2018年秋九年级数学上册 第24章 解直角三角形同步练习（打包8套）（新版）华东师大版.zip

124.2 直角三角形的性质知识点 1 直角三角形的两个锐角互余1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°2．如图 24－2－1，将一个矩形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2 的度数是( )A．30° B．60° C．90° D．120°图 24－2－1知识点 2 勾股定理3． ［2016·荆门］如图 24－2－2，△ ABC中， AB＝ AC， AD是∠ BAC的平分线．已知AB＝5， AD＝3，则 BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．10图 24－2－24． ［2017·绍兴］如图 24－2－3，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为 0.7米，顶端距离地面 2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，顶端距离地面 2米，那么小巷的宽度为( )A．0.7 米 B．1.5 米 C．2.2 米 D．2.4 米图 24－2－3知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质5．如图 24－2－4，在 Rt△ ABC中， E是斜边 AB的中点．若 AB＝10，则CE＝________．图 24－2－46．如图 24－2－5，在△ ABC中， CD⊥ AB于点 D， E是 AC的中点．若 AD＝6， DE＝5，则 CD的长等于__________．2图 24－2－57．如图 24－2－6，在△ ABC中，∠ C＝2∠ B， D是 BC上的一点，且 AD⊥ AB， E是 BD的中点，连结 AE.求证：∠ AEC＝∠ C.图 24－2－6知识点 4 直角三角形中 30 °角的性质8． ［2016·百色］如图 24－2－7，△ ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°， AB＝12，则BC＝( )A．6 B．6 C．6 D．122 3图 24－2－79．如图 24－2－8，在等腰三角形 ABC中，∠ BAC＝120°， AC的垂直平分线交 BC于点D，交 AC于点 E，若线段 DE＝1 cm，则 BD的长为________ cm.图 24－2－810．如图 24－2－9，∠ BAC＝90°， AD⊥ BC于点 D，则图中互余的角有( )A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对图 24－2－911． ［教材习题 24.2第 2题变式］如图 24－2－10，在△ ABC中，AB＝ AC，∠ BAC＝120°， D是 BC的中点， DE⊥ AB于点 E.若 AE＝2，则 BE＝( )A．3 B．4 C．6 D．83图 24－2－1012．如图 24－2－11，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝90°， AB的垂直平分线 DE交 AC于点E，交 BC的延长线于点 F.若∠ F＝30°， DE＝1，求 BE的长．图 24－2－1113．如图 24－2－12，在△ ABC中， AD⊥ BC于点 D，∠ B＝45°，∠ C＝30°， AD＝1.(1)求 CD的长；(2)求△ ABC的面积．图 24－2－1214．如图 24－2－13，在△ ABC中，∠ ACB＝90°， M， N分别是 AB， AC的中点，延长 BC至点 D，使 CD＝ BD，连结 DN， MN.13(1)求证： MN＝ CD；(2)若 AB＝6，求 DN的长．图 24－2－13415．如图 24－2－14，已知在△ ABC中，∠ ACB＝90°， CD为高，且 CD， CE三等分∠ ACB.(1)求∠ B的度数；(2)求证： CE是 AB边上的中线，且 CE＝ AB.12图 24－2－1416．如图 24－2－15 所示，一根长 2a的木棍( AB)斜靠在与地面( OM)垂直的墙( ON)上，设木棍的中点为 P.若木棍 A端沿墙下滑，且 B端沿地面向右滑行．(1)请判断在木棍滑动的过程中，点 P到点 O的距离是否发生变化，并简述理由．(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△ AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．