1、目 录题型六 几何动态综合题 1类型一 点动型探究题 .1类型二 线动型探究题 .19类型三 形动型探究题 35题型六 几何动态综合题类型一 点动型探究题针对演练1. (2016 赤峰 12 分)如图，正方形 ABCD 的边长为 3 cm，P，Q分别从 B， A 出发沿 BC，AD 方向运动，P 点的运动速度是 1 cm/秒，Q 点的运动速度是 2 cm/秒，连接 AP，并过 Q 作 QEAP 垂足为 E.(1)求证： ABPQEA；(2)当运动时间 t 为何值时， ABPQEA；(3)设 QEA 的面积为 y，用运动时间 t 表示QEA 的面积 y.(不要求考虑 t 的取值范围)(提示：解答
2、(2)(3)时可不分先后)第 1 题图2. (2015 省卷 25，9 分) 如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板 RtABC 和 RtADC 拼在一起，使斜边 AC 完全重合，且顶点 B， D 分别在 AC 的两旁，ABC ADC90，CAD30，ABBC4 cm.(1)填空： AD_(cm)，DC_(cm)；(2)点 M、N 分别从 A 点，C 点同时以每秒 1 cm 的速度等速出发，且分别在 AD，CB 上沿 AD，CB 方向运动，当 N 点运动到B 点时， M、N 两点同时停止运动，连接 MN.求当 M、N 点运动了 x秒时，点 N 到 AD 的距离(用含 x 的式子表示) ；
3、(3)在(2)的条件下，取 DC 中点 P，连接 MP，NP，设PMN 的面积为 y(cm2)，在整个运动过程中，PMN 的面积 y 存在最大值，请求出 y 的最大值 (参考数据：sin75 ，sin15 )6 24 6 24第 2 题图3. (2016 梅州 10 分)如图，在 RtABC 中，ACB 90，AC5 cm，BAC60，动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 2 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 cm 的速度向点 B 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0t5)，3连接 MN.(1)若 BM BN，求 t 的值；(2)若 M
4、BN 与ABC 相似，求 t 的值；(3)当 t 为何值时，四边形 ACNM 的面积最小？并求出最小值第 3 题图4. 如图，在ABCD 中， BC8 cm，CD4 cm，B60，点M 从点 D 出发，沿 DA 方向匀速运动，速度为 2 cm/s，点 N 从点 B出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s，过点 M 作 MFCD，垂足为 F，延长 FM 交 BA 的延长线于点 E，连接 EN，交 AD 于点O，设运动时间为 t(s)(0t4) (1)连接 AN，MN，设四边形 ANME 的面积为 y(cm2)，求 y 与 t之间的函数关系式；(2)是否存在某一时刻 t，使得四边形 AN
5、ME 的面积是 ABCD面积的 ？若存在，求出相应的 t 值，若不存在，请说明理由；2132(3)连接 AC，交 EN 于点 P，当 ENAD 时，求线段 OP 的长度第 4 题图 备用图5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB6 cm，BC8 cm，如果点 E由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，同时点 F 由点 D 出发沿DA 方向向点 A 匀速运动，它们的速度分别为每秒 2 cm 和 1 cm，FQ BC，分别交 AC、BC 于点 P 和 Q，设运动时间为 t 秒(0 t 4)(1)连接 EF，若运动时间 t 秒时，求证：EQF 是等腰直角23三角形；(2)连接 EP，设EPC
6、的面积为 y cm2，求 y 与 t 的函数关系式，并求 y 的最大值；(3)若 EPQ 与ADC 相似，求 t 的值6. (2015 郴州)如图，在四边形 ABCD 中，DC AB， DAAB ， AD4 cm，DC5 cm，AB8 cm.如果点 P 由B 点出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，同时点 Q 由 A 点出发沿 AB方向向点 B 匀速运动，它们的速度均为 1 cm/s，当 P 点到达 C 点时，两点同时停止运动，连接 PQ，设运动时间为 t s，解答下列问题：(1)当 t 为何值时， P， Q 两点同时停止运动？(2)设 PQB 的面积为 S，当 t 为何值时，S 取得最大值，
7、并求出最大值；(3)当 PQB 为等腰三角形时，求 t 的值第 6 题图【答案】1(1) 证明： 四边形 ABCD 是正方形，QEAP，QEA B90.AD BC，QAE APB ，ABPQEA； (3 分)(2)解： 由题意得： BPt cm，AQ2t cm，要使ABPQEA，则 AQAP 2t cm，在 RtABP 中，由勾股定理得：3 2t 2(2t) 2，解得 t (负值舍去)，3即当 t 时，ABPQEA ；(7 分)3(3)解： 在 RtABP 中，由勾股定理得：AP ，32 t2ABPQEA， ，ABQE BPAE APAQ ，3QE tAE 32 t22tQE ，AE ，6t3
