1、第 3 课时 圆1(2016福州)如图，正方形 ABCD 内接于O，M 为 中点，连接 BM，CM.AD (1)求证：BMCM ；(2)当O 的半径为 2 时，求 的长BM 解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，AB CD. .AB CD M 为 中点， .AD AM DM .BM CM.BM CM (2)连接 OM，OB，OC. ，BOM COM.BM CM 正方形 ABCD 内接于O，BOC360490.BOM135.l .BM 135 2180 322(2015滨州)如图，O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 5，ACB 的平分线交O 于点 D.(1)求弧 BC 的长；
2、(2)求弦 BD 的长解：(1)连接 OC.AB 为O 的直径，ACBADB90.在 RtABC 中，cosBAC ，ACAB 510 12BAC60.BOC2BAC 120.弧 BC 的长为 .120 5180 103(2)连接 OD.CD 平分ACB ，ACDBCD.AODBOD.ADBD.BADABD45.在 RtABD 中，BD OB AB 105 .222 22 23(2016南宁)如图，在 RtABC 中，C90，BD 是角平分线，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆经过点 D，交 BC 于点 E.(1)求 证：AC 是O 的切线；(2)若 OB10， CD8，
3、求 BE 的长解：(1)证明：连接 OD.ODOB，OBDODB.BD 是OBC 的平分线，OBD DBC.ODBDBC.ODBC.ODC90.AC 是O 的切线(2)过点 O 作 OGBC.四边形 ODCG 为矩形GCODOB10，OGCD8.在 RtOBG 中，利用勾股定理，得 BG6，BCBG GC61016.ODBC， AODABC. ，即 ，解得 OA .OAAB ODBC OAOA 10 1016 503AB 10 .503 803设 AB 交O 于点 F，连接 EF.BF 为圆的直径，BEF90.BEFC90.EFAC. ，即 ，解得 BE12.BEBC BFAB BE16 20
4、8034(2016河南)如图，在 RtABC 中，ABC 90，点 M 是 AC 的中点，以 AB 为直径作O 分别交 AC，BM于点 D，E.(1)求证：MD ME；(2)填空：若 A B6，当 AD2DM 时，D E2；连接 OD，OE，当A 的度数为 60时，四边形 ODME 是菱形证明：在 RtABC 中，点 M 是 AC 的中点，MAMB.AMBA.四边形 ABED 是圆内接四边形 ，ADE ABE 180.又ADE MDE180，MDEMBA.同理可得MEDA.MDEMED.MDME.5(2016鄂州)如 图，在 RtABC 中，ACB90，AO 是ABC 的角平分线以 O 为圆心
5、，OC 为半径作O.(1)求证：AB 是 O 的切线；(2)已知 AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tanD ，求 的值；12 AEAC(3)在(2)的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长解：(1)证明：过点 O 作 OFAB 于点 F.AO 是BAC 的角平分线，ACB90，OCOF.AB 是O 的切线(2)连接 CE.OCOE，OCEOEC.ACEOCE90，DECADC90，ACEADC.又CAECAD，ACEADC. tan D .AEAC CECD 12(3)先在ACO 中，设 AEx，由勾股定理得(x3) 2(2x) 23 2 ，解得 x2.AC4.BFO 9
6、0 ACO，易证 RtBOF Rt BAC ，得 .BFBC BOBA OFAC设 BOy，BFz ，则 y ，zy 3 y4 z 34即 4z93y，4y123z ，解得 z ，y .727 757AB 4 .727 10076(2016上海)已知，如图， O 是ABC 的外 接圆， ，点 D 在边 BC 上，AE BC ，AEBD；AB AC (1)求证：ADCE；(2)如果点 G 在线段 DC 上( 不与点 D 重合)，且 AGAD， 求证：四边形 AGCE 是平行四边形证明：(1)在O 中， ，AB AC.AB AC BACB.AEBC，EACA CB.BEAC.又BDAE，ABDCA
7、E.ADCE.(2)连接 AO 并延长，交边 BC 于点 H. ，OA 是半径，AHBC.BHCH.AB AC ADAG，DHHG.BHDHCHGH，即 BD CG.BDAE，CGAE.又CGAE，四边形 AGCE 是平行四边形7(2016深圳)如图，已知 O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦，AB 与 CD 交于点 M，将 沿着 CD 翻折后，CD 点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 APOA，连接 PC.(1)求 CD 的长；(2)求证：PC 是O 的切线；(3)点 G 为 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E，交 于点 F(F 与 B
8、，C 不重合)问ADB BC GEGF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由解：(1)连接 OC. 沿 CD 翻折后，A 与 O 重合，CD OM OA1，12CDOA.OC2，CD2CM2 2 .OC2 OM2 3(2)证明：PAOA2，AMOM1，CM ，3又CMPOMC90，PC 2 .MC2 PM2 3OC2，PO 4，PC 2OC 2PO 2. PCO90.PC 与 O 相切(3)GEGF 为定值证明：连接 GA，AF，GB.G 为 中点， .ADB GA GB BAGAFG.AGE FGA，AGEFGA. ，即 GEGFAG 2.AGGE FGAGAB 为直径，AB4，BAGABG45.AG2 .2GEGF AG 28.注第(2)题也可以利用相似三角形证PCO90； 第(3)题也可以证GBEGFB.
