念1.数学建模竞赛的由来(1)美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985 年在美国出现了一种叫做 MCM 的一年一度大大学生数学模型（1987 年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988 年改全称为 Mathematical Contest in Modeling,其所写均为 MCM）。这并不是偶然的。 在 1985 年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称 Putman(普特南)数学竞赛），这是由美国数
2、学协会（MAA-即 Mathematical Association of America 的缩写）主持，于每年 12 月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年 2 月或 3 月进行。（2）我国大学生数学建模竞赛我国自 1989 年首次参加美国大学生数学建模竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990 年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称 CMCM），该项赛事每年 9 月进行。数模竞赛题的类型及出
3、题的指导思想。大部分的数模竞赛题都是源于生产实际或者科学研究的过程中，例如，95 年的一道题是空中飞行管理的问题，98 年 A 题“投资的收益与风险”，B 题是“ 实情的巡视路线 ”，去年 C 题“ 资金的使用计划”，D 题“公交车的调度” 。关于 “公交车的高度”这道题目正是我院所选定的题目，在这儿稍作详细一点的介绍，题目给出我国某路大城市的一条交通线路。它光有上，下行驶方向各 14 个站，从早上6 时开始至晚上 12 时，每站，每小时上的人数的统计资料已绘出；每站之间的距离，公交车行驶速度也绘出。汽车偏差可载客 100 人，最大载承量为 120 人，要求在人流高峰期乘客候车时间不超过5 分
4、钟，客流低峰期候车时间不超过 15 分钟，客车空载率不低于 50%。问 1)此线路应当配备多少辆车：2)如何设计发车时间表？这样的问题与传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题“，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的(数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的)呈报的成果是一编“论文”。由此可见“数模竞赛” 偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。全国大学生数模竞赛是如何进行的呢
5、？我国著名的大学每年通常参加二次数模竞赛，春节后有一次“全美数模竞赛”，其发起的单位是美国工业与应用数学学会，现在已经发展成一项国际性的竞赛活动，竞赛题在网上获得，论文的书写是全英文的比赛评奖直接在美国本土进行，第二项比赛就是“全国大学生数模竞赛”了，“全美数模竞赛”我院目前还不具备参赛条件，因此，下面仅介绍“全国数模比赛”的进行情况。竞赛的时间通常安排在 9 月份的下旬，例如上届就在 9 月 21 号(星期五)早上八时正开始，试题由指导教师在二十号下午去省高教厅取得，试题原则上由学生自己独立完成，在每间高等学院的通常做法是：指导教师针对学生的疑难作适当的解释，而比赛可供选择的题目有有二题，
6、凡是参加过数模竞赛的学生在完成答卷的时候都会油然产生一种莫名的成就感。为什么呢？同学们可以设身处地地想一想，在接受考题的那一刻到交付答卷时，其间每一分钟都那么新鲜,每一分钟都承受着一份责任!你要去探索一个你从未接触过的问题，你要通过思考、讨论去寻找解题的方法。你要分析、要计算、要努力得出更精确的答案。与此同时，你还要构思、要精炼文章的语句与文字，要让自己的文章令人赏心悦目，令人佼服。这 72 小时的经历，你克服了多少困难，做了多少工作，收获又是何其大呢？ 参加数模竞赛通常需要哪些方面的知识呢？“数模”全国赛是一种综合能力的比试。这里详细一些地进行介绍。第一方面：数学知识的应用能力。按历年比赛的
7、试题来看，又涉及的数学知识面十分地宽广，但归结起来大体上有以下几类：1)概率与数理统计 2)统筹与线轴规划。3)、微分方程还有与计算机知识相交叉的知识：计算机模拟，上述的内容有些同学完全没有学过，也有些同学只学过一点概率与数理统计，微分方程的知识怎么办呢？两个字“自学”。 第二方面：计算机的运用能力，一般来说凡参加过数模竞赛的同学都能熟练地应用字处理软件“Word”(97 或 2000)，掌握电子表格“ Excel”的使用；“Mathematical”、“Matlab”等软件的使用，最好还具备语言能力。这些知识大部分都是学生自己利用课余时间学习的。第三方面：论文的写作能力，前面已经说过考卷的全
