1、题型五 圆的综合题针对演练1. 如图， AB 是O 的弦，AB4，过圆心 O 的直线垂直 AB 于点 D，交O 于点 C 和点 E，连接 AC、BC 、OB，cosACB ，13延长 OE 到点 F，使 EF2OE.(1)求证： BOEACB; (2)求 O 的半径；(3)求证： BF 是O 的切线第 1 题图2. 如图，AB 为O 的直径，点 C 为圆外一点，连接 AC、 BC，分别与O 相交于点 D、点 E，且 ，过点 D 作ADEDF BC 于点 F，连接 BD、DE 、AE.(1)求证： DF 是O 的切线；(2)试判断 DEC 的形状，并说明理由；(3)若 O 的半径为 5， AC1
2、2，求 sinEAB 的值第 2 题图3. (2016 长沙 9 分)如图，四边形 ABCD 内接于O ，对角线 AC为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF.(1)求 CDE 的度数；(2)求证： DF 是O 的切线；(3)若 AC 2 DE，求 tanABD 的值5第 3 题图4. (2016 德州 10 分)如图，O 是ABC 的外接圆，AE 平分BAC 交O 于点 E，交 BC 于点 D，过点 E 作直线 lBC.(1)判断直线 l 与O 的位置关系，并说明理由；(2)若 ABC 的平分线 BF 交 AD 于点
3、F，求证：BEEF ; (3)在(2)的条件下，若 DE4，DF3，求 AF 的长第 4 题图5. (2015 永州) 如图，已知ABC 内接于O，且 ABAC ，直径AD 交 BC 于点 E，F 是 OE 上的一点，使 CFBD.(1)求证： BECE；(2)试判断四边形 BFCD 的形状，并说明理由；(3)若 BC 8，AD10，求 CD 的长第 5 题图6. (2015 省卷 24，9 分)O 是ABC 的外接圆， AB 是直径，过的中点 P 作O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D，连接 AG，CP ，PB.ABC(1)如图 ，若 D 是线段 OP 的中点，求BAC 的度数；(2)如图
4、 ，在 DG 上取一点 K，使 DKDP ，连接 CK，求证：四边形 AGKC 是平行四边形；(3)如图 ，取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点H，连接 PH，求证：PHAB .第 6 题图7. (2017 原创) 如图，AB 切O 于点 B，AD 交O 于点 C 和点D，点 E 为 的中点，连接 OE 交 CD 于点 F，连接 BE 交 CD 于ADC点 G.(1)求证： ABAG ；(2)若 DGDE，求证：GB 2GCGA；(3)在(2)的条件下，若 tanD ，EG ，求O 的半径34 10第 7 题图8. (2015 达州 )在ABC 的外接圆O 中，ABC
5、 的外角平分线CD 交 O 于点 D，F 为 上一点，且 ，连接 DF，并延ADAFBC长 DF 交 BA 的延长线于点 E.(1)判断 DB 与 DA 的数量关系，并说明理由；(2)求证： BCDAFD ；(3)若 ACM120，O 的半径为 5，DC 6，求 DE 的长第 8 题图9. 如图，AB 为O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，PC 切O 于点 C，CG 是O 的弦，CGAB，垂足为点 D.(1)求证： ACDABC；(2)求证： PCAABC；(3)过点 A 作 AEPC 交O 于点 E，交 CG 于点 F，连接 BE，若 sinP ，CF5，求 BE 的长35第 9 题图1
6、0. (2016 大庆 9 分)如图，在 RtABC 中， C90，以 BC 为直径的O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC 的中点，连接 MH.(1)求证： MH 为O 的切线；(2)若 MH ，tanABC ，求O 的半径；32 34(3)在(2)的条件下分别过点 A、B 作O 的切线，两切线交于点D，AD 与 O 相切于 N 点，过 N 点作 NQ BC，垂足为 E，且交O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度第 10 题图11. 如图，ABC 为O 的内接三角形，P 为 BC 延长线上一点，PACB ，AD 为O 的直径，过 C 作 CGAD 交 AD 于E，交 AB 于 F，交 O