8、2 t2 2t232 t2y QEAE .(1212 12 6t32 t2 2t232 t2 6t3t2 9分)2解：(1)2 ，2 ；6 2【解法提示】在 RtABC 中，根据勾股定理，得AC 4 cm，AB2 BC2 42 42 2在 RtACD 中，ADACcos304 2 cm，232 6DC ACsin304 2 cm.212 2(2)如解图，过点 N 作 NEAD 于点 E，作 NFDC 交 DC 延长线于点 F，则 NEDF.ACD60，ACB45 ，NCF75 ，FNC 15 ，在 RtNFC 中， 第 2 题解图sin FNC ，FCNCsin15 ，FCNC又NC x cm
9、，FCNCsin15 x cm，6 24NEDFDCFC(2 x)cm，26 24点 N 到 AD 的距离为(2 x)cm；26 24(3)如解图，在 RtNFC 中，sin75 ，NFNCNFNCsin75 x cm，6 24P 为 DC 中点，DC2 cm，2DP CP cm，2PFDFDP2 x ( x ) cm，26 24 2 6 24 2S PMN S 四边形 DFNMS DPM S PFN ，即 SPMN (NFMD) NE MDDP PFNF，12 12 12y ( x2 x) (2 x) (2 x) 12 6 24 6 2 6 24 12 6 ( x ) x，212 6 24
10、2 6 24即 y x2 x2 ，2 68 7 3 224 3 0，12 68当 x 秒时，y 取得最大7 3 22422 68 36 23 22 22值为42 68 23 （7 3 224 ）242 68 cm2.236 83 92 16163解：(1)根据题意 BM2t cm，BC5tan605 3cm，BNBC t(5 t)cm，3 3 3当 BM BN 时，2t 5 t，3 3解得 t10 15；(2 分)3(2)分两种情况讨论：当BMNACB 90时，如解图，NBM ABC ，cosBcos30 ，BMBN ，2t53 3t 32解得 t ；(4 分)157第 3 题解图当MNBAC
11、B 90时，如解图， MBNABC， cosBcos30 ，BNBM ，53 3t2t 32解得 t ，52故若MBN 与ABC 相似，则 t 的值为 秒或 秒；(6 分)157 52(3)如解图，过点 M 作 MDBC 于点 D，则 MDAC ，BMD BAC， ，BMBA MDAC又BA 10， 第 3 题解图cos60 ，解得 MDt.2t10 5D设四边形 ACNM 的面积为 y，则yS ABC SBMN ACBC BNMD12 12 55 (5 t)t12 3 12 3 3 t2 t 32 532 2532 (t )2 ，(8 分)32 52 7538当 t 秒时，四边形 ACNM
12、的面积最小，最小值为52cm2.(753810 分)4解：(1)如解图，过点 A 作 AGBC，垂足为点 G.第 4 题解图AGB 90，B 60，AG AB2 cm.32 3由题可知，MD2t cm，则 AM(82t) cm，ABCD，MF CD，MEAB，MEAMFD90，AD BC，EAMB60，AE AM(4t) cm, ME (4t) cm，12 3yS ANM S AEM (82t)2 (4t) (4t)12 3 12 3 t26 t16 (0t4)；32 3 3(2)存在 由四边形 ANME 的面积是ABCD 面积的 可得：2132t2 6 t 16 82 ，32 3 3 213
13、2 3整理得：t 212t110，解得 t1 或 t11(舍去)，所以当 t1s 时，四边形 ANME 的面积是 ABCD 面积的 ；2132(3)如解图 ，第 4 题解图由(1)可知 AE(4 t ) cm，BEABAE(8t) cm.B 60，ENBC，AGBC，BN BE(4 t) cm，BG AB2 cm.12 12 12又BNt，4 tt，解得 t ，12 83BN cm，83GN BNBG cm，23AO cm，NCBC-BN= cm.23 163设 POx cm ，则 PN(2 x ) cm.3AO NC，AOP CNP， ，即 ，AONC POPN23163 x23 x解得 x
14、 ，239当 ENAD 时，线段 OP 的长度为 cm.2395(1) 证明： 若运动时间 t 秒，23则 BE2 cm， DF cm，23 43 23四边形 ABCD 是矩形，AD BC8 cm ，ABDC6 cm，DBCD90，FQ BC，FQCDQCD90，四边形 CDFQ 是矩形，CQ DF cm，CDQF6 cm ，23EQ BCBE CQ8 6 cm ，43 23EQ QF6 cm ，EQF 是等腰直角三角形； (2)解： FQC90，B90，FQCB，PQ AB，CPQCAB， ，即 ，PQAB QCBC 6Pt8PQ t cm，34BE=2t,EC=BC- BE=8-2t,S
