1、12016 年河南省商丘市虞城县中考数学一模试卷一、选择题1 .下列各数：1 2； （1） 2； 12； （1） 2，其中结果等于 1 的是（ ）A B C D2下列剪纸图案中，属于中心对称图形的是（ ）A B C D3下列调查中，最适合用普查方式的是（ ）A调查某品牌牛奶质量合格率B调查某幼儿园一班学生的平均身高C调查某市中小学生收看纪念抗日战争胜利 70 周年大阅兵的情况D调查某省九年级学生一周内网络自主学习的情况4如图所示，实数 a= ，则在数轴上，表示a 的点应落在（ ）A线段 AB 上 B线段 BC 上 C线段 CD 上 D线段 DE 上5如图所示，将一个透明的圆柱形玻璃容器（不计壁
2、厚）中装入体积为容器一半容积的水，当水平放置该容器时，水面的形状为（ ）A圆 B椭圆C一般的平行四边形 D矩形6某校动漫社团有 20 名学生代表学校参加市级“动漫设计 ”比赛，他们的得分情况如表：人数 4 6 8 2分数 80 85 90 95那么这 20 名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）A95 和 85 B90 和 85 C90 和 87.5D85 和 87.527把抛物线 y=x2+1 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线表达式为（ ）Ay= （ x3） 2+2 By= （x 3） 21 Cy=（x+3） 21 Dy=（x3） 228某学习小组中有甲、乙、丙、
3、丁四位同学，为解决尺规作图：“过直线 AB 外一点 M，作一直线垂直于直线 AB”，各自提供了如下四种方案，其中正确的是（ ）A甲、乙 B乙、丙 C丙、丁 D甲、乙、丙二、填空题9将一个长为 2，宽为 4 的长方形通过分割拼成一个等面积的正方形，则该正方形的边长为 10阿里巴巴 2015 年“双十一”全天交易额突破 912.17 亿元，将数字“912.17 亿” 用科学记数法表示为 11如图所示，将一个含 60角的直角三角形按照如图放置在作业纸上，纸上横线是一组平行线，若1=20，则2= 12小明手里有 6 张完全一样的卡片，其中 4 张正面画上记号“A ”，另外 2 张卡片被画上记号“B”
4、，先将其背面朝上洗匀，让小东从中随机抽取 2 张卡片，则他抽出的两张均有“A ”记号的卡片的概率等于 13如图所示，将一个矩形 ABCD 纸片，剪去两个完全相同的矩形后，剩余的阴影部分纸片面积大小为 24，且 AB=8，则被剪掉的矩形的长为 14如图所示，格点ABC 绕点 B 逆时针旋转得到EBD，图中每个小正方形的边长是 1，则图中阴影部分的面积为 315如图所示，线段 AB=8cm，射线 ANAB 于点 A，点 C 是射线上一动点，分别以 AC、BC 为直角边作等腰直角三角形，得ACD 与BCE 中，连接 DE 交射线 AN 于点 M，则 CM 的长为 三、解答题（本大题 8 个小题，共
5、75 分）16先化简，再求值： ，其中 a= +217如图所示，AB 为半圆 O 的直径，点 D 是半圆弧的中点，半径 OCBD，过点 C 作 AD 的平行线交 BA 延长线于点 E（1）判断 CE 与半圆 OD 的位置关系，并证明你的结论（2）若 BD=4，求阴影部分面积18某课外活动小组为了了解本校学生上网目的，随机调查了本校的部分学生，根据调查结果，统计整理并制作了如下尚不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：4（1）参与本次调查的学生共有 人；（2）在扇形统计图中，m 的值为 ；（3）补全条形统计图；（4）中学生上网玩游戏、聊天交友已经对正常的学习产生较多负面影响，为此学校计划开展一
6、次“合理上网” 专题讲座，每班随机抽取 15 名学生参加，小明所在的班级有 50 名学生，他被抽到听讲座的概率是多少？19某商店前后两次从外地购进热销精品玩具 80 件，前后两次玩具进价分别为 20 元/件、30 元/ 件，且后一次比前一次多花了 900 元钱（1）求前后两次分别购进玩具的件数（2）该商店对这批玩具第一次以 50 元/件的价格卖出一部分，第二次又以 40 元/ 件的价格将剩余部分售完，若该商店要想赚取不低于 1500 元的利润，求第一次应卖出件的范围20如图所示，在平面直角坐标系中，双曲线 y= （x0）上有一点 A（2，2），ABy 轴于点B，点 C 是 x 轴正半轴上一动点
7、，直线 CB 交双曲线于点 D，DE x 轴于点 E，连接AE，AD ，BE （1）当点 C 运动时，四边形 ADBE 的形状能变成菱形吗？如果能，求出此时点 C 的位置，若不能，说明理由（2）小明经过探究发现：点 C 运动会影响四边形 ADBE 形状，但是 AD 与 BE 的位置关系始终不变，请你帮他解释其中的原因21如图所示，某古代文物被探明埋于地下的 A 处，由于点 A 上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从 B 处或 C 处挖掘，从 B 处挖掘时，最短路线 BA 与地面所成的锐角是56，从 C 处挖掘时，最短路线 CA 与地面所成的锐角是 30，且 BC=20m，若考古