7、 于 G.(1)判断直线 PA 与O 的位置关系，并说明理由；(2)求证： AG2AFAB；(3)若 O 的直径为 10，AC2 ，AB4 ，求AFG 的面5 5积第 11 题图12. (2016 鄂州 10 分)如图，在 RtABC 中， ACB90，AO是ABC 的角平分线，以 O 为圆心，OC 为半径作O .(1)求证： AB 是O 的切线；(2)已知 AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tanD ，12求 的值；AEAC(3)在(2)的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长第 12 题图【答案】1(1) 证明： 如解图，连接 OA，第 1 题解图CEAB，AD BD2
8、， ，AEBACEBCE，AOE BOE，又AOB 2ACB，BOE ACB；(2)解： cosACB ，13cos BOD ，13在 RtBOD 中，设 ODx，则 OB3x，OD 2BD 2OB 2，x 22 2 (3x)2，解得 x ，22OB 3x ，322即O 的半径为 ；322(3)证明： FE2OE，OF 3OE ，922 ，OBOF 13 ，ODOB 13 ，OBOF ODOBBOF DOB ，OBF ODB，OBF ODB 90，即 OBBF，OB 是O 的半径，BF 是O 的切线2(1) 证明： 如解图，连接 DO，交 AE 于点 G，则 DOBO，第 2 题解图ABD O
9、DB ， ，ADEABD EBD ，ODBEBD ，DOBC，ODFCFD，DF BC，CFD90，ODF90，即 ODDF，又OD 为O 的半径，DF 是O 的切线；(2)解： DEC 是等腰三角形，理由如下：AB 是O 的直径，ADB CDB90，又BD BD，ABDEBD，ABD CBD(ASA)，AD CD. ，ADEAD DE，CD DE，DEC 是等腰三角形；(3)解： 由(2)可知 AD AC6，12 ，ADEODAE，ABDDAE，sin DAE .DGAD在 RtADB 中，sinABD ，ADAB 610 ，DG6 610DG3.6，OGODDG1.4，在 RtAGO 中，
10、sinEAB .OGOA 1.45 7253(1) 解： AC 为 O 的直径，ADC90，CDE90；(2 分)第 3 题解图(2)证明： 如解图，连接 OD，CDE90，F 为 CE 中点，DF CECF，12FDCFCD.又ODOC，ODCOCD，ODCFDC OCDFCD，ODFOCF，ECAC，OCF90，ODF90，即 ODDF，又OD 为O 的半径，DF 为O 的切线；(5 分)(3)解： 在 ACD 与ECA 中，ADCACE90 ，EAC CAD，ACDAEC， ACAE ADACAC 2AD AE，又AC2 DE，520DE 2( AEDE )AEAE5DE，AD 4DE，
11、在 RtACD 中，AC 2AD 2CD 2，CD 2DE，又在O 中，ABDACD，tanABDtanACD 2. (9 分)ADCD4(1) 解： 直线 l 与 O 相切理由如下：如解图，连接 OE、OB、OC.第 4 题解图AE 平分 BAC，BAECAE， ，ABECBOE COE，又OB OC，OE BC，lBC，OE l，又OE 为O 的半径，直线 l 与O 相切；(3分)(2)证明： BF 平分 ABC，ABFCBF，又CBECAEBAE，CBECBFBAEABF.又EBFCBE CBF ，EFB BAEABF ，EBFEFB，BEEF；(6 分)(3)解： BEEF，DE4，D
12、F3，BEEFDEDF 7， ，ABECDBE BAE ，DEB BEA ，BED AEB， ，即 ，DEBE BEAE 47 7AE解得 AE ，(9 分)494AFAEEF 7 .(10 分)494 2145(1) 证明： AD 是O 的直径，ABD ACD90，在 RtABD 和 RtACD 中，AB ACAD AD)RtABDRtACD(HL)，BAD CAD，ABAC，AD 垂直平分 BC，BECE；(2)解： 四边形 BFCD 是菱形理由如下：AD 是O 的直径，ABAC，AD BC，BE CE，CFBD，FCEDBE，在BED 和 CEF 中， DBE FCEBE CE BED
13、CEF 90)BED CEF(ASA)，BD CF，四边形 BFCD 是平行四边形，BAD CAD，BD CD，四边形 BFCD 是菱形；(3)解： AD 是O 的直径， ADBC，BE CE ，ECDCAE，AECDEC90 ，RtCDERt ACE， ，DECE CEAECE 2DE AE，设 DEx，则 AEADDE10x，BC8，CE BC4，124 2x(10x)，解得 x2 或 x8(舍去)，在 RtCED 中，CD 2 .CE2 DE2 42 22 56(1) 解： 点 P 为 的中点，PG 为O 的直径，ABCBPPC，PG BC， CDBD，ODB90，D 为 OP 的中点，