图 24－2－1551．D 2．C 3.C4．C 5．56．8 7．证明：∵ AD⊥ AB，∴△ ABD为直角三角形．∵ E是 BD的中点，∴ AE＝ BD， BE＝ BD，12 12∴ AE＝ BE，∴∠ B＝∠ BAE.∵∠ AEC＝∠ B＋∠ BAE，∴∠ AEC＝∠ B＋∠ B＝2∠ B.又∵∠ C＝2∠ B，∴∠ AEC＝∠ C.8．A 9.410．C11． C 12．∵ AB的垂直平分线 DE交 AC于点 E，交 BC的延长线于点 F，∴∠ BDF＝90°， AE＝ BE，∴∠ ABE＝∠ A.∵∠ F＝30°，∴∠ DBF＝60°.∵∠ ACB＝90°，∴∠ A＝30°，∴∠ ABE＝30°，∴ BE＝2 DE＝2.13．解：(1)∵ AD⊥ BC，∴∠ ADB＝∠ ADC＝90°.∵∠ C＝30°， AD＝1，∴ AC＝2 AD＝2，∴ CD＝ ＝ ＝ .AC2－ AD2 22－ 12 3(2)∵∠ B＝45°，∴∠ BAD＝45°，∴ BD＝ AD＝1，∴ BC＝ BD＋ CD＝1＋ ，3∴△ ABC的面积＝ AD·BC＝ .12 1＋ 3214．解：(1)证明：∵ M， N分别是 AB， AC的中点，∴ MN＝ BC， MN∥ BC.12∵ CD＝ BD，13∴ CD＝ BC，126∴ MN＝ CD.(2)连结 CM，∵ MN∥ CD， MN＝ CD，∴四边形 MCDN是平行四边形，∴ DN＝ CM.∵∠ ACB＝90°， M是 AB的中点，∴ CM＝ AB，12∴ DN＝ AB＝3.1215(1)∵在△ ABC中，∠ ACB＝90°， CD， CE三等分∠ ACB，∴∠ ACD＝∠ DCE＝∠ BCE＝30°，∴∠ BCD＝60°.又∵ CD为高，∴∠ B＝90°－60°＝30°.(2)证明：由(1)知，∠ B＝∠ BCE＝30°，则 CE＝ BE.∵∠ ACB＝90°，∠ B＝30°，∴∠ A＝60°.又由(1)知，∠ ACD＝∠ DCE＝30°，∴∠ ACE＝60°＝∠ A，∴△ ACE是等边三角形，∴ AE＝ CE＝ BE＝ AB，12∴ E是 AB的中点，∴ CE是 AB边上的中线，且 CE＝ AB.1216． (1)不变．理由：由题意得 OP＝ AB.12∵斜边 AB的长不变，∴点 P到点 O的距离 OP不变．(2)当△ AOB斜边上的中线 OP是斜边上的高 h时，△ AOB的面积最大．理由：如图，过点 O作 OD⊥ AB于点 D，则 OD＝ h.若 h与 OP不相等，则总有 h＜ OP，故根据三角形面积公式，知当 h与 OP相等时，△ AOB的面积最大，7此时， S△ AOB＝ AB·h＝ ·2a·a＝ a2.12 12∴△ AOB的最大面积为 a2.124.3.1 第 2课时 特殊角的三角函数值知识点 1 特殊角的三角函数值1．sin60°的值为( )A. B. C. D. 332 22 122．计算 ·tan60°的值等于( )2A. B. C. D. 53 63 5 63．若 α ＝30°，则 α 的余角为________度，sin α 的值为________．4． ［教材例 2变式］计算：2cos30°－tan45°－ .（ 1－ tan60°） 2知识点 2 已知三角函数值求特殊角5．已知∠ A为锐角，sin A＝ ，则∠ A等于( )22A．30° B．45° C．60° D．75°6．已知 α 为锐角，且 cos(90°－ α )＝ ，则 α ＝________．227．在△ ABC中，∠ B＝45°，cos A＝ ，则∠ C的度数是________．128．在△ ABC中，若锐角∠ A，∠ B满足|cos A－ |＋(1－tan B)2＝0，则∠ C的大小是( )32A．45° B．60° C．75° D．105°9．已知 α 为锐角，当 无意义时，tan( α ＋15°)－tan( α －15°)的值是21－ tanα________．10．计算：(－2) 3＋ ×(2018＋π) 0－|－ |＋tan 260°＝________．13 1311． ［2016·丽水］数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含 45°角的三角尺的斜边与含 30°角的三角尺的长直角边相等．于是小陆同学提出一个问题：如图 24－3－11，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点 B， C， E在同一条直线上，若 BC＝2，求 AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．2图 24－3－1112．