8、人员最终从 B 处挖掘，求挖掘的最短距离（参考数据：sin56=0.83，tan561.48， 1.73，结果保留整数）522问题背景：AOB、COD 是两个等腰直角三角形，现将直角顶点以及两直角边都重合在一起，如图 1 所示，点 P 是 CD 中点，连接 BP 并延长到 E 使 PE=BP，连接 EC，作平行四边形 ACEF，小林针对平行四边形 ACEF 形状进行了如下探究：观察操作：（1）小林先假设小等腰直角三角形的直角边非常小，这时三角形可以看作一个点，如图 2 所示，并提出猜想四边形 ACEF 是 ；猜想证明：（2）小林对比图 1 和图 2 的情形，完成了（1）中的猜想，请借助图 1
9、帮他证明这个猜想拓展延伸：（3）如图 3 所示，现将等腰直角三角形 COD 绕点 O 逆时针旋转一定角度，其它条件都不改变，原来结论是否仍然成立？请说明理由23如图所示，将一边长为 3 的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点 A、B 均落在坐标轴上，一抛物线过点 A、B，且顶点为 P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点 M 为抛物线上一点，恰使MOAMOB，求点 M 的坐标；（3）y 轴上是否存在一点 N，恰好使得PNB 为直角三角形？若存在，直接写出满足条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由62016 年河南省商丘市虞城县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1 .下列各数
10、：1 2； （1） 2； 12； （1） 2，其中结果等于 1 的是（ ）A B C D【考点】有理数的乘方【专题】计算题；实数【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：1 2=1，符合题意； （1） 2=1，符合题意； 12=1，符合题意；（1）2=1，符合题意故选 D【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键2下列剪纸图案中，属于中心对称图形的是（ ）A B C D【考点】中心对称图形【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可【解答】解：A
11、、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义73下列调查中，最适合用普查方式的是（ ）A调查某品牌牛奶质量合格率B调查某幼儿园一班学生的平均身高C调查某市中小学生收看纪念抗日战争胜利 70 周年大阅兵的情况D调查某省九年级学生一周内网络自主学习的情况【考点】全面调查与抽样调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答即可【解答】解：调查某品牌牛奶质量合格率，适合用抽
12、样方式，A 不合题意；调查某幼儿园一班学生的平均身高，适合用普查方式，B 符合题意；调查某市中小学生收看纪念抗日战争胜利 70 周年大阅兵的情况，适合用抽样方式，C 不合题意；调查某省九年级学生一周内网络自主学习的情况，适合用抽样方式，D 不合题意；故选：B【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查4如图所示，实数 a= ，则在数轴上，表示a 的点应落在（ ）A线段 AB 上 B线段 BC 上 C线段
13、CD 上 D线段 DE 上【考点】实数与数轴【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得a，根据实数的大小比较，可得答案【解答】解：a= ，a= ，2 1，故选：A【点评】本题考查了实数与数轴，利用实数的大小比较是解题关键85如图所示，将一个透明的圆柱形玻璃容器（不计壁厚）中装入体积为容器一半容积的水，当水平放置该容器时，水面的形状为（ ）A圆 B椭圆C一般的平行四边形 D矩形【考点】简单组合体的三视图【分析】根据垂直于圆柱底面的截面是矩形，可得答案【解答】解：由水平面与圆柱的底面垂直，得水面的形状是矩形故选：D【点评】本题考查了三视图，垂直于圆柱底面的截面是矩形，平行圆柱底面的截面是圆形