14、OD OP OB，12 12OBD30，AB 为O 的直径，ACB90，BAC60；(3 分)(2)证明： 由 (1)知，CD BD，在PDB 和 KDC 中，BD CD BDP CDKDP DK )PDB KDC(SAS)，BPCK，BPOCKD，AOGBOP ，AG BP，AG CK，OP OB，OBP BPO ，又GOBP ，GBPO CKD，AG CK，四边形 AGKC 是平行四边形；(6 分)(3)证明： CEPE ，CD BD ，DE PB，即 DHPB，GBPO ，PBAG，DHAG，OAGOHD ，GODH .OA OG ，OAGG，ODHOHD，ODOH，在OBD 和OPH
15、中，OD OH DOB HOPOB OP )OBDOPH (SAS)，OHPODB 90，PH AB. (9 分)7(1) 证明： 如解图，连接 OB，第 7 题解图AB 为O 的切线，OB AB，ABG OBG 90，点 E 为 的中点，ADCOE CD，OEGFGE 90，又OB OE，OBGOEG ，ABG FGE ，BGA FGE ，ABG BGA ，ABAG；(2)证明： 如解图，连接 BC，DGDE，DGEDEG ，由(1)得 ABGBGA，又BGA DGE ，A GDE ，GBCGDE，GBCA，BGCAGB ，GBCGAB ， ，GBGA GCGBGB 2GCGA ；(3)解：
16、 如解图，连接 OD，在 RtDEF 中，tanEDF ，EFDF 34设 EF3 x，则 DF 4x，由勾股定理得 DE5x ，DGDE，DG5x，GF DG DF x .在 RtEFG 中，由勾股定理得 GF2EF 2EG 2，即 x2(3x) 2( )2，解得 x1，10设O 半径为 r，在 RtODF 中，ODr ，OFr3，DF 4，由勾股定理得 OF2FD 2OD 2，即(r3) 2 42r 2，解得 r ，256O 的半径为 .2568(1) 解： DBDA.理由如下：CD 平分ACM，MCDACD，ACD 和ABD 都是 所对的圆周角，ADACDABD ，MCDABD ，又MC
17、DBAD，BAD ABD ，DB DA；(2)证明：如解图，连接 AF，第 8 题解图AD BD， ，ADB ，FC ，AAFBC，DF DC，在BCD 和AFD 中，BD ADBC AFDC DF)BCDAFD (SSS)；(3)解： ACM120，MCDACD60，ABD BAD BDA60，ABD 是等边三角形，如解图，连接 DO 并延长与 AB 交于点 G，则ADO30，过点 O 作 OHAD 于点 H，则 AD2DH2ODcos305 ，3ADF DAF AFEACD60 ，ADE EBAD60，DAF E，ADF EDA ，ADF EDA， ，DADE DFDADE ，DA2DFD
18、F DC6，DA5 ，3DE .2529(1) 证明： AB 是 O 直径，ACB90，CG AB，ADCACB90 ，CADBAC，ACDABC；(2)证明：如解图，连接 OC.第 9 题解图PC 切O 于点 C，OC PC，PCO90，PCAOCA90 ，ACB90，ABCOAC90 ，OC OA，OCAOAC，PCAABC；(3)解： AEPC，PCACAF，ABCG， ，ACGABCACF，PCAABC，CAFABC，ACFCAF，FAFC，CF5，AF5，AEPC，FAD P，sinP ，35sin FAD ，35FD 3，AD 4，CD8，在 RtCOD 中，设 COr，则有 r2
19、(r4) 28 2，r 10，AB2r 20，AB 是O 的直径，AEB90，sin EAB ，35 ，BEAB 35 ，BE20 35BE12.10(1) 证明： 如解图，连接 OM、CM，第 10 题解图BC 为O 的直径，AMC BMC 90，H 是 AC 的中点，HC HM AC，12HMCHCM，OMOC，OMCOCM，OMH OCH，ACB90OCH，OMH 90，即 OMMH，又OM 为O 的半径，MH 为O 的切线； (3分)(2)解： MH ，32AC2MH3，在 RtABC 中，tan ABC ，ACBC 34BC4，故O 的半径为 2；(5分)(3)解： 如解图 ，过点
20、D 作 DPAC 于点 P，连接 ON，第 10 题解图则 DPBC4，BD PC，设 DBDNx，则 AP3x，ANAC3，AD x3.在 RtADP 中，由勾股定理得，(x3) 2(3x )24 2，解得 x ，43DN BD ，AD ，43 133QN BC，ACBC，BDBC，ACNQDB， ，即 ，DNAD BEBC43133 BE4BE ，1613OE OBBE ，1013EN ，ON2 OE22413NQ 2EN .(9 分)481311(1) 解： 直线 PA 与 O 相切理由如下：AD 为O 的直径， CGAD ，AD 垂直且平分 CG，ACAG，ACGAGC，AGCB，PACB，PACACG，
