1、大坝位移的改进非等间距 GM (1, 1) 预测模型 付浩雁 杨贝贝 胡德华 郭英嘉 方正 河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室 河海大学水利水电学院 摘 要： 基于灰色理论建立的 GM (1, 1) 灰色预测模型常被用于大坝位移实测资料序列的分析。为提高大坝位移预测精度, 在分析传统 GM (1, 1) 预测模型构建原理、步骤的基础上, 提出了对原始数据序列进行平滑处理、对背景值和残差序列进行优化等方法, 建立了大坝位移预测的改进非等间距 GM (1, 1) 模型, 并用某大坝水平径向位移监测数据对其进行了检验, 结果表明:改进的模型在大坝位移预测中的适用性更强, 不仅提高了预测精
2、度, 而且保留了灰色模型建模灵活、所需数据少等优点, 用于短期预测效果较好, 用于长期预测的效果有待考证。关键词： 大坝位移; 预测模型; 灰色理论; 改进 GM (1, 1) ; 作者简介：付浩雁 (1991) , 男, 江苏淮安人, 硕士研究生, 研究方向为水利工程安全监控。E-mail:收稿日期：2015-09-12基金：高等学校博士学科点专项科研基金资助项目 (20130094110010, 20120094130003) Improved Non-Equidistance GM (1, 1) Forecasting Model of Dam DisplacementFU Haoyan
3、 YANG Beibei HU Dehua GUO Yingjia FANG Zheng State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering, Hohai University; Abstract： GM ( 1, 1) grey prediction model based on grey theory is often used in the analysis of the measured data of dam displacement. In order to improve the
4、prediction accuracy, based on the analysis of traditional GM ( 1, 1) principle to build forecasting model, based on the steps, to smooth the original data sequence and to optimize the background value and the residual sequence, build the dam displacement prediction improved non equidistance GM ( 1,
5、1) model. The method was tested by monitoring the horizontal radial displacement of a dam. The results show that the improved model is more applicable to dam displacement prediction, not only improves the prediction accuracy, but also retains the grey model is flexible and requires less data. For sh
6、ort-term prediction, the effect is better, and the effect of long-term prediction remains to be verified.Keyword： dam displacement; forecast model; grey theory; improved GM (1, 1) ; Received： 2015-09-12根据大坝原始监测资料, 借助数学、力学方法建立各种效应量的监控模型, 分析和评价大坝的运行性态, 是大坝安全监控的常用手段1-3。各种效应量中, 大坝位移量因易于测量且能较好地反映大坝的运行状态,
7、 故常被用于建立监控模型。大坝位移监测和预报模型构建的方法有时间序列分析法、灰色模型法、回归分析法及模糊预测法等。坝体和基础组成的大坝是一个灰色系统, 可将大坝位移的监测量当作一定范围内变化的灰色量, 建立灰色监控模型4。为提高预测精度, 许多学者对灰色模型的改进开展过研究, 并取得很多成果。本文结合已有研究成果, 采用矩形近似方法重构背景值, 引进指数平滑法、残差优化等方式, 构建改进的非等间距 GM (1, 1) 预测模型, 并结合某坝原始位移监测资料, 验证了其比传统 GM (1, 1) 灰色预测模型具有更高的拟合与预测精度。1 传统 GM (1, 1) 预测模型的建模原理传统 GM (
8、1, 1) 模型的建模原理及基本步骤如下5。(1) 整理原始监测数据, 建立非负的原始数据序列:式中:t i为数据记录时刻;x (t i) 为 ti时刻监测值;n 为数据个数。(2) 考虑原始数据序列采集的非等时性, 通过累加生成一阶递增序列 X (t) =x (ti) , 其中:(3) 按式 (4) 白化微分方程:式中:a 为待辨识参数, 亦称发展系数;b 为待辨识内生变量, 亦称灰作用量。白化微分方程的差分形式为式中:z (t i) 为 x (ti) 在区间t i-1, ti上的背景值, 根据梯形公式, 其表达式为(4) 按最小二乘法求解微分方程的待辨识量:(5) 将辨识量代入微分方程,