进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：sin(α ＋ β )＝sin α cosβ ＋cos α sinβ ， ①cos(α ＋ β )＝cos α cosβ －sin α sinβ ， ②tan(α ＋ β )＝ (1－tan α ·tanβ ≠0)． ③tanα ＋ tanβ1－ tanα ·tanβ利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan(45°＋60°)＝ ＝ ＝ ＝ ＝－(2＋ )．tan45°＋ tan60°1－ tan45°·tan60° 1＋ 31－ 1×3 （ 1＋ 3） （ 1＋ 3）（ 1－ 3） （ 1＋ 3） 4＋ 2 3－ 2 3根据上面的知识，请你求出下列三角函数值：(1)sin75°； (2)cos105°.31．B2．D 3．60 124．解：原式＝2× －1－( －1)32 3＝ －1－ ＋13 3＝0.5．B 6. 45°7．75° ∴∠ A＝60°，∴∠ C＝180°－∠ A－∠ B＝180°－60°－45°＝75°.8． D 9.2 3310．－5 11．解：在 Rt△ ABC中， BC＝2，∠ A＝30°， AC＝ ＝2 ，则 EF＝ AC＝2 .BCtanA 3 3∵∠ E＝45°，∴ FC＝ EF·sinE＝ ，6∴ AF＝ AC－ FC＝2 － .3 612． (1)sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝ × ＋ × ＝ .12 22 32 22 2＋ 64(2)cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝ × － × ＝ .22 12 22 32 2－ 64124.3.2 用计算器求锐角三角函数值知识点 1 已知锐角求三角函数值1．用计算器求 sin74°的值，下列按键顺序正确的是( )A. B. sin74＝ sin＝ 74C. D. )sinSHIFT74 sin°′ ″ ＝ 742．下列各式不成立的是( )A．sin50°sin23°3．已知∠ E＝36°，∠ F 是∠ E 的余角，则∠ F＝________°，sin F＝______(精确到0.0001)．4．用计算器求下列三角函数值(精确到 0.01)：(1)sin55°； (2)cos46°49′； (3)tan67°20′.知识点 2 已知三角函数值求锐角5．已知 tanx＝0.3685，求锐角 x.在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示 )，按D键顺序依次为________________________________．6．已知∠ A，∠ B 都是锐角，且 sinA＝0.2，cos B＝0.8，则∠ A＋∠ B＝________．(精确到 1′)7．已知下列锐角 α 的各三角函数值，用计算器求锐角 α ：(精确到 1″)(1)sinα ＝0.6725; (2)cos α ＝0.8607; (3)tan α ＝100.8． ［教材例 4 变式］运用科学计算器计算：3 sin73°52′＝________．(结果精确到 0.1)179．等腰三角形中，腰和底的长分别是 10 和 13，则这个三角形底角的度数约为________．(用科学计算器计算，结果精确到 0.1°)10．如图 24－3－12，两条笔直的公路 AB， CD 相交于点 O，∠ AOC＝36°，指挥中心 M设在 OA 路段上，与 O 地的距离为 18 千米．一次行动中，王警官带队从 O 地出发，沿 OC 方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在 10 千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)2图 24－3－1211．(1)如图 24－3－13，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律．(2)根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．(3)比较大小(空格处填“”或“＝”)：若 α ＝45°，则 sinα ________cosα ；若 α 45°，则 sinα ________cosα .图 24－3－133教师详答1．A 2.B3．54 0.80904．(1)0.82 (2)0.68 (3)2.395. (tan－1 ) SHIFT tan 0 ·3 68 5 ＝6．48°24′7．