8、文是论文式的，文章的书写有比较严格的格式。第四方面：查阅文献的能力，数学建模竞赛要查阅大量的文献资料。数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背景。它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，整个赛事是完成一篇包括问题的阐述分析，模型的假设和建立，计算结果及讨论的论文。通过训练和比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高，而且在团结合作发挥集体力量攻关，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻炼。“全国大学生数学建模竞赛” 是目前全国高校影响最大的课外科技活动。竞赛参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算机方法的设计
9、和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实现问题，有较大的灵活性供参赛者发挥其创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。这项活动由于其特有的挑战性和开放性，特别符合当代大学生的行为特征，从而引起了当代大学生们的广泛兴趣。在数学建模培训和竞赛中，参赛学生在理论联系实际和实事求是的科学态度、获取新知识的能力、综合使用数学和计算机分析问题解决问题的能力、团队精神和挑战自我的精神等方面都有较大提高，受益匪浅。同时，这些竞赛代表了一种全新的教学理念, 它培养学生通过研究的方式进行学习，有力地促进了高等院校的教
10、学改革，尤其是相关课程的开设，将这些创新的教学理论渗透到整个教学体系之中，使更多的同学受益匪浅。2.数学建模教学有利于培养学生综合能力、培养学生的综合素质。知识和能力是构成一个人的素质的主要成份 ，知识是能力的基础 ，能力是对知识的运用和发展 。由于数学建模是以解决实际问题和培养学生应用数学的能力为目的的，它的教学内容和方式是多种多样的。从教材来看，有的强调数学方法，有的强调实际问题，有的强调分析解决问题的过程；从教学方式来看，有的以讲为主，有的以练为主，有的在数学实验室中让学生探索，有的带领学生到企事业中去合作解决真正的实际问题。学生参加数学建模教学活动 ，不仅可以增长知识 ，培养各种能力，
11、还可以促进学生综合素质的提高。 （1）. 数学建模有利于培养学生洞察能力。许多提出的问题往往不是数学化的，这就是需要建模工作者善于从实际工作提供的原形中抓住其数学本质；（2）. 数学建模可培养数学语言翻译能力，即把经过一定抽象和简化的实际用数学的语言表达出来，形成数学模型，并对数学的方法和理论推导或计算得到的结果，能用大众化的语言表达出来，在此基础上提出解决某一问题的方案或建议；（3）. 数学建模有利于培养综合应用分析能力和联想能力。用已学到的数学思想和方法进行综合应用分析，并能学习一些新的知识；对于不少的实际问题，看起来完全不同，但在一定的简化层次下，它们的数学模型是相同的或相似的。这正是数
12、学应用广泛性的体现，这就是培养学生有广泛的兴趣，多思考，勤奋踏实地工作，通过熟能生巧达到触类旁通的境界。（4） 数学建模有利于培养学生的创新能力。创新能力是指利用自己已有的知识和经验 ，在个性品质支持下 ，新颖而独特地提出问题 、解决问题 ， 并由此产生有价值的新思想 、新方法 、新成果 。改变以教师为中心 、以课堂为中心 、以教材为中心的教学方式 ，逐渐向以学生为中心 、以实践为中心 、以培养学生分析和解决问题的能力为中心的学习方式过渡 。数学建模竞赛的题目通常是由工程技术和管理科学中的实际问题简化加工而成的，没有事先设定的标准答案，留有充分的余地供参赛者发挥聪明才智和创造精神。一个实际问题
13、往往很复杂，影响它的因素很多，因此 ,建立一个数学模型需要有较强的创造力和想象力 。因此,开展数学建模教学活动是培养学生的创新能力的重要途径 。（5） 数学建模有利于培养学生的自学能力。在大学，自学是学生学习的一种重要方式。教师先将事先设计好的问题提供给学生，启发、引导学生主动查阅文献资料和学习新的知识；让他们自己分析，对原问题提出必要的假设，并进行简化，寻求解决问题的线索，建立适当的数学模型，利用数学软件或编程解决问题 ，给出初步结论。学生完成后进行讨论，教师主要起引导、启发和辅导的作用。教学过程的重点是创造一个环境去诱发学生的学习欲望 、培养他们的自学能力。3数学模型简单地说：数学模型就是
14、对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。（数学模型就是利用函数、方程等数学概念创立的能反映实际问题特征和数量关系的符号系统）建模案例 1：生产计划的安排某工厂制造 A、B 两种产品，制造产品 A 每吨需用煤 9t ，电力 4kW，3 个工作日；制造产品 B每吨需用煤 5t ，电力 5kW，10 个工作日。已知制造产品 A 和产品 B 每吨分别获利
