1、第六专题：线性规划题（选考）一、命题规律讲解1、 求线性（非线性）目标函数最值题2、 求可行域的面积题3、 求目标函数中参数取值范围题4、 求约束条件中参数取值范围题5、 利用线性规划解答应用题二、北京历年高考真题实例分析2010 线性规划（11）若点 p（m，3）到直线 4310xy的距离为 4，且点 p 在不等式 2xy3 表示的平面区域内，则 m= 。答案-3【命题意图】本题考查点到线的距离问题和二元一次不等式表示的平面区域问题，和应用方程的思想进行解题的能力。【试题解析】由题意可得491523m，解得 m=-3【2011 北京文，7】7某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 80
2、0 元。若每批生产 x件，则平均仓储时间为 8x天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A60 件 B80 件 C100 件 D120 件【答案】B【解析】仓库费用218x，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和280xyx02，当且仅当 80x即 时取等号，所以每批应生产产品 80 件，故选择 B20126已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a 1+a32a 2 （B） （C ）若 a1=a3，则 a1=a2（D）若 a3a 1，则 a4a 22321a【解析】当 ， ，时，可知 ， ， ，所以 A 选项错误；当 时，C
3、 选0q010q项错误：当 时， ，与 D 选项矛盾，因此描述均值定理的 B 选项为24313q正确答案，故选 B。【答案】B20132设 ， ， ，且 ，则（ ）abcRabA B C Dacb1ab2ab3ab答案：D解析：A 选项中若 c 小于等于 0 则不成立，B 选项中若 a 为正数 b 为负数则不成立，C 选项中若 a， b 均为负数则不成立，故选 D.12设 为不等式组 所表示的平面区域，区域 上203xyD的点与点 之间的距离的最小值为 。(1,0)12答案： 25解析：区域 D 表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知(1,0)到 D 的距离最小值为(1,0)到直线 2x
4、y0的距离 .|210|5三、必考知识点及题型讲解题型一、求线性（非线性）目标函数最值题一、必考知识点讲解1线性规划问题涉及如下概念：存在一定的限制条件，这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于 x、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是 x、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.所有可行解组成的集合，叫做可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解
5、.2线性规划问题有以下基本定理： 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. 凸多边形的顶点个数是有限的. 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.3.线性规划问题一般用图解法.(四)圆的有关问题线性规划问题在近几年全国各省市的高考试题中，都是以选择题或填空题的形式呈现的；考查内容除了常见的截距型、距离型和斜率型问题外，还出现了求平面区域的面积、求约束条件中的参变量范围以及求目标函数中的参变量范围等问题，集中体现了化归思想、数形结合思想以及运动变化思想等等；不仅考查了学生的画图、识图能力，还对学生的观察能力、联想能力以及推理能力提出了较高的要求.二
6、、经典例题分析一、 线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得,xy最大值和最小值的点的坐标 即简单线性规划的最优解。,例 1 已知 ， ，求 的最大值和最小4352xyzxyz值约束条件： ，是关于 的一个二元一次不等43521xy,xy式组；目标函数： ，是关于 的一个二元一次函数；zxy,可行域：是指由直线 ， 和 所围4352xy1x成的
7、一个三角形区域（包括边界） （如图 1） ；U可行解：所有满足 （即三角形区域内（包括边界）的点的坐标）实数 都是可行解；,xy最优解： ，即可行域内一点 ，使得一组平行线 （ 为参数）中的,xy, 0yz取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标 就是线性规划的最优解。z xy当线性约束条件中的二元一次不等式组中出现一个二元一次方程（或一元一次方程）时，则可行域就转变成一条线段（或一条直线，或一条射线） 。例 2 已知 满足 ，求 的最大,xy1246y5xy值和最小值约束条件： ，是关于 的一个二元一次1246xy,xy不等式组；目标函数： ，是关于 的一个二元一次函5z,数；可行域：是指由直
8、线 被直线 和1xy26xy所夹的一条线段 （如图 1） ；241xyAB可行解：所有满足 （即线段上的点的坐标）实数 都是可行解；,xy最优解： ，即可行域内一点 ，使得一组平行线 （ 为参数）中的,U, 50z取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标 就是线性规划的最优解。z xy这类问题的解决，关键在于能够正确理解线性约束条件所表示的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。二、 非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数
9、，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标,xy即最优解。,xy_ O 2 4 6 8 x y 2 4 x=1 x-4y=-3 3x+5y=25 图 1 1xy 2 6xy 241xy x O y A B 图 2 例 3 已知 满足， ，求 的最大值和最小值,xy24y32xy约束条件： ，是关于 的一个二元二次方程；2,目标函数： ，是关于 的一个二元一次函z数；可行域：是圆 上的圆周 （如图 3）24xyU可行解：所有满足 （即圆周上的点的坐标）实,数 都是可行解；,xy最优解： ，即可行域内一点