(1) α ≈42°15′37″(2)α ≈30°36′17″(3)α ≈89°25′37″8． 11.99．49.5°10．解：过点 M 作 MH⊥ OC 于点 H.在 Rt△ MOH 中，sin∠ MOH＝ ，MHOM∵ OM＝18 千米，∠ MOH＝36°，∴ MH＝18sin36°≈18×0.59＝10.62(千米)10 千米，∴王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话．11． (1)由图①②可得 sinα 随着 α 的增大而增大，cos α 随着 α 的增大而减小．(2)sin18°cos34°cos50°cos62°cos88°.(3)＝ 124.4 第 1课时 解直角三角形 知识点 1 锐角三角函数与直角三角形的三边关系1．在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°，∠ A，∠ B，∠ C所对的边的长分别为 5，12，13，则有 sinA＝________， cos A＝________，tan A＝________．2．在 Rt△ ABC中，已知∠ C＝90°，∠ A＝40°， BC＝3，则 AC＝( )A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°3．在△ ABC中，∠ C＝90°，∠ A，∠ B，∠ C所对的边分别为 a， b， c.(1)若已知 a与∠ B，则 b＝________， c＝____________________________________；(2)若已知∠ A与 c，则 a＝________， b＝_____________________________________.知识点 2 解直角三角形4．如图 24－4－1 所示，在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，tanB＝ ＝________．如果 AC＝5，那么 BC＝________． （ ）（ ）图 24－4－15．根据下列所给条件解直角三角形，结果不能确定的是( )①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边．A．②④ B．②③ C．只有② D．②④⑤6．在△ ABC中，已知∠ C＝90°，∠ A，∠ B，∠ C所对的边分别为a， b， c， a＝ ， c＝ ，则下列解该直角三角形所得的结果中完全正确的一组是( )3 6A．∠ A＝30°，∠ B＝60°， b＝2 33B．∠ A＝30°，∠ B＝60°， b＝ 3C．∠ A＝45°，∠ B＝45°， b＝ 3D．∠ A＝30°，∠ B＝60°， b＝627．在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°，∠ A，∠ B，∠ C所对的边分别为a， b， c， a＝ ， c＝2，则∠ A＝________， b＝________．28． ［教材习题 24.4第 1题变式］在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°，∠ A，∠ B，∠ C的对边分别为 a， b， c，其中 a＝4， c＝8，解这个直角三角形．知识点 3 解直角三角形的简单应用29． ［2016·绥化］如图 24－4－2，小雅家(图中点 O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点 A处)在她家北偏东 60°方向 500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离 AB是( )A．250 米 B．250 米 3C. 米 D．500 米 5003 3 2图 24－4－210．如图 24－4－3 所示，在东西方向的海岸线上有 A， B两个港口，甲货船从 A港沿北偏东 60°的方向以 4海里/时的速度出发，同时乙货船从 B港沿西北方向出发，2 小时后在点 P处相遇，则乙货船每小时航行________海里．图 24－4－311．如图 24－4－4，海面上 B， C两岛分别位于 A岛的正东和正北方向．一艘船从 A岛出发，以 18海里/时的速度向正北方向航行 2小时到达 C岛，此时测得 B岛在 C岛的南偏东43°方向上，求 A， B两岛之间的距离．(结果精确到 0.1海里．参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)图 24－4－412． ［2016·绵阳］如图 24－4－5，在△ ABC中， AB＝ AC＝4，∠ C＝72°， D是 AB的中点，点 E在 AC上， DE⊥ AB，则 cosA的值为( )A. B. C. D. 5－ 12 5－ 14 5＋ 14 5＋ 12图 24－4－5313．