15、7 万元和 12 万元，由于该厂条件限制，只有煤 360t ，电力 200kW，300 个工作日可以利用，问 A、B 两种产品各应生产多少吨才能获利最大？分析：设 、 分别表示 A、B 产品的计划生产数（单位为吨） ， 表示利润（单位为万元） 。则本1x2 f问题可表示为：（LP） ： ma217xfts.0,35469112x这种生产任务的安排实际上就是一项决策， 、 称为决策变量，若把 视为向量，就1x2 ),(21x称为决策向量，满足约束条件的 称为可行决策。为了判别决策的优劣，决策者必须选定一个),(21x指标，一般该指标为决策变量的函数，称为目标函数。它为一个线性规划模型，所谓线性规
16、划问题就是指目标函数是诸决策变量的线性函数，给定的条件可用诸决策变量的线性等式或不等式表示的决策问题。2 数学建模数学建模是通过对实际问题进行抽象、简化，反复探索，构件一个能够刻划客观原形的本质特征的数学模型，并用来分析、研究和解决实际问题的一种创新活动过程。数学建模的几个过程 :模型准备 ：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。模型假设 ：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立 ：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。 （尽量用简单的数学工具）模型求解
17、 ：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计） 。 模型分析 ：对所得的结果进行数学上的分析。模型检验 ：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。模型应用 ：应用方式因问题的性质和建模的目的而异建模准备 建模假设 构造模型否 否模型检验 是 模型分析 模型求解是模型应用数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程， 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并“解决“实际问
18、题的一种强有力的数学手段。4数学模型的分类（1）按模型的应用领域分类：生物数学模型，医学数学模型，地质数学模型，数量经济学模型，数学社会学模型等。（2）按是否考虑随机因素分类：确定性模型与随机性模型（3）按是否考虑模型的变化分类：静态模型与动态模型（4）按应用离散方法或连续方法分类：离散模型与连续模型（5）按建立模型的数学方法分类：几何模型，微分方程模型，图论模型，规划论模型，马氏链模型等。（6）按人们对是物发展过程的了解程度分类：白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作
19、要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。二数学建模方法（一）、机理分析法 从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。 1. 比例分析法-建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。2. 代数方法-求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 3. 逻辑方法-是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 4. 常微分方程-解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率“的表达式。 5. 偏微分
20、方程-解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 （二）、数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。 1. 回归分析法-用于对函数 f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。2. 时序分析法-处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。3. 回归分析法-用于对函数 f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。4. 时序分析法-处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。（三）、仿真和其他方法 1. 计算机仿真（模拟）-实质上是统计估计方法
21、，等效于抽样试验。 离散系统仿真-有一组状态变量。 连续系统仿真-有解析表达式或系统结构图。 2. 因子试验法-在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。 3. 人工现实法-基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。建模案例 2： 人口模型人口问题是当今世界上最关注的问题之一。一些发展中国家的人口出生率过高，越来越严重地威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋近于零，甚至变为负数，造成劳动力短缺，也是不容忽视的问题。由于我国 20 世纪 5060 年代人口政策方面的失误，不仅造成人口总数增长过快，而