10、，使得一组, ,xy平行线 （ 为参数）中的 取得最大值和最小320zz值时，所对应的点的坐标 就是线性规划的最优解。,xy给定区间内的函数最值问题也可以看作是这类问题。例 4 求函数 的最大值和最小值。41,5约束条件： 是关于 的一个二元不等式组；1xy,xy目标函数： 是关于 的一个二元一次函数；z,可行域：函数 的图象在直线 和 之间（包括端点）4x15x的部分曲线 （如图 4）U可行解：所有满足 （即曲线段上的点的坐标）实数,y都是可行解；,xy最优解： ，即可行域内一点 ，使得一组平行线,x,xy（ 为参数）中的 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐0zz标 就是线性规划的最优解。
11、,这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件所表达的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。三、 线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段） ，区域内的各点的点坐标 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 即,xy ,xy最优解。例 5 已知实数 满足不等式组 ，求, 10xy的最小值。248xy约束条件： 是一个关于 的一个二元一次不10xy,xy等式组
12、；目标函数： 是一个关于 的一个248zxy,二元二次函数，可以看作是一点 到点 的距离的平方；,x2,1 5 6 4 y x O 图 4 O xy2图 3可行域：是指由直线 ， 和 所围成的一个三角形区域（包括边界）10xy10xy（如图 5） ；U可行解：所有满足 （即三角形区域（包括边界）内的点的坐标）实数 都是可行解；,U,xy最优解： ，即可行域内一点 ，使得它到点 的距离最小，则其距离的平方也取, ,2,得最小值，此时所对应的点的坐标 就是最优解。,xy例 6 实数 满足不等式组 ，求 的最小,xy021yx值约束条件： 是一个关于 的一个二元一次不等02xy,xy式组；目标函数：
13、 是一个关于 的一个二元248zx,函数，可以看作是一点 与点 的斜率；,y1,可行域：是指由直线 ， 和 所围成的020xy一个三角形区域（包括边界） （如图 6） ；U可行解：所有满足 （即三角形区域（包括边界）内的点,x的坐标）实数 都是可行解；,y最优解： ，即可行域内一点 ，使得它与点 的斜率取得最小值，此时所对应的,xy2,点的坐标 就是最优解。,x这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性目标函数所表示的几何意义，并利用图形及非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。四、 非线性约束条件下非线性函数的最值问题在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划
14、的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段） ，区域内的各点的点坐标 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 即最,xy ,xy优解。例 7 已知 满足 ，求 的最大值和最小值,21xy约束条件： 是一个关于 的一个二元方程；2y,目标函数： 是一个关于 的一个二元函数，可以看作是一zxy点 与点 的斜率；,x,0可行域：以原点为圆心，1 为半径的在 轴上方的半圆及与 轴的交xx点 （如图 7） ；U可行解：所有满足 （即半圆（包括交点）上的点的坐标）,xyU实数 都是可行解；,xy最优解： ，
15、即可行域内一点 ，使得它与点 的斜率取得最大值和最小值，此, ,xy2,0时所对应的点的坐标 就是最优解。这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件与非线性目标函数所表示的几何意义，利_O y x 1 图 7 用非线性约束条件作出图形并利用非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，实际上是对数学形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题。是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于学生最优化思想的形成是非常有益的。1. “截距”型考题方法：求交点求最值在线性约束条件下，求形如 的线性目标函
16、数的最值问题，通常转化为求直线在(,)zaxbyR轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效y避免因画图太草而造成的视觉误差.1.【2012 年高考广东卷 理 5】已知变量 ,xy满足约束条件241yx，则 3zxy的最大值为( )()A12()B1 ()C ()D1、选 B 【解析】约束条件对应 AC内的区域( 含边界)，其中 532,)2ABC 画出可行域，结合图形和 z 的几何意义易得 38,zxy2. (2012 年高考辽宁卷 理 8)设变量 ,xy满足-10+25xy，则2+3xy的最大值为A20 B35 C45 D552、选 D；
17、【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点 5,1时， 2+3xy的最大值为 55，故选 D.3.(2012 年高考全国大纲卷 理 13) 若 ,xy满足约束条件103xy，则 3z的最小值为 。3、答案： 1【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点 (3,0)时，目标函数最大 ，当目标函数过点 (0,1)时最小为 .4.【2012 年高考陕西卷 理 14】 设函数 ln,0()21xf， D是由 x轴和曲线 ()yfx及该曲线在点 (1,0)处的切线所围成的封闭区域，则 zy在 上的最大值为 4、答案 2； 【解析】当 x 0 时， xf1， f