如图 24－4－6，李明同学在东西方向的滨海路 A处测得海中灯塔 P在北偏东 60°方向上，他向东走 400米至 B处，测得灯塔 P在北偏东 30°方向上，则灯塔 P到滨海路的距离为( )A．100 米 B．100 米 C．200 米 D．200 米3 3图 24－4－614．如图 24－4－7，钓鱼竿 AC长 6 m，露在水面上的鱼线 BC长 3 m，某钓鱼者想2看看钓钩上的情况，把鱼竿 AC转动到 AC′的位置，此时露在水面上的鱼线 B′ C′长 3 3m，则钓鱼竿转过的角度是( )A．60° B．45° C．15° D．90°图 24－4－715．如图 24－4－8，在菱形 ABCD中， DE⊥ AB，垂足为 E， DE＝6，sin A＝ ，则菱形35ABCD的周长是________．图 24－4－816．如图 24－4－9，由游客中心 A处修建通往百米观景长廊 BC的两条栈道 AB和 AC，若∠ B＝56°，∠ C＝45°，则游客中心 A到观景长廊 BC的距离 AD的长约为________米．(结果保留整数，参考数据：sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)图 24－4－917． ［2017·德州］如图 24－4－10 所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路 10 m的 A处，测速仪器测得一辆汽车从 B处行驶到 C处所用时间为 0.9秒，已知∠ B＝30°，∠ C＝45°.(1)求 B， C之间的距离(保留根号)；(2)如果此路段限速为 80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由(参考数据：≈1.7 ， ≈1.4)．3 24图 24－4－1018．如图 24－4－11，在平面直角坐标系中，点 A， B分别在 x轴、 y轴上，点 A的坐标为(－1，0)，∠ ABO＝30°，线段 PQ的端点 P从点 O出发，沿△ OBA的边按 O→ B→ A→ O运动一周，同时另一端点 Q随之在 x轴的非负半轴上运动，如果 PQ＝ ，那么当点 P运动一3周时，试求出点 Q运动的总路程．图 24－4－1151. 513 1213 5122．D [解析] 由题意知∠ B＝90°－∠ A＝90°－40°＝50°.又∵tan B＝ ，ACBC∴ AC＝ BC·tanB＝3tan50°.故选 D.3．(1) a·tanB (2) c·sinA c·cosAacosB[解析] (1)∵tan B＝ ，∴ b＝ a·tanB；ba∵cos B＝ ，∴ c＝ .ac acosB(2)∵sin A＝ ，∴ a＝ c·sinA；ac∵cos A＝ ，bc∴ b＝ c·cosA.4． AC BC 5 33 35．C [解析] 解直角三角形所给条件中至少应有一条边长．6．C 7.45° 28．解：∵ a＝4， c＝8，∴由勾股定理可得 b＝4 .3∵sin A＝ ＝ ，∴∠ A＝30°，∴∠ B＝60°，ac 12故∠ A＝30°，∠ B＝60°， b＝4 .39．A10．2 [解析] 如图，过点 P作 PC⊥ AB于点 C，则∠ PAC＝30°，∠ PBC＝45°，2PC＝ PA＝4 海里， PB＝ PC＝4 海里，12 2 2所以乙货船每小时航行 4 ÷2＝2 (海里)．2 211．解：根据路程＝速度×时间，可得 AC＝18×2＝36(海里)．在 Rt△ ABC中，利用正切函数的定义可得 tan∠ ACB＝ ，由此可知 AB＝ AC·tan∠ ACB≈36×0.93≈33.5(海里)．ABAC答： A， B两岛之间的距离约为 33.5海里．12．C [解析] ∵在△ ABC中， AB＝ AC＝4，∠ C＝72°，∴∠ ABC＝∠ C＝72°，∠ A＝36°.∵ D是 AB的中点， DE⊥ AB，6∴ AD＝ AB＝2， AE＝ BE，12∴∠ ABE＝∠ A＝36°，∴∠ EBC＝∠ ABC－∠ ABE＝36°，∴∠ BEC＝180°－∠ EBC－∠ C＝72°，∴∠ BEC＝∠ C，∴ BE＝ BC，∴ AE＝ BE＝ BC.设 AE＝ x，则 BE＝ BC＝ x， CE＝4－ x.∵∠ EBC＝∠ A＝36°，∠ C＝∠ C，∴△ BCE∽△ ACB，∴ ＝ ，即 ＝ ，CECB BEAB 4－ xx x4解得 x＝－2＋2 (负值舍去)，5∴ AE＝－2＋2 .5在△ ADE中，∵∠ ADE＝90°，∴cos A＝ ＝ ＝ .ADAE 2－ 2＋ 2 5 5＋ 1413．