22、且年龄结构也不合理，使得对人口增长的严格控制会导致人口老化问题严重。因此在首先保证人口有限增长的前提下适当控制人口老化，把年龄结构调整到合适的水平，是一项长期而又艰巨的任务。因而自然会产生这样一个问题：人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律。（一） Malthus 模型 1798 年，英国神父 Malthus 在分析了一百多年人口统计资料之后，提出了 Malthus 模型。假设：（1） 表示 时刻的人口数，且连续可微。 （2）人口的增长率 是常数（增长率=出生)(tx r率死亡率） 。 （3）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有
23、相同的生育能力与死亡率。建模与求解：由假设， 时刻到 时刻人口的增量为tttrxx)()(于是得0)(xrdt求解上微分方程得（*）rtext0)(模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961 年世界人口总数为 ，在9106.319611970 年这段时间内，每年平均的人口自然增长率为 2%，则（*）式可写为（*）)196(02.906.3)(tetx根据 19611970 年间世界人口统计数据，发现这些数据与上式的计算结果相当符合。因为在这期间地球上人口大约每 35 年增加 1 倍，而上式算出每 年增加 1 倍。事实上，可假设在6.34内地球上的人口增加 1 倍，即当 时， ，当 时
24、，0tT0t90x0tT，故有 ，解出 。Tex02.916.3220.Te57.2ln但是，当人们用（*）式对 1790 年以来的美国人口进行检验，发现有很大差异。这里，取 1790年为 ，由此定出 ，故有660 103.5)8(,19.3)7(, xxt %03.r，对它进行计算并与实际人口进行比较，发现有较大的差异。10%3.069.3)(tex利用（*）式对世界人口进行预测，也会得出惊异的结论：当 年时，27t，这相当于地球上每平方米要容纳至少 20 人。显然，用这一模型进行预测的结果154.t远高于实际人口增长，误差的原因是对增长率的估计过高，由此，可以对 是常数的假设提出疑问。r（
25、二） 阻滞增长模型 如何对增长率 进行修正呢？我们知道，地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量的生命r生存所需的条件。随着人口数量的增加，自然资源、环境条件等对人口再增长的限制作用将越来越显著。如果在人口较少时，可以把增长率 看成常数，那么当人口增加到一定数量之后，就应当视r为一个随着人口的增加而减小的量，即将增长率 表示为人口 的函数 ，且它是一个r )(tx)(xr的减函数。)(tx假设：（1）设 为 的线性函数 。 （2）自然资源与环境条件所能容纳的最大)(xrsrx)(人口数为 ，即当 时，增长率 。mm0m模型建立与求解：由假设可得 ，则有)1()xr0)(1xtrdm解上述方程得
26、)(001)(trmextx模型检验：由上计算可得（*）xxrdtm212人口总数 有如下规律：)(tx（1） ，即无论人口初值 如何，人口总数以 为极限。mtli 0mx（2）当 时， ，这说明 是单调增加的，又由（*）式知：mx001xrdtm)(tx当 时，有 为凹，当 时，有 为凸。mx)(,2tt2)(,02txdt（3）人口变化率 在 时取到最大值，即人口总数达到极限值一半以前是加速增长时dxm期，经过这一点之后，增长速率会逐渐变小，最终到达零。与 Malthus 模型一样，代入一些实际数据验算，若取 1790 年为 ， ，0t6109.3x。可以看出，直到 1930 年，计算结果
27、与实际数据都能较好的吻合，在314.0,1976rxm1930 年之后，计算与实际偏差较大，原因之一是 60 年代的实际人口已经突破了假设的极限人口 ，mx由此可知，本模型的缺点之一就是不容易确定 。mx（三） 模型推广可以从另一角度导出阻滞增长模型，在 Malthus 模型上增加一个竞争项 ，它的作)0(2bx用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此时 b 较小；反之 b 较大，故建立方程（#）0)( )0,()xtbad其解为（#）)(000()( taebxxt 由上方程得)()2(2adt对以上三式分析，有（1） ，有 ，且 。 （2）当