14、6某校动漫社团有 20 名学生代表学校参加市级“动漫设计 ”比赛，他们的得分情况如表：人数 4 6 8 2分数 80 85 90 95那么这 20 名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）A95 和 85 B90 和 85 C90 和 87.5D85 和 87.5【考点】众数；中位数【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数【解答】解：90 分的有 8 人，人数最多，故众数为 90 分；处于中间位置的数为第 10、11 两个数，为 85 分，90 分，中位数为 87.5 分故选 C【点评】
15、本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错7把抛物线 y=x2+1 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线表达式为（ ）9Ay= （ x3） 2+2 By= （x 3） 21 Cy=（x+3） 21 Dy=（x3） 22【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：将抛物线 y=x2+1 向左平移 3 个单位所得直线解析式为：y=（x+3） 2+1；再向下平移
16、 2 个单位为：y=（x+3） 2+12即：y=（x+3） 21故选：C【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键8某学习小组中有甲、乙、丙、丁四位同学，为解决尺规作图：“过直线 AB 外一点 M，作一直线垂直于直线 AB”，各自提供了如下四种方案，其中正确的是（ ）A甲、乙 B乙、丙 C丙、丁 D甲、乙、丙【考点】作图基本作图【专题】作图题【分析】根据作已知线段的垂直平分线可对甲、乙进行判断；根据圆周角定理对乙进行判断【解答】解：甲作了 AB 垂直平分过点 M 的线段；乙作了线段 AB 的垂直平分线；丙作了以 AM为直径的圆；丁的作法不明确故选 D【
17、点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线二、填空题9将一个长为 2，宽为 4 的长方形通过分割拼成一个等面积的正方形，则该正方形的边长为 2 【考点】算术平方根10【分析】先计算出长方形的面积，再根据算术平方根即可解答【解答】解：长方形的面积为：24=8，则正方形的面积也为 8，所以正方形的边长为： ，故答案为：2 【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根10阿里巴巴 2015 年“双十一”全天交易额突破 912.17 亿元，将数字“912.17 亿” 用科学记数法表示为 9.1
18、21710 10 【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 912.17 亿用科学记数法表示为 9.12171010故答案为：9.1217 1010【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值11如图所示，将一个含 60角的直角三角形按照如图放置在作
19、业纸上，纸上横线是一组平行线，若1=20，则2= 50 【考点】平行线的性质【分析】根据三角形内角和定理求出3，根据平行线的性质得出 2=1+3，代入求出即可【解答】解：3=1809060=30，11ABCD，1+3=2=20+30=50，故答案为：50【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，能根据平行线的性质得出2=1+3 是解此题的关键12小明手里有 6 张完全一样的卡片，其中 4 张正面画上记号“A ”，另外 2 张卡片被画上记号“B” ，先将其背面朝上洗匀，让小东从中随机抽取 2 张卡片，则他抽出的两张均有“A ”记号的卡片的概率等于 【考点】列表法与树状图法【分析】
20、首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与他抽出的两张均有“A ”记号的卡片的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：列表得：A A A A B BA AA AA AA BA BAA AA AA AA BA BAA AA AA AA BA BAA AA AA AA BA BAB AB AB AB AB BBB AB AB AB AB BB 共有 30 种等可能的结果，他抽出的两张均有“A”记号的卡片的有 12 种情况，他抽出的两张均有“ A”记号的卡片的概率为： = 故答案为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比121