D [解析] 如图，过点 P作 PC⊥ AB于点 C.根据题意，得∠ PAB＝30°，∠ PBC＝60°，∴∠ APB＝30°＝∠ PAB，∴ BP＝ AB＝400 米．在 Rt△ PBC中，sin60°＝ ，PCPB∴ PC＝ PB·sin60°＝400× ＝200 (米)．32 314．C [解析] ∵sin∠ CAB＝ ＝ ＝ ，∴∠ CAB＝45°.BCAC 3 26 22∵sin∠ C′ AB′＝ ＝ ＝ ，∴∠ C′ AB′＝60°，B′ C′AC′ 3 36 32∴∠ CAC′＝60°－45°＝15°，即钓鱼竿转过的角度是 15°.故选 C.15． 40 [解析] ∵ DE⊥ AB，垂足为 E，∴△ AED为直角三角形，∴sin A＝ ，即 ＝ ，DEAD 35 6AD∴ AD＝10，∴菱形 ABCD的周长为 10×4＝40.16．60 [解析] ∵∠ B＝56°，∠ C＝45°，∠ ADB＝∠ ADC＝90°， BC＝ BD＋ CD＝100米，7∴ BD＝ ， CD＝ ，ADtan56° ADtan45°∴ ＋ ＝100，解得 AD≈60(米)．ADtan56° ADtan45°17．[解析] (1)如图，作 AD⊥ BC于点 D，则 AD＝10 m，求出 CD， BD的长即可解决问题．(2)求出汽车的速度即可解决问题，注意统一单位．解：(1)如图，作 AD⊥ BC于点 D，则 AD＝10 m.在 Rt△ ACD中，∵∠ C＝45°，∴ AD＝ CD＝10 m.在 Rt△ ABD中，∵∠ B＝30°，∴tan30°＝ ，ADBD∴ BD＝ ＝ AD＝10 m，ADtan30° 3 3∴ BC＝ BD＋ CD＝(10 ＋10)m.3(2)这辆汽车超速．理由：∵ BC＝(10 ＋10)m≈27 m，3∴这辆汽车的速度≈ ＝30 m/s＝108 km/h.270.9∵108＞80，∴这辆汽车超速．18．解：在 Rt△ AOB中，∵∠ ABO＝30°， AO＝1，∴ AB＝2， BO＝ ＝ .22－ 12 3(1)当点 P从点 O运动到点 B处时，如图①②所示，点 Q运动的路程为 .3(2)如图③所示，点 P从 B→ C，当点 P运动到点 C时， QC⊥ AB，则∠ ACQ＝90°.∵∠ ABO＝30°，∴∠ BAO＝60°，∴∠ OQD＝90°－60°＝30°.∵cos30°＝ ，∴ AQ＝ ＝2，CQAQ CQcos30°∴ OQ＝2－1＝1，则当点 P从点 B运动到点 C处时，点 Q运动的路程为 OQ＝1.8(3)当点 P从点 C运动到点 A处时，如图③所示，点 Q运动的路程为 QQ′＝2－ .3(4)当点 P从点 A运动到点 O处时，点 Q运动的路程为 AO＝1.综上，点 Q运动的总路程为 ＋1＋2－ ＋1＝4.3 31第 2 课时 解直角三角形的应用——仰角、俯角知识点 1 仰角与解直角三角形的应用1．如图 24－4－12，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的B 处测得树顶 A 的仰角∠ ABO＝ α ，则树 OA 的高度为( )A. 米 B．30sin α 米 30tanαC．30tan α 米 D．30cos α 米图 24－4－122．如图 24－4－13，在塔 AB 前的平地上选择一点 C，测得塔顶的仰角为 30°，从 C 点向塔底走 100 米到达 D 点，测得塔顶的仰角为 45°，则塔 AB 的高为( )A．50 米 B．100 米 C．50( ＋1)米 D．50( －1)米3 3图 24－4－133． ［2017·邵阳］如图 24－4－14 所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达测得点 A， R 间的距离是 40 km，点 A 的仰角是 30°.n s后，火箭到达 B 点，此时测得仰角是 45°，则火箭在这 n s 中上升的高度为________ km.图 24－4－144． ［教材例 3 变式］如图 24－4－15，某校数学兴趣小组为测量校园里旗杆 AB 的高度，在操场的平地上选择一点 C，测得旗杆顶端 A 的仰角为 30°，再向旗杆的方向前进 16 米，到达点 D 处( C， D， B 三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端 A 的仰角为 45°，求旗杆 AB 的高度．(结果保留根号)图 24－4－15知识点 2 俯角与解直角三角形的应用5．在高为 100 m 的楼顶测得地面上某目标的俯角为 α ，要求楼底到该目标的水平距离，2可根据题意画出如下图形，因为∠ BAC＝ α ， BC＝________m，所以利用锐角三角函数的定义可得AB＝________÷________＝________m.