28、 时，0t(txbatxt)(limbax0递增；当 时， ；当 时， 递减。 （3）当)(,0txt x)tba,t时， 为凹；当 时， 为凸。ba2(,0tt x2)(,0txt令（#）式右端为 0，得 ，称它们是此微分方程的平衡解，由图 6-8 可知bax1,，故不论人口开始的数量 为多少，经过相当长的时间后，人口总数将稳定在 。batxt)(lim0x ba如何确定 ，有学者以美国人口为例进行分析，考虑美国 1790 年、1850 年及 1910 年的人口,分别为 ，设为： ，其中6661.92,0.319. 210)(,)(,)( xttxt ，由（#）式可得1201ttaebxx)
29、(00112由此可得)(ln1200xta1aeb令 ，则可得 ，故有与（#）式近似的形式上简单的表达式atx2)( 0)(0bxt)(1/taet由此可计算出 ，则（#）可进一步化为3.194,.,97. tb)3.194(0.)(tetx将上式的计算结果与实际情况对照，发现模型的计算结果与实际人口相当符合。利用上模型对世界人口的增长情况进行预测，据生态学家估计 ，人口为 时，平均纯增长率为029.a8106.3每年 2%，可得 为世界人口的极限值。根据报道，1987 年的世界人口已达 50 亿，由91086.ba模型的分析可知，从此，世界人口的增长已进入减速阶段。三. 数学建模竞赛赛题题型
30、结构形式有三个基本组成部分：（一）、实际问题背景1. 涉及面宽-有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。2. 一般都有一个比较确切的现实问题。 （二）、若干假设条件 有如下几种情况：1. 只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据； 2. 给出若干实测或统计数据；3. 给出若干参数或图形；4. 蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。（三） 要求回答的问题 往往有几个问题（一般不是唯一答案）:1.比较确定性的答案（基本答案）；2. 更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。四数学建模论文的写作数学建模
31、论文基本内容和格式大致分三大部分：（一） 、标题、摘要部分：1题目-写出较确切的题目（不能只写 A 题、B 题） 。2摘要-（300-500 字） ，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。3内容较多时最好有个目录。（二） 、中心部分：1问题提出，问题分析。2模型建立： 补充假设条件，明确概念，引进参数； 模型形式（可有多个形式的模型） ； 模型求解； 模型性质； 3计算方法设计和计算机实现。 4结果分析与检验。 5讨论-模型的优缺点，改进方向，推广新思想。6参考文献-注意格式。（三） 、附录部分：1计算程序，框图。2各种求解演算过程，计算中间结果。3各种图形、表格建模案例 3：最佳灾情巡视路
32、线这里介绍 1998 年全国大学生数学模型竞赛 B 题中的两个问题.（一）.问题的提出今年夏天某县遭受水灾.为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇） 、村巡视.巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇） 、村，又回到县政府所在地的路线.1 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的路线.2 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间 T=2 小时，在各村停留时间 t=1 小时，汽车行驶速度V=35 公里/小时.要在 24 小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.乡镇、村的公路网示意图见图 1图 1(二). 图论知识简介点的行遍性问题是图论和组
33、合优化中分别称为 Hamiton(哈密尔顿)问题和 TSP（旅行商）问题。1 Hamiton(哈密尔顿)路（圈）：称经过图 G=（V, E）中每一个顶点正好一次的路为 Hamiton(哈密尔顿)路，简称 H 路；称经过图 G=（V, E）中每一个顶点正好一次的圈为 Hamiton(哈密尔顿)圈，简称 H 圈。2 旅行商问题：某旅行商要访问某地区的所有城镇后，回到出发点，问如何安排其旅行路线，使其总行程（或时间、费用）最少？其应用：流水线作业生产线的安排，数控机床的运行等3定义：在加权图 G=（V，E）中，（1） 权最小的 Hamiton(哈密尔顿)圈，称为最佳 H 圈；（2） 经过每一个顶点至
34、少一次的权最小的闭通路成为最佳推销员回路。一般说来，一个最佳 H 权并不一定是最佳推销员回路。4定理 1：若加权图 G 满足三角不等式，则最佳 H 圈也是最佳推销回路。定理 2：在加权完备图 G 中最佳 H 圈问题是一个 N-P 完全问题。在一个有 n 个顶点的完备图中，有(n-1)!/2 个不同的 H 圈。到目前，求 N-P 完全问题的最佳 H 圈，有以下近似算法：（1） Chrisofides 最小权匹配算法（2） 对角线完全算法（3） 二边逐次修正法TSP 问题的分支定界法等。（三） 模型假设1假设公路不考虑等级差异，也不会因灾情出现公路不能通行的情况；2汽车在路上的速度总是一定，不会出