18、，曲线在点 (,)处的切线为 y，则根据题意可画出可行域 D 如右图：目标函数 zxy21， 当 ， 1y时，z 取得最大值 25.【2012 年高考江西卷 理 8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 计，投入资金不超过 54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A50，0 B30，20 C20，30 D0，505、选 B；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x、y 亩，总利润为
19、z 万元， 则目标函数为 (0.41.2)(0.36.9)0.zx. 线性约束条件为 50,1.294,.xy即5,43180,.yx作出不等式组表示的可行域, 易求得点 ,5,20,45ABC. 平移直线 0.9zxy，可知当直线 0.9zxy，经过点 32，即 3,xy时 z 取得最大值，且 max8z（万元）. 故选 B.点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？(2)转化设元写出约束条件和目标函数;(3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；年产量/ 亩 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万
20、元 0.55 万元韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元(4)作答就应用题提出的问题作出回答6. (2012 年高考四川卷 理 9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品 1 桶需耗 A原料 1 千克、B原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A原料 2 千克， B原料 1 千克. 每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 、 B原料都不超过 12 千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元6、答
21、案 C 【解析 】 设公司每天生产甲种产品 X 桶，乙种产品Y 桶，公司共可获得利润为 Z 元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，且 012YX，画可行域如图所示，目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= 40zx3这是随 Z 变化的一族平行直线，解方程组 12y ， 4yx ，即 A（4,4） 2801620max7. (2012 年高考安徽卷 理 11) 若 ,xy满足约束条件：023xy；则 xy的取值范围为 _.7、答案 3,0； 【解析】约束条件对应 ABC内的区域 (含边界) ， 其中 3(0,),(1,)2ABC，画出可行域，结合图形和 t 的几何意义易得 3,0
22、txy8(2012 年高考山东卷 理 5)的约束条件 ，则目标函数 z=3xy 的取值范围是241xyA ，6 B ，1 C1，6 D6， 323328、选 A； 【解析】 作出可行域和直线 ： 03yx，将直线 平移至点 )0,(处有最大值，点ll)3,21(处有最小值，即 6z. 应选 A.9(2012 年高考新课标卷 理 14) 设 ,xy满足约束条件：,013xy；则 2zxy的取值范围为 .9、答案3，3；【解析】约束条件对应区域为四边形 OABC内及边界，其中(0,),1(,2)3,0OABC， 则 23,zxy2 . “距离”型考题方法：求交点求最值10.【2010 年高考福建卷
23、 理 8】 设不等式组 所表示的平面区域是 ,平面区域是 与1x-2y+3012关于直线 对称,对于 中的任意一点 A 与 中的任意一点 B, 的最小值等于( )13490xy12|ABA. B.4 C. D.22852510、选 B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。【解析】由题意知，所求的 的最小值，即为区域 中的点到|AB1直线 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示3490xy的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故 的最小值为|，所以选 B。|349|25评注：在线
24、性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化为求其中一点(x，y)到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点.11.( 2012 年高考北京卷 理 2) 设不等式组 20,yx，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是A 4 B C 6 D 4图 3yxO-1111、选 D；【解析】题目中 20yx表示的区域为正方形，如图所示，而动点 M 可 以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 421P，故选 D.3. “斜率”型考题方法：现求交点，再画图
25、（包括 90 取两边，不包括 90 取中间）当目标函数形如 yazxb时,可把 z 看作是动点 (,)Pxy与定点 (,)Qba连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。12.【2008 年高考福建卷 理 8】 若实数 x、y 满足 则 的取值范围是 （ 10,yxyx）A.(0,1) B. C.(1,+ ) D.0,1,12、选 C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域， 表示平面区域内的动点 与原yx(,)x点 之间连线的斜率，由图易知， ，选 C.(0,)Oyx1,评注：在线性约束条件下，对于形如 的目标函数的取值(,)bzaR问题，通常转化为求点 、 之间连线斜率的取值. 结合图形易知，可(,)xy,a行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点. 在本题中，要合理运用极限思想，判定 的最小值无限趋近于 1.yx13.（2012 年高考江苏卷 14）已知正数 abc， ， 满足： 4ln53lbcacab ， ， 则 ba的取值范围是