9、求出灰色模型的时间响应函数:经还原可得预测结果:2 改进的 GM (1, 1) 大坝位移预测模型2.1 改进方法为了改善传统 GM (1, 1) 模型的预测能力, 进行多方面优化, 提出了基于改进非等间距 GM (1, 1) 的大坝位移预测模型。2.1.1 背景值优化背景值的构造方法是影响模型精度的主要因素。传统 GM (1, 1) 模型采用梯形近似构造方法, 与矩形近似构造方法相比有较大误差。矩形近似构造方法6将区间t k, tk+1等分为 m 个小区间, 这 m 个小区间面积之和近似等于实际面积, 即构造背景值 z (tk+1) 。随着 m 由小向大变化, 理论上存在一个 m 值 (可以不
10、是整数) , 使得 m 个小区间面积之和等于实际面积, 由此近似计算的 z (tk+1) 值可使 GM (1, 1) 模型偏差最小。矩形近似计算公式为m 值的确定可采用试探法或经验公式法。试探法即 m 值从 2 逐渐增大, 计算预测结果, 比较各次预测结果的误差, 以确定最优的 m 值。由于 m 值增长的步长可为小数, 因此试探法较繁琐。经验公式为经验公式法取得的模型精度较试探法略低, 但简单易行。可先使用经验公式法确定 m 的初始值, 再应用试探法确定 m 的最优值。2.1.2 引入指数平滑法处理原始数据传统 GM (1, 1) 模型对于严格呈指数增长的数据序列有较高的预测精度, 然而原始数
11、据序列受各种因素影响, 并非完全按指数增长, 而是呈波动性变化, 此时传统 GM (1, 1) 模型的预测误差会较大。对此, 将指数平滑法7引入 GM (1, 1) 模型, 重新生成原始数据序列, 方法如下:式中: 为平滑系数, 取值范围为 01, 由试算法确定。2.1.3 残差优化计算 GM (1, 1) 模型的原始残差 (t i) , 对残差序列数据取绝对值, 并用改进的模型对其进行灰建模得 (t i) , 再根据原始残差序列的符号确定模型拟合值的正负, 对于模型预测数据残差序列的符号, 则根据马尔科夫链进行判断8。2.2 改进 GM (1, 1) 预测模型的建模过程基于上述改进方法, 进
12、行大坝位移预测模型构建的流程如图 1 所示, 其基本建模步骤如下: (1) 对原始数据序列进行级比检验, 必要时对其进行预处理; (2) 使用指数平滑法处理原始数据序列; (3) 应用矩形近似法优化背景值; (4) 用最小二乘法估计待辨识量; (5) 构造时间响应函数, 计算初步预测值, 得到原始预测序列; (6) 计算模型残差, 并分析调整指数平滑法与矩形近似法中的参数, 以提高模型精度; (7) 采用灰色模型建立残差序列的预测模型; (8) 将原始数据预测序列和残差预测序列叠加, 得到最终预测序列; (9) 对模型进行检验, 若满足要求则建模结束, 否则返回步骤 (1) , 对新预测序列的
13、残差序列进行处理。图 1 大坝位移预测模型构建流程 下载原图2.3 模型检验大坝位移预测模型建立后, 需对预测的可靠度进行检验, 常用的检验方法有关联度法和后验差检验法, 本文采用后验差检验法进行检验。根据原始数据序列 X (tk) 与预测序列 X (tk) 得到相应的残差序列:原始数据序列的均方差 S1、残差序列的均方差 S2分别为其中:后验差检验指标有后验差比值 C、小误差概率 P, 公式分别为根据后验差比值 C、小误差概率 P 进行模型精度等级的评定, 评定标准见表 1。表 1 模型精度评定标准 下载原表 3 工程实例分析某水利枢纽位于皖南长江支流青弋江上游, 主要水工建筑物有大坝、溢洪
14、道、泄洪中孔、泄水底孔、发电厂房和筏道。对大坝 18 坝段检查廊道测点的水平径向位移采用正垂线监测。根据该测点 1998 年 4 月 20 日至 7 月 20 日的监测数据, 分别建立传统 GM (1, 1) 和改进 GM (1, 1) 位移预测模型, 模型拟合 (预测) 结果见表 2, 精度分析结果见表 3。表 2 两种位移预测模型的拟合 (预测) 结果比较 下载原表 表 3 两种预测模型的精度比较 下载原表 由表 2 和表 3 可知, 改进 GM (1, 1) 模型优于传统 GM (1, 1) 模型, 改进 GM (1, 1) 模型预测精度为良好, 传统 GM (1, 1) 模型预测精度为
15、合格。4 结论在分析传统 GM (1, 1) 预测模型建模原理、步骤的基础上, 提出了对原始数据序列进行平滑处理、对背景值和残差序列进行优化等方法, 建立了大坝位移预测的改进非等间距 GM (1, 1) 模型, 并用某大坝水平径向位移监测数据对其进行了检验, 结果表明:改进模型在大坝位移预测中的适用性更强, 不仅提高了预测精度, 而且保留了灰色模型建模灵活、所需数据少等优点, 用于短期预测效果较好, 用于长期预测的效果有待考证。因改进后的模型短期预测精度较高, 故可采取去除旧数据、吸纳新数据的方式不断推进预测, 以取得较好的实时预测效果。参考文献1吴中如.水工建筑物安全监控理论及其应用M.南京
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