35、现抛锚等现象；3当中，在每个乡镇、村的停留时间一定，不会出现特殊情况而延误时间；4小组的汽车行驶速度完全一样；5分组后，各小组只能走自己区内的路，不能走其他小组的路（公共路外） ，6各小组不容许再分成若干组。（四） 模型的建立与求解将公路网图中，每个乡（镇）或村看作图中的一个节点，各乡（镇） 、村之间的公路看作图中对应节点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点 O 出发，行遍所有顶点至少一次再回到 O 点，使得总权（路程或时间）最小，此即最佳推销员回路问题.在加权图 G 中求最佳推销员回路问题是 NP完全
36、问题，我们采用一种近似算法求出该问题的一个近似最优解，来代替最优解，算法如下：算法一 求加权图 G（V，E）的最佳推销员回路的近似算法：1 用图论软件包求出 G 中任意两个顶点间的最短路，构造出完备图 ，),(EVG， ；yx,yxMindyxG,2 输入图 的一个初始 H 圈；3 用对角线完全算法产生一个初始 H 圈；4 随机搜索出 中若干个 H 圈，例如 2000 个；5 对第 2、3、4 步所得的每个 H 圈，用二边逐次修正法进行优化，得到近似最佳 H 圈；6 在第 5 步求出的所有 H 圈中，找出权最小的一个，此即要找的最佳 H 圈的近似解.由于二边逐次修正法的结果与初始圈有关，故本算
37、法第 2、3、4 步分别用三种方法产生初始圈，以保证能得到较优的计算结果.问题一 若分为三组巡视，设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线.此问题是多个推销员的最佳推销员回路问题.即在加权图 G 中求顶点集 V 的划分 ，nV,.21将 G 分成 n 个生成子图 ，使得nVG,.21（1）顶点 i=1，2，3niVO（2） ii（3） ，其中 为 的导出子图 中的最佳推销员回路，ijijiCMax, iCViG为 的权，i，j=1，2，3niC（4） inii1定义 称 为该分组的实际均衡度. 为最大容许均衡度. ijijiCMax,0 显然 ， 越小，说明分组的均衡性越好.取定一个 后， 与
38、 满足条件（3）的1 0分组是一个均衡分组.条件（4）表示总巡视路线最短.此问题包含两方面：第一、对顶点分组；第二、在每组中求最佳推销员回路，即为单个推销员的最佳推销员问题.由于单个推销员的最佳推销员回路问题不存在多项式时间内的精确算法，故多个推销员的问题也不存在多项式时间内的精确算法.而图中节点数较多，为 53 个，我们只能去寻求一种较合理的划分准则，对图19 进行粗步划分后，求出各部分的近似最佳推销员回路的权，再进一步进行调整，使得各部分满足均衡性条件（3）.从 O 点出发去其它点，要使路程较小应尽量走 O 点到该点的最短路.故用图论软件包求出 O 点到其余顶点的最短路，这些最短路构成一棵
39、 O 为树根的树，将从 O 点出发的树枝称为干枝，见图 2，从图中可以看出，从 O 点出发到其它点共有 6 条干枝，它们的名称分别为，.根据实际工作的经验及上述分析，在分组时应遵从以下准则：准则一：尽量使同一干枝上及其分枝上的点分在同一组；准则二：应将相邻的干枝上的点分在同一组；准则三：尽量将长的干枝与短的干枝分在同一组.由上述分组准则，我们找到两种分组形式如下：分组一：（，） ， （，） ， （，）分组二：（，） ， （，） ， （，）显然分组一的方法极不均衡，故考虑分组二.对分组二中每组顶点的生成子图，用算法一求出近似最优解及相应的巡视路线.使用算法一时，在每个子图所构造的完备图中，取一个
40、尽量包含图 11-10 中树上的边的 H 圈作为其第 2 步输入的初始圈.分组二的近似解见表 1. 表 1（单位：公里）小组名称 路 线 总路线长度路线的总长度IO-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-I-15-I-18-K-21-20-25-M-O 191.1IIO-2-5-6-L-19-J-11-G-13-14-H-12-F-10-F-9-E-7-E-8-4-D-3-C241.9IIIO-R-29-Q-30-32-31-33-35-34-A-B-1-O125.5558.5因为该分组的均衡度 = 54.2%09.24153,21iiCMax所以此分法的均衡性很差.为改善均
41、衡性，将第组中的顶点 C，2，3，D，4 分给第组（顶点 2 为这两组的公共点） ，重图 2 O 点到任意点的最短路图（单位：公里）新分组后的近似最优解见表 2.表 2（单位：公里）编号 路 线路线长度路线总长度IOP282726N2423221716I15I18K212025MO 191.1IIO2567E8E9F10F12H1413G11J19L652O 216.4IIIOR29Q303231333534A1BC3D4D32O 192.3599.8因该分组的均衡度 11.69%04.19,11iiaxC所以这种分法的均衡性较好.问题二 当巡视人员在各乡（镇） 、村的停留时间一定，汽车的行驶