21、3如图所示，将一个矩形 ABCD 纸片，剪去两个完全相同的矩形后，剩余的阴影部分纸片面积大小为 24，且 AB=8，则被剪掉的矩形的长为 6 【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】设被剪掉的矩形的长为 x，则宽为（8x），根据等量关系：“剩余的阴影部分纸片面积大小为 24”列出方程并解答【解答】解：设被剪掉的矩形的长为 x，则宽为（8x），依题意得：xx （8x）=24，解得 x=6（舍去负值）故答案是：6【点评】本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解14如图所示，格点ABC 绕点 B 逆时针旋转得到EB
22、D，图中每个小正方形的边长是 1，则图中阴影部分的面积为 【考点】扇形面积的计算【分析】先求出ABE 的度数，再由 S 阴影 =S 扇形 ABE+SABCSBDES 扇形 DBC 即可得出结论【解答】解：由图可知ABC=45 ，ABE=90AB= = ，13S 阴影 =S 扇形 ABE+SABCSBDES 扇形 DBC=S 扇形 ABES 扇形 DBC= =2= 故答案为： 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键15如图所示，线段 AB=8cm，射线 ANAB 于点 A，点 C 是射线上一动点，分别以 AC、BC 为直角边作等腰直角三角形，得ACD 与BCE 中
23、，连接 DE 交射线 AN 于点 M，则 CM 的长为 4 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形【分析】如图作 EHAN 于 H，由ABCHCE 得 AB=CH，AC=EH，再证明ABC HCE 得CM=CH 即可解决问题【解答】解：如图作 EHAN 于 H，BAAN，EHAN，BAC=EHC=90，ABC+ACB=90，ACB+ECH=90，ABC=ECH，BCE 和 ACD 都是等腰三角形，BC=CE，AC=DC，BCE=ACD=90在ABC 和HCE 中，14ABCHCE，AC=EH=CD=EH，AB=CH，在DCM 和EHM 中，ABCHCECM=HM，CM= CH= AB=
24、4故答案为 4【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，掌握添加辅助线的方法，属于中考常考题型三、解答题（本大题 8 个小题，共 75 分）16先化简，再求值： ，其中 a= +2【考点】分式的化简求值【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可【解答】解：原式= = = ，15当 a= +2 时，原式= = 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键17如图所示，AB 为半圆 O 的直径，点 D 是半圆弧的中点，半径 OCBD，过点 C 作 AD 的平行线交 BA 延长
25、线于点 E（1）判断 CE 与半圆 OD 的位置关系，并证明你的结论（2）若 BD=4，求阴影部分面积【考点】切线的判定；扇形面积的计算【分析】（1）直接利用圆周角定理结合平行线的性质得出 COEC，即可得出答案；（2）利用已知得出ADB 为等腰直角三角形，进而得出ECO 为等腰直角三角形，由 S 阴影部分=SECDS 扇形 AOC 求出答案【解答】解：（1）CE 与半圆 OD 相切，理由：AB 为直径，ADB=90，ADDB，CODB，COAD，ECAD，COEC，CE 与半圆 OD 相切；（2）点 D 平分半圆弧，B=45，ADB 为等腰直角三角形，BD=4，16AB=4 ，CO=2 ，C
26、ODB，AOC=ABD=45，由（1）知 COEC，ECO 为等腰直角三角形，S 阴影部分 =SECDS 扇形 AOC= （2 ） 2 （2 ） 2=4【点评】此题主要考查了切线的判定以及等腰直角三角形的性质、扇形面积求法等知识，正确得出ECO 为等腰直角三角形是解题关键18某课外活动小组为了了解本校学生上网目的，随机调查了本校的部分学生，根据调查结果，统计整理并制作了如下尚不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）参与本次调查的学生共有 300 人；（2）在扇形统计图中，m 的值为 25 ；（3）补全条形统计图；（4）中学生上网玩游戏、聊天交友已经对正常的学习产生较多负面影响，为此学校
27、计划开展一次“合理上网” 专题讲座，每班随机抽取 15 名学生参加，小明所在的班级有 50 名学生，他被抽到听讲座的概率是多少？【考点】条形统计图；扇形统计图；概率公式【分析】（1）根据：玩游戏人数玩游戏的百分比=总人数，计算可得；（2）根据：聊天交友人数 总人数 100 可得 m 的值；（3）总人数查资料的百分比可得人数，补全条形图即可；（4）用抽取人数除以班级总人数可得概率【解答】解：（1）90 30%=300（人）；17（2）m= 100=25；（3）30020%=60（人），补全图形如下：（4）小明被抽到听讲座的概率是 = 故答案为：（1）300，（2）25【点评】本题考查的是条形统计