15、EPC ECPQ，12y (82t) t t23t (t2) 23(0t4).12 34 34 34 0，34当 t2 秒时，y 有最大值，y 的最大值为 3 cm2；(3)解： 分两种情况讨论：( )如解图，点 E 在 Q 的左侧，当EPQ ACD 时， 第 5 题解图可得 ，即 ，PQCD EQAD 348t8 3t8解得 t2；当EPQ CAD 时， 可得 ，即 ，PQAD EQCD 348t8 3t6解得 t ； 12857() 如解图，点 E 在 Q 的右侧，0t4，点 E 不能与点 C 重合，只存在EPQ CAD ，可得 ，即 ，PQAD EQCD 348t3t 86解得 t ，
16、第 5 题解图12839故若EPQ 与ADC 相似，则 t 的值为 2 秒或 秒或 秒12857 128396解：(1)如解图，过点 C 作 CEAB 于点 E，DC AB，DA AB，CEAB，四边形 AECD 是矩形，AEDC5，CEAD4， 第 6 题解图BEABAE853，由勾股定理得：BC 5，2+BEC32 42BCAB，当点 P 运动到点 C 时，P、Q 同时停止运动，t 5 s，51即 t5 s 时，P、Q 两点同时停止运动；(2)由题意知，AQBPt，QB 8t.如解图，过点 P 作 PFQB 于点 F，则BPFBCE ， ，即 ，PFCE BPBC PF4 t5PF ，4t
17、5S QBPF (8t) 12 12 4t5 25t16t5 (t4)2 (0t5) 25 325 0，25当 t4 s 时，S 有最大值，最大值为 ；325CM(3)cosB ，BEBC 35BFPBcosBtcosB ，3t5QF ABAQBF8 ，8t5QP 4 .22QFP22tt21845t当PQB 为等腰三角形时，分以下三种情况：当 PQPB 时，即 4 t，21845t解得： ， 8，1t4011 2tt285，不合题意，t ；4011当 PQBQ 时，即 4 8t，2145t解得： 0(舍去)， ；1t2t4811当 QBBP 时，即 8tt，解得 t4；综上所述，当PQB 为
18、等腰三角形时，则 t 的值为 s 或 s4011 4811或 4 s.类型二 线动型探究题针对演练1. 如图，已知矩形 ABCD，AB ，BC3，在 BC 上取两点3E，F( E 在 F 左边) ，以 EF 为边作等边三角形 PEF，使顶点 P 在 AD上，PE，PF 分别交 AC 于点 G，H.(1)求 PEF 的边长；(2)若 PEF 的边 EF 在射线 BC 上移动，( 点 E 的移动范围在B、C 之间，不与 B、C 两点重合)，设 BE x，PHy.求 y 与 x 的函数关系式；连接 BG，设BEG 面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，判断x 为何值时 S 最大，并求最大值 S.
19、第 1 题图2. 已知，如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，且 AC12 cm，BD16 cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；过点 P 作直线 PFAD ，PF 交 CD 于点 F，过点 F 作 EFBD，且与 AD、BD 分别交于点 E、Q；连接 PE，设点 P 的运动时间为 t(s)(0t10) (1)填空： AB_cm；(2)当 t 为何值时， PEBD；(3)设四边形 APFE 的面积为 y(cm2)求 y 与 t 之间的函数关系式；若用 S 表示图形的面积，则是否存在某一时刻 t，使得 S 四边形APFE S 菱形 AB
20、CD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由825第 2 题图3. (2014 省卷 25，9 分)如图，在ABC 中，ABAC，AD BC于点 D，BC10 cm， AD8 cm.点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3 cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线m 从底边 BC 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、AC 、AD 于点 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒(t0)(1)当 t2 时，连接 DE、DF ，求证：四边形 AEDF 为菱形；(2)在整个运动过程中
21、，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求线段 BP 的长；(3)是否存在某一时刻 t，使PEF 为直角三角形？若存在，请求出此刻 t 的值；若不存在，请说明理由4. (2016 镇江改编)如图，在菱形 ABCD 中，AB6 ， tanABC 2，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度5的速度沿着射线 DA 的方向匀速运动，设运动时间为 t(秒) 将线段CE 绕点 C 顺时针旋转一个角 (BCD) ，得到对应线段 CF.(1)求证： BEDF ；(2)如图 ，连接 BD、EF，BD 交 EC、EF 于点 P、Q.当 t 为何值时，EPQ 是直角三角形？(3)如图 ，