42、速度一定，要在 24 小时内完成巡视，至少要分几组及最佳的巡视路线.由于 T=2 小时，t=1 小时，V=35 公里/小时，需访问的乡镇共有 17 个，村共有 35 个.计算出在乡（镇）及村的总停留时间为 17 2+35=69 小时，要在 24 小时内完成巡回，若不考虑行走时间，有: (i 为分的组数).得 i 最小为 4，故至少要分 4 组.2469i由于该网络的乡（镇） 、村分布较为均匀，故有可能找出停留时间尽量均衡的分组，当分 4 组时各组停留时间大约为 小时，则每组分配在路途上的时间大约为 24-17.25=6.75 小时.而25.17469前面讨论过，分三组时有个总路程 599.8
43、公里的巡视路线，分 4 组时的总路程不会比 599.8 公里大太多，不妨以 599.8 公里来计算.路上时间约为 小时，若平均分配给 4 个组，每个组约17358.9需 =4.25 小时6.75 小时，故分成 4 组是可能办到的.417现在尝试将顶点分为 4 组.分组的原则：除遵从前面准则一、二、三外，还应遵从以下准则：准则四：尽量使各组的停留时间相等.用上述原则在图 11-10 上将图分为 4 组，同时计算各组的停留时间,然后用算法一算出各组的近似最佳推销员巡回，得出路线长度及行走时间，从而得出完成巡视的近似最佳时间.用算法一计算时，初始圈的输入与分三组时同样处理.这 4 组的近似最优解见表
44、 3.表 3（路程单位：公里；时间单位：小时）组名 路 线路线总长度停留时间行走时间完成巡视的总时间IO2567E8E11G12H12F10F9E7652O 195.8 17 5.59 22.59IIOR29Q30Q282726N242322171617K2223N26PO199.2 16 5.69 21.69IIIOM252021K18I151413J19L6MO 159.1 18 4.54 22.54IVORA3331323534B1C3D4D32O 166 18 4.74 22.74上表中符号说明：加有底纹的表示前面经过并停留过，此次只经过不需停留；加框的表示此点只经过不停留.该分组实际
45、均衡度 = 4.62%074.2691可以看出，表 3 分组的均衡度很好，且完全满足 24 小时完成巡视的要求.五历年全国大学生数学建模竞赛题汇集：中国大学生建模竞赛题目汇集年份 题号 题名 参考文献A 施肥效果分析 1,1993 年第 3 期1992B 实验数据分析 A 非线性交调的频率设计 1,1994 年第 2 期1993B 足球队排名次 A 逢山开路 2,28-55.1994B 锁具装箱 A 一个飞行管理问题 1,1996 年第 1 期1995B 天车与冶炼炉的作业调度 2,55-93.A 最优捕鱼策略 1,1997 年第 1 期1996B 节水洗衣机 2,93-124.A 零件的参数
46、设计 1,1998 年第 1 期1997B 截断切割 2,124-162.A 投资的收益与风险 1,1999 年第 1 期1998B 灾情巡视路线 工科数学,2001 年,17(1),71-77A 自动化车床管理 1,2000 年第 1 期1999B 钻井布局 A DNA 序列分类 1,2001 年第 1 期2000B 钢管订购和运输 A 血管的三维重建2001B 公交车的调度A 车灯线光源的优化设计2002B 彩票中的数学A SARS 传染病模型2003B 矿石的运输问题A 奥运会临时超市网点设计2004 B 电力市场的输电阻塞管理A 长江水质的评价和预测2005B DVD 在线租赁方案参考
47、文献： 1数学的实践与认识,（季刊）,中国数学会编辑出版.2中国大学生数学建模竞赛,李大潜主编（1998）. 各种数学建模杂志及书籍 国际数学和计算机建模协会 International Association for Mathematical and Computer Modelling Home Page 应用数学建模 Applied Mathematical Modelling (Elsevier) 应用数学和计算 Applied Mathematics and Computation 欧洲应用数学杂志 European Journal of Applied Mathematics (Cambridge) IMA 应用数学杂志 The IMA Journal of Applied Mathematics (Oxford) SIMA 的应用数学杂志 SIAM Journal on Applied Mathematics 数学建模和数值分析杂志 Journal Mathematical Modelling and Numerical Analysis-Rairo 数学建模和分析杂志 Journal of mathematical modelling and analysis 美国工业和应用数学会评论 SIAM Review 大学生数学和应用杂志 The Journa