28、图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小19某商店前后两次从外地购进热销精品玩具 80 件，前后两次玩具进价分别为 20 元/件、30 元/ 件，且后一次比前一次多花了 900 元钱（1）求前后两次分别购进玩具的件数（2）该商店对这批玩具第一次以 50 元/件的价格卖出一部分，第二次又以 40 元/ 件的价格将剩余部分售完，若该商店要想赚取不低于 1500 元的利润，求第一次应卖出件的范围【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用【分析】（1）设前一次购进玩具 x
29、件，第二次购进玩具 y 件，根据进货钱数=单价数量及二次共进货 80 件，得出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设第一次卖出 a 件，则第二次卖出 80a 件，根据利润=出售总钱数 进货钱数得出关于 a 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论【解答】解：（1）设前一次购进玩具 x 件，第二次购进玩具 y 件，由题意得： ，解得： 答：前后两次分别购进玩具的件数为 30 件和 50 件18（2）设第一次卖出 a 件，则第二次卖出 80a 件，根据题意得：50a+40（80a ）（2030+3050） 1500，解得：a40，又 a80，40a80则第一次卖出玩具件数范围
30、为 40a80【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键：（1）列出关于 x、y 的二元一次方程组；（2）找出关于 a 的一元一次不等式本题属于中档题，难度不大，解决该类型题目，根据数量关系列对方程（或方程组）即可20如图所示，在平面直角坐标系中，双曲线 y= （x0）上有一点 A（2，2），ABy 轴于点B，点 C 是 x 轴正半轴上一动点，直线 CB 交双曲线于点 D，DE x 轴于点 E，连接AE，AD ，BE （1）当点 C 运动时，四边形 ADBE 的形状能变成菱形吗？如果能，求出此时点 C 的位置，若不能，说明理由（2）小明经过探究发现：点 C 运动
31、会影响四边形 ADBE 形状，但是 AD 与 BE 的位置关系始终不变，请你帮他解释其中的原因【考点】反比例函数综合题【分析】（1）若四边形 ADBE 为菱形，则 AB 与 DE 互相垂直平分，则 B 和 D 的坐标可求得，然后利用待定系数法求得直线 BC 的解析式，进而求得 C 的坐标；（2）设 D 的坐标是（a， ），利用利用待定系数法即可求利用 a 表示出 AD 和 BE 的解析式，根据直线平行的条件即可判断【解答】解：（1）若四边形 ADBE 为菱形，则 AB 与 DE 互相垂直平分，19由题意得，A（2，2），B （0，2）则反比例函数的解析式是 y= ，E（ 1，0）D （1，4）
32、设直线 BD 的解析式是 y=kx+b，将 B（0，2），D（ 1，4）代入 y=kx+b，可得： ，解得： ，则直线 BD 的解析式是 y=2x+2，所以 C 的坐标是（1，0）；（2）设 D 的坐标是（a， ），直线 AD 的解析式是 y=kx+b，则 E（a，0）将 A（2，2），D（a ， ）代入可得： ，解得： ，则直线 AD 的解析式是 y= x+（2 ）同理可得直线 BE 的解析式是 y= x+2，AD 和 BE 始终平行【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和直线的解析式，正确利用 a 表示出 AD 和 BE 的解析式是解决本题的关键21如图所示，某古代文物被探明埋于地下的 A
33、 处，由于点 A 上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从 B 处或 C 处挖掘，从 B 处挖掘时，最短路线 BA 与地面所成的锐角是56，从 C 处挖掘时，最短路线 CA 与地面所成的锐角是 30，且 BC=20m，若考古人员最终从 B 处挖掘，求挖掘的最短距离（参考数据：sin56=0.83，tan561.48， 1.73，结果保留整数）20【考点】解直角三角形的应用【分析】作 ADBC 交 CB 延长线于点 D，执行额 AD 即为文物在地面下的深度设 AD=x通过解直角ABD 求得 BD= ；通过解直角ACD 求得 CD= x，由此列出关于 x 的方程，通过方程求得 AD
34、的长度最后通过解直角三角形 ABD 来求 AB 的长度即可【解答】解：作 ADBC 交 CB 延长线于点 D，执行额 AD 即为文物在地面下的深度根据题意得CAD=30，ABD=56设 AD=x在直角ABD 中，ABD=56，BD= = 在直角ACD 中，ACB=30 ，CD= AD= x， x= +20解得 x18.97，AB= 23答：从 B 处挖掘的最短距离为 23 米【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算22问题背景：AOB、COD 是两个等腰直角三角形，现将直角顶点以及两直角边都重合在一起，如图 1 所示，点 P 是 C
