2018年秋九年级数学上册 第23章 解直角三角形同步练习（打包10套）（新版）沪科版.zip

1第 23 章 解直角三角形23．1.1 第 1 课时 正切知识点 1 正切1．如图 23－1－1，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan C 等于( )A. B. C. D. 35 45 43 34图 23－1－12．如图 23－1－2，在△ ABC 中，∠ B＝90°， BC＝2 AB，则 tanC 等于( )A．2 B. C. D. 12 55 52图 23－1－23．在 Rt△ ABC 中，若各边长都扩大为原来的 4 倍，则锐角 A 的正切值( )A．扩大为原来的 4 倍 B．不变C．缩小为原来的 D．以上都不对144．如图 23－1－3，已知在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， AC＝4，tan A＝ ，则 BC 的长是( )12A．2 B．8 C．2 D．4 5 5图 23－1－35． ［2016·白银、张掖］如图 23－1－4，点 A(3， t)在第一象限，射线 OA 与 x 轴所夹的锐角为 α ，tan α ＝ ，则 t 的值是________．32图 23－1－46.在△ ABC 中， a， b， c 分别是∠ A，∠ B，∠ C 的对边，若 a＝12， b＝16， c＝20，则tanA＝________.7.如图 23－1－5，已知 A， B， C 三点均在格点上，则 tan A 的值为________．2图 23－1－58． ［教材练习第 2 题变式］如图 23－1－6，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，已知AB＝15， tan A＝ ，求 AC，BC 和 tan B 的值．34图 23－1－6知识点 2 坡角与坡度(坡比)9．如图 23－1－7，梯形护坡石坝的斜坡 AB 长 8 m，坡高 BC 为 4 m，水平距离 AC＝4 m，则斜坡 AB 的坡度是( )3A．30° B．1∶ C．1∶2 D．1∶333图 23－1－710.为测量如图 23－1－8 所示的上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据，则该坡道倾斜角 α 的正切值是( )A. B. C. D. 15 18 140 26263图 23－1－811．如图 23－1－9，将两根木棒 AB(长 10 m)， CD(长 6 m)分别斜靠在墙上，其中BE＝6 m， DE＝2 m，你能判断哪根木棒更陡吗？请说明理由．图 23－1－912．在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，CD＝2，BD＝8，则 tanA 的值是( )A．2 B．4 C. D. 12 1413．在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，则 tanC 等于( )A. B. C. D. 43 34 65 5614．如图 23－1－10 所示，CD 是一个平面镜，光线从 A 点射出经 CD 上的 E 点反射后照射到 B 点，设入射角为 α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为 C，D.若AC＝3，BD＝6，CD＝12，则 tanα 的值为( )A. B. C. D. 43 34 45 35图 23－1－10415． ［2016·芜湖二模］如图 23－1－11，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，若 EF＝2，BC＝5，CD＝3，则 tan C 等于( )A. B. C. D. 34 43 35 45图 23－1－1116．如图 23－1－12 所示，在 4×8 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上，则 tan∠BAC 的值为( )A . B．1 C. D. 12 2 22图 23－1－1217．如图 23－1－13，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝ ∠BAC，则12tan∠BPC＝________．图 23－1－1318．在平面直角坐标系中，已知点 A(2，1)和点 B(3，0)，则tan∠AOB＝________， tan∠ABO＝________．19．如图 23－1－14，在正方形 ABCD 外作等腰直角三角形 CDE，DE＝CE，连接 BE，则tan∠EBC＝________．图 23－1－1420．如图 23－1－15，l 1，l 2，l 3，l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为 h，四边形 ABCD 为正方形，则 tanα＝________．图 23－1－15521．如图 23－1－16，6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为 60°，点 A，B，C 都在格点上，则 tan∠ABC 的值是________．图 23－1－1622．如图 23－1－17，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，BD 平分∠ABC 交 AC于点 D，则 tan∠DBC＝________．图 23－1－1761． D [解析] tanC＝ ＝ .