图 24－4－166．如图 24－4－17，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道( B， C 在同一水平面上)，为了测量 B， C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 C 地出发，垂直上升 100 m到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30°，则 B， C 两地之间的距离为( )A．100 m B．50 m3 2C．50 m D. m3100 33图 24－4－177． ［2016·阜新］如图 24－4－18，在高出海平面 120 m 的悬崖顶 A 处，观测海面上的一艘小船 B，并测得它的俯角为 30°，那么船与观测者之间的水平距离为________m．(结果用根号表示)图 24－4－188． ［2017·临沂］如图 24－4－19，两座建筑物的水平距离 BC＝30 m，从 A 点测得 D 点的俯角 α 为 30°，测得 C 点的俯角 β 为 60°，求这两座建筑物的高度．图 24－4－199． ［2016·巴彦淖尔］如图 24－4－20，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升机和一艘正在南海巡航的渔政3船前往救援，当飞机到达海面 3000 m 的高空 C 处时，测得 A 处渔政船的俯角为 45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为 30°，此时渔政船和渔船的距离 AB 是( )A．3000 m B．3000( ＋1)m3 3C．3000( －1)m D．1500 m 3 3图 24－4－2010． ［2017·黄冈］在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌 ABCD(如图 24－4－21 所示)，已知标语牌的高 AB＝5 m，在地面上的点 E 处测得标语牌上点 A 的仰角为 30°，在地面上的点 F 处测得标语牌上点 A 的仰角为 75°，且点 E， F， B， C 在同一直线上，求点 E 与点 F 之间的距离．(计算结果精确到 0.1 m，参考数据：≈1.41， ≈1.73)2 3图 24－4－2111． ［2017·随州］风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图①)，图②是从图①引出的平面图(示意图)．假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55°，沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处，在山顶 B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端 D(点 D， C， H 在同一直线上)的仰角是 45°.已知叶片的长度为 35 米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高 BG 为 10 米，BG⊥ HG， CH⊥ AH，求塔杆 CH 的高．(参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6)图 24－4－22412．如图 24－4－23(示意图)，某体育场看台的坡面 AB 与地面的夹角是 37°，看台最高点B 到地面的垂直距离 BC 为 2.4 米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆 DE，在 B 点用测角仪测得旗杆的最高点 E 的仰角为 33°，已知测角仪 BF 的高度为 1.2 米，看台最低点 A 与旗杆底端 D 之间的距离为 15 米(点 C， A， D 在同一条直线上)．(1)求看台最低点 A 到最高点 B 的坡面距离 AB；(2)一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩 G， H 之间的距离为 1.2 米，下端挂钩 H 与地面的距离为 1 米，要求用 30 秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度(精确到 0.01 米/秒)．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)图 24－4－235教师详答1．