35、D 中点，连接 BP 并延长到 E 使 PE=BP，连接 EC，作平行四边形 ACEF，小林针对平行四边形 ACEF 形状进行了如下探究：21观察操作：（1）小林先假设小等腰直角三角形的直角边非常小，这时三角形可以看作一个点，如图 2 所示，并提出猜想四边形 ACEF 是 正方形 ；猜想证明：（2）小林对比图 1 和图 2 的情形，完成了（1）中的猜想，请借助图 1 帮他证明这个猜想拓展延伸：（3）如图 3 所示，现将等腰直角三角形 COD 绕点 O 逆时针旋转一定角度，其它条件都不改变，原来结论是否仍然成立？请说明理由【考点】几何变换综合题【分析】（1）根据已知直接证明有一个直角且邻边相等即
36、可；（2）通过证明三角形 CEP 和三角形 DBP 全等，结合等量代换即可证明；（3）与（2）同理可证 EC=DB，EC DB，进一步证明AOCBOD，结合等量代换和平行线的性质即可解答【解答】解：（1）正方形；如图 2，AOB 是等腰直角三角形，AOE=90，AO=BO，OE=BO，AO=OE，平行四边形 ACEF 是正方形；（2）如图 1，22P 是 CD 的中点，PC=PD，在CPE 和BPD 中，CPEBPD，EC=DB，OA=OB，OC=OD ，AC=DB，EC=AC，平行四边形 ACEF 是菱形，CPEBPD，CEP=DBP，ECOB，O=90，ACE=90，菱形 ACEF 是正方
37、形；（3）如图 3，与（2）同理可证CPE BPD，EC=DB，ECDB，AOC+COB=COB+DOB=90，AOC=DOB，23在AOC 和 BOD 中，AOCBOD，COD=90，AOC 可以看作 BOD 顺时针绕点 O 旋转 90得到，ACDB，AC=DB，EC=AC，平行四边形 ACEF 是菱形，ECDB，ACEC，菱形 ACEF 是正方形【点评】此题主要考查几何变换中的旋转，在旋转中找到并证明全等三角形，并灵活运用全等三角形的性质进行推理是解题的关键23如图所示，将一边长为 3 的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点 A、B 均落在坐标轴上，一抛物线过点 A、B，且顶点为 P（1，
38、4）（1）求抛物线的解析式；（2）点 M 为抛物线上一点，恰使MOAMOB，求点 M 的坐标；（3）y 轴上是否存在一点 N，恰好使得PNB 为直角三角形？若存在，直接写出满足条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）由正方形的性质可知 OA=OB=3，从而得到点 A 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x 1） 2+4，把 A（0，3）代入可求得 a 的值，从而得到抛物线的解析式；24（2）由全等三角形对应边相等可知 MA=BM，从而可知点 M 在 AB 的垂直平分线上，故此点 M 为直线 OC 与抛物线的交点，然后求得直线 OC 与抛物线的交点坐标即可；
39、（3）设 N（0，t）分为PNB=90、 NPB=90、PBN=90三种情况画出图形，然后依据相似三角形对应边成比例列出关于 t 的方程求解即可【解答】解：（1）正方形的边长为 3，A（ 0， 3）， B（3，0）设抛物线的解析式为 y=a（x1） 2+4把 A（ 0，3）代入得： a+4=3，解得 a=1，抛物线的解析式为 y=（x1 ） 2+4=x2+2x+3（2）如图 1 所示：MOAMOB，AM=BM点 M 在 AB 的垂直平分线上OACB 为正方形，OC 为 AB 的垂直平分线设 OC 的解析式为 y=kx，将 C（3，3）代入得：3k=3，解得：k=1，直线 OC 的解析式为 y=
40、x由 y=x 与 y=x2+2x+3 得：x=x 2+2x+3，解得：x 1= ，x 2= M（ ， ），M （ ， ）点 M 的坐标为（ ， ）或（ ， ）25（3）设 N（0，t）当 PNB=90 时，如图 2 所示连接 PN、BN，过点 P 作 PMy 轴，垂足为 M由PMN NOB，得： ，解得：t 1=1，t 2=3当 NPB=90时如图 3 所示；连接 PN、BN ，过点 P 作 x 轴的平行线，交 BC 延长线与点 M由PMN NOB，得： ，解得：t= 当 PBN=90时，如图 4 所示，过点 P 作 x 轴的平行线，交 BC 延长线与点 M由PMBNOB 得： ，解得：t= 综上所述，点 M 的坐标为（0，1）、（0，3）、（0， ）、（0， ）26【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤和方法、二次函数表达式的三种基本形式、相似三角形的性质、正方形的性质，分类讨论是解题的关键