22、将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转一个角 (BCD) ，得到对应线段 CG.在点 E 的运动过程中，当它的对应点 F 位于直线AD 上方时，直接写出点 F 到直线 AD 的距离 y 关于时间 t 的函数表达式第 4 题图【答案】1解：(1)如解图，过点 P 作 PQBC 于点 Q，在矩形 ABCD 中，B90，ABBC，又AD BC，PQ AB ，3PEF 是等边三角形，PFQ 60，在 RtPQF 中，sinPFQ ，PQPFPF 2， 第 1 题解图332PEF 的边长为 2；(2)在 RtABC 中，AB ，BC3，3由勾股定理得，AC2 ，3ACB30，又PEF 是等边三角形，PFE6
23、0，FHC30，FH FC，HF 2PH 2y ，FC2y，又BEEFFCBC，x22 y3，即 yx1(0 x 3)；如解图，过点 G 作 GMBC 于点 M，PEF 为等边三角形，PEF60，RtABC 中，AB ，BC3， 第 1 题解图3ACB30，EGC180306090，BEx，EC3x，EG ，3 x2GEM 60，sin GEM ，GMGEGMEGsin60 ，32 3 x2 33 3x4S x12 33 3x4 x2 x (x )2 ，38 338 38 32 9332 0，38当 x 时， S 最大 .32 93322解：(1)10；【解法提示】如解图，在菱形 ABCD 中
24、，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC12 cm，BD16 cm ， BODO8 cm，AOCO6 cm ， AB 10 cm.82 62(2)四边形 ABCD 是菱形，ABCD，ADB CDB，又PFAD，四边形 APFD 为平行四边形，DF APt cm ，又EFBD 于点 Q，且ADB CDB，DEF DFE ，DE DFt cm ，AE(10t) cm，当 PEBD 时，APEABD ， ，APAB AEAD ，t10 10 t10t5，当 t5 s 时，PEBD；(3) FDQCDO，FQDCOD90，DFQDCO， ，即 ，QFOC DFDC QF6 t10QF cm，3t5
25、EF2QF cm，6t5同理，QD cm，4t5如解图，过点 C 作 CGAB 于点 G，S 菱形 ABCDAB CG ACBD，12即 10CG 1216， 第 2 题解图12CG cm，485S APFDDFCG t cm2，485S EFD EFQD t2 cm2，12 12 6t5 4t5 1225y t t2.485 1225存在当 S 四边形 APFE S 菱形 ABCD 时，则825t t2 1216 ，485 1225 825 12整理得，t 220t640，解得 t14，t 21610(舍去)，当 t4s 时，S 四边形 APFE S 菱形 ABCD.8253(1) 证明：
26、如解图，连接 DE，DF，当 t2 时，DHAH 4，则 H 为 AD 的中点，EFAD，EF 为 AD 的垂直平分线，AEDE，AF DF .ABAC，B C，又AD BC，EFBC，AEFB，AFEC，AEFAFE，AEAF，AEAFDEDF ，四边形 AEDF 为菱形；第 3 题解图(2)解： 如解图 ，连接 PE，PF，由(1)知 EFBC ，AEFABC， ，即 ，EFBC AHAD EF10 8 2t8解得 EF10 t，52S PEF EFDH (10 t)2t t210t12 12 52 52 (t2) 210(0t )，52 103当 t2 秒时，S PEF 存在最大值，最大
27、值为 10 cm2，此时 BP3t6 cm；(3)解： 存在() 若点 E 为直角顶点，如解图，连接 PE，PF ，此时 PEAD，PE DH2t，BP3t.PEAD，BEPBAD， ，即 ，PEAD BPBD 2t8 3t5此比例式不成立，故此种情形不存在；第 3 题解图()若点 F 为直角顶点，如解图，连接 PE，PF，此时 PFAD，PF DH2t，BP3t，CP 103t.PFAD，CFPCAD， ，即 ，PFAD CPCD 2t8 10 3t5解得 t ；4017()若点 P 为直角顶点，如解图，连接 PE，PF，过点 E 作EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则E
28、MFN DH2t，EMFNAD.EMAD，BEMBAD ， ，即 ，EMAD BMBD 2t8 BM5解得 BM t，54PMBPBM3t t t.54 74在 RtEMP 中，由勾股定理得，(2t) 2( t)2 t2.222PEMP74 11316FNAD，CFNCAD， ，即 ，FNAD CNCD 2t8 CN5解得 CN t，54PNBCBPCN 103t t10 t.54 174在 RtFNP 中，由勾股定理得 ，(2t) 2(10 t)2 t285t100.22PFN174 35316又EFMN BC BM CN 10 t，52在 RtPEF 中，由勾股定理得， ，2EFP即(10 t)2 t2( t285t100)，52 11316 35316化简得 183t2280t0，解得 t 或 t0(舍去)，280183t .280183综上所述，当 t 秒或 t 秒时，PEF 为直角三角4017 280183形(9 分)