故选 D.ABBC 342． B3． B [解析] 设在原 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边与邻边分别为 a，b，则各边长都扩大为原来的 4 倍后，∠A 的对边与邻边分别为 4a，4b，此时 tanA＝ ＝ .4a4b ab4． A [解析] ∵ tanA＝ ＝ ，AC＝4，12 BCAC∴BC＝2.5. [解析] 过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B.92∵点 A(3，t)在第一象限，∴AB＝t，OB＝3.又∵ tanα＝ ＝ ＝ ，∴t＝ .ABOB t3 32 926. [解析] 已知三角形的三边，根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是以∠C 为直34角的直角三角形，故 tanA＝ ＝ ＝ .ab 1216 347. [解析] 如图，连接 BC.设网格中各小正方形的长为 1，则12BC＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，AB＝ ＝5.22＋ 12 5 22＋ 42 5 32＋ 42∵BC 2＋AC 2＝AB 2，∴∠BCA＝90°.∴ tanA＝ ＝ ＝ .BCAC 52 5 12故答案为 .128．解：∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， tanA＝ ＝ .∴可设 BC＝3k，则 AC＝4k.由勾股BCAC 34定理，得(3k) 2＋(4k) 2＝15 2，解得 k＝3(负值已舍去)．∴AC＝12，BC＝9， tanB＝ ＝ ＝ .ACBC 129 439． B [解析] 坡度又叫坡比，指铅直高度与水平距离的比，故斜坡 AB 的坡度为＝ .44 3 1310． A11．[解析] 描述木棒的陡缓，即木棒的倾斜程度，通常用正切比较，正切值越大，木7棒越陡．本题先借助勾股定理求出 AE，CE 的长，从而求出 tanB， tanD 的值，然后比较．解：木棒 CD 更陡．理由：由题可知 AE＝ ＝8( m)，CE＝ ＝4 (m)，102－ 62 62－ 22 2∴ tanB＝ ＝ ＝ ， tanD＝ ＝ ＝2 .AEBE 86 43 CEDE 4 22 2∵2 ＞ ，∴ tanD＞ tanB，即木棒 CD 更陡．24312． B[解析] 依题意，得∠A＝∠BCD.因为 tan∠BCD＝ ＝4，所以 tanA＝4.故选 B.8213． A[解析] 作出 BC 边上的高 AD，交 BC 于点 D，则 CD＝3，根据勾股定理，得AD＝4，∴ tanC＝ .4314． A[解析] 由镜面反射，可知∠A＝∠B＝α，∠AEC＝∠BED，∴△AEC∽△BED.又∵AC＝3，BD＝6，CD＝12，∴ ＝ ＝ ，CEDE ACBD 12∴CE＝4，∴ tanα＝ .故选 A.4315． B[解析] 如图，连接 BD.∵E，F 分别是 AB，AD 的中点，∴BD＝2EF＝4.∵BC＝5，CD＝3，∴△BCD 是直角三角形，∴ tanC＝ ＝ .故选 B.BDCD 4316． A[解析] 找到∠BAC 所在的直角三角形，进而求得∠BAC 的对边与邻边之比即可．如图，连接 BD，由勾股定理及逆定理可得△ABD 为直角三角形，两条直角边长分别为 ，2 ，2 2∴ tan∠BAC＝ ＝ .故选 A.22 2 1217． 4318． 112[解析] 如图，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，利用点 A 的坐标为(2，1)，点 B 的坐标为8(3，0)，可得 OC＝2，AC＝1，BC＝1，然后分别在两个直角三角形中求解．19． 13[解析] 如图，过点 E 作 EF⊥BC，交 BC 的延长线于点 F.设 EF＝a，则可得CF＝a，DC＝2a，BF＝3a，∴ tan∠EBC＝ ＝ ＝ .EFBF a3a 1320． 12[解析] 如图，过点 D 作 l1的垂线交 l1于点 E，交 l4于点 F.可证明△AED≌△DFC，∴AE＝DF，∴ tanα＝ ＝ ＝ .DEAE DEDF 1221． 32[解析] 要求 tan∠ABC 的值，必须有直角三角形．如图，延长 BC 到下一格点 D 处，连接 AD，△BDA 是直角三角形．因为∠O＝60°，小网格是菱形，所以∠ADE＝30°，∠BDE＝60°.在 Rt△ADC 中， ＝ ，所以 tan∠ABC＝ ＝ ＝ .ADDC 3 ADBD AD2DC 3222. [解析] 如图，过点 A 作 AE∥BD 交 CB 的延长线于点 E.239在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理，得 AB＝13.∵BD∥AE，∴∠E＝∠CBD，∠EAB＝∠DBA，∵BD 平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠E＝∠EAB，∴BE＝AB.∵BD∥AE，∴ ＝ ，CDAD CBBE∴ ＝ ，即 ＝ ，CDAD CBAB CD12－ CD 513解得 CD＝ .103在 Rt△CBD 中， tan∠DBC＝ ＝ ＝ . CDBC 1035 23123.1 锐角的三角函数[23.1 1. 第 1 课时 正切]1、选择题1．在正方形网格中，△ ABC 的位置如图 30－K－1 所示，则 tanB 的值为( )A. B. C. D. 43 34 35 45图 30－K－12．一个斜坡的坡角为 30°，则这个斜坡的坡度为( )A．1∶2 B. ∶23C．1∶ D. ∶13 33．如图 30－K－2，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， AB＝10，tan A＝ ，则 AC 的长是( )34A．3 B．4 C．6 D．8图 30－K－24． ［2017·安庆期末］在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°.