C [解析] 在 Rt△ ABO 中，∵∠ AOB＝90°，∠ ABO＝ α ， BO＝30 米，∴ AO＝ BO·tanα ＝30tan α (米)．故选 C.2．C [解析] 在 Rt△ ABD 中，∵∠ ADB＝45°，∴ BD＝ AB.在 Rt△ ABC 中，∵∠ ACB＝30°，∴tan∠ ACB＝ ＝tan30°＝ ，ABBC 33∴ BC＝ AB.3设 AB＝ x 米，∵ CD＝100 米，∴ BC＝( x＋100)米，∴ x＋100＝ x，3解得 x＝50( ＋1)．3即塔 AB 的高为 50( ＋1)米．3故选 C.3．(20 －20)34．解：由题意可得 CD＝16 米．∵ AB＝ CB·tan30°， AB＝ BD·tan45°，∴ CB·tan30°＝ BD·tan45°，∴( CD＋ BD)× ＝ BD×1，33即(16＋ BD)× ＝ BD，33解得 BD＝(8 ＋8)米，3∴ AB＝ BD·tan45°＝(8 ＋8)米．3答：旗杆 AB 的高度是(8 ＋8)米．35．100 BC tan α 100tanα6．A [解析] 因为 tan30°＝ ，ACBC所以 BC＝ ＝100 (m)．10033 37．120 38．解：延长 CD 交 AM 于点 E，可得 DE⊥ AM.在 Rt△ AED 中， AE＝ BC＝30 m， α ＝30°，∴ ED＝ AEtan30°＝10 m.3∵ β ＝60°，∴∠ BAC＝90°－60°＝30°.在 Rt△ ABC 中，∠ BAC＝30°， BC＝30 m，∴ AB＝ ＝30 m，BCtan30° 3∴ CD＝ EC－ ED＝ AB－ ED＝30 －10 ＝20 (m)．3 3 3答：建筑物 AB 的高度为 30 m，建筑物 CD 的高度为 20 m.3 369． C [解析] 由题意可知 CE∥ BD，∴∠ CBA＝30°，∠ CAD＝45°，且 CD＝3000 m，∴ AD＝ CD＝3000 m.在 Rt△ BCD 中， BD＝ ＝ ＝3000 (m)，CDtan∠ CBA 300033 3∴ AB＝ BD－ AD＝3000 －3000＝3000( －1)m.3 3故选 C.10．[解析] 如图，作 FH⊥ AE 于点 H.由题意可知∠ HAF＝∠ HFA＝45°，推得 AH＝ HF.设 AH＝ HF＝ x m，则 EF＝2 x m， EH＝ x m．在 Rt△ AEB 中，由∠ E＝30°， AB＝5 m，推得3AE＝2 AB＝10 m，可得 x＋ x＝10，解方程即可．3解：如图，作 FH⊥ AE 于点 H.∵∠ HAF＝∠ AFB－∠ E＝75°－30°＝45°，∴∠ HFA＝90°－45°＝45°，即∠ HAF＝∠ HFA＝45°，∴ AH＝ HF.设 AH＝ HF＝ x m，则 EF＝2 x m， EH＝ x m.3在 Rt△ AEB 中，∵∠ E＝30°， AB＝5 m，∴ AE＝2 AB＝10 m，∴ x＋ x＝10，3解得 x＝5 －5，3∴ EF＝2 x＝10 －10≈7.3(m)．3答：点 E 与点 F 之间的距离约为 7.3 m.11．[解析] 作 BE⊥ DH 于点 E，知 GH＝ BE， BG＝ EH＝10，设 AH＝ x，则BE＝ GH＝43＋ x，由 CH＝ AH·tan∠ CAH＝tan55°· x，知 CE＝ CH－ EH＝tan55°· x－10，根据 BE＝ DE，可得关于 x 的方程，解之即可．解：如图，作 BE⊥ DH 于点 E，则 GH＝ BE， BG＝ EH＝10.设 AH＝ x，则 BE＝ GH＝ GA＋ AH＝43＋ x.在 Rt△ ACH 中， CH＝ AH·tan∠ CAH＝tan55°· x，∴ CE＝ CH－ EH＝tan55°· x－10.∵∠ DBE＝45°，∴ BE＝ DE＝ CE＋ DC，即 43＋ x＝tan55°· x－10＋35，解得 x≈45，∴ CH＝tan55°· x≈1.4×45＝63(米)．7答：塔杆 CH 的高约为 63 米．12．[解析] (1)根据正弦的定义计算即可；(2)作 FP⊥ ED 于点 P，根据正切的定义求出 AC，根据正切的概念求出 EP，计算即可．解：(1)在 Rt△ ABC 中， AB＝ ≈4.00 米．BCsin∠ BAC(2)作 FP⊥ ED 于点 P，AC＝ ≈3.20 米，BCtan∠ BAC则 CD≈3.2＋15＝18.20(米)，∴ FP＝ CD≈18.20 米，∴ EP＝ FP·tan∠ EFP≈11.83 米．∵ DP＝ BF＋ BC＝3.60 米，∴ ED＝ EP＋ DP≈15.43 米，EG＝ ED－ GH－ HD≈13.23 米，则红旗升起的平均速度为 13.23÷30≈0.44(米/秒)．答：红旗升起的平均速度约为 0.44 米/秒．