若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则tanB 的值是( )A. B．3 C. D．2 13 24 25． ［2016·枞阳期末］如图 30－K－3，点 A(t，3)在第一象限， OA 与 x 轴所夹的锐角为 α ，tan α ＝ ，则 t 的值是( )32A．1 B．1.5 C．2 D．3图 30－K－36． ［2017·江淮十校联考二模］某人沿斜坡坡度 i＝1∶2 的斜坡向上前进了 6 米，则他上升的高度为 ( )2A．3 米 B 米6 55C．2 米 D. 米312 557．如图 30－K－4，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A， B， C 都在格点上，则∠ ABC 的正切值是 ( )A．2 B. C. D.2 55 55 12图 30－K－48． ［2016·合肥市 168 中四模］如图 30－K－5，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，∠ A＝30°， E 为 AB 上一点，且 AE∶ EB＝4∶1， EF⊥ AC 于点 F，连接 FB，则 tan∠ CFB 的值等于( )A. B. C. D．5 33 2 33 5 33 3图 30－K－5二、填空题9． ［2017·马鞍山期末］如图 30－K－6，一个小球由地面沿着坡面向上前进了 13 m，此时小球距离地面的高度为 5 m，则坡面的坡度为________．图 30－K－610． ［2017·合肥市巢湖期末］如图 30－K－7，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°， CD 是 AB上的高， AD＝2， CD＝3，则 tan∠ ABC 的值是________．图 30－K－711． ［2017·黄山模拟］如图 30－K－8， P(12， a)在反比例函数 y＝ 的图象上，60xPH⊥ x 轴于点 H，则 tan∠ OPH 的值为________．3图 30－K－812.已知等腰三角形的腰长为 6 cm，底边长为 10 cm，则底角的正切值为________．13．如图 30－K－9，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处．如果AB∶ AD＝2∶3，那么 tan∠ EFC 的值是________．图 30－K－9三、解答题14．有一山坡的坡面长 260 m，坡顶的高度为 100 m，求山坡的坡度．15．如图 30－K－10，在△ ABC 中， AB＝ AC，∠ A＝135°，求 tanB.图 30－K－1016．已知：如图 30－K－11，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点A， B， C， D， E 都在小正方形的顶点上，求 tan∠ ADC 的值．4图 30－K－1117．如图 30－K－12，两根木棍 AB＝10 m， CD＝6 m，将它们分别斜立在墙 AE 上，它们到墙角的距离 BE＝6 m， DE＝2 m，你能判断哪根木棍更陡吗？请说明理由．图 30－K－1218．已知直线 l1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻的两条平行直线间的距离均为 h，矩形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图 30－ K－13 所示，AB＝6，BC＝8，求 tanα 的值.图 30－ K－13519 新定义题如图 30－ K－14，定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 α 的邻边与对边的比叫做角 α 的余切，记作 cotα，即 cotα＝ ＝ ，根据上述角的余切定义，解下角 α 的 邻 边角 α 的 对 边 ACBC列问题：(1)cot30°＝________；(2)如图 30－ K－14，已知 tanA＝ ，其中∠A 为锐角，试求 cotA 的值．34图 30－ K－1461．[解析] B 设小正方形的边长为 1，由图形可知在 Rt△ACB 中，BC＝4，AC＝3， tanB＝ ＝ .ACBC 342．[解析] C 设斜坡的铅直高度 h＝k.∵坡角为 30°，∴斜坡的坡面长为 2k，∴斜坡的水平长度 l＝ ＝ k，（ 2k） 2－ k2 3∴这个斜坡的坡度为 ＝ ＝1∶ .故选 C.hl k3k 33． D 4. D5．[解析] C 过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B.∵点 A(t，3)在第一象限，∴AB＝3，OB＝t.又∵ tanα＝ ＝ ，∴t＝2.ABOB 326．[解析] B 根据题意画出示意图如图，由坡度的定义可知 ＝ ，BCAC 12设 BC＝x.∴ tanA＝ ＝ ，∴AC＝2x，∴x 2＋(2x) 2＝36，解得 x＝ (负值已舍去)．BCAC 12 6 557．[解析] D 如图，连接 AC，由勾股定理，得AC＝ ，AB＝2 ，BC＝ ，2 2 10∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC＝90°，∴ tanB＝ ＝ .故选 D.ACAB 128．[解析] C ∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴EF∥BC，∴ ＝ .又∵ ＝4，∴ ＝5，∴CFAC BEAB AEEB ABEB＝ .设 AB＝2x，则 BC＝x，AC＝ x，∴在 Rt△CFB 中，CF＝ x，BC＝x，则 tan∠CFB＝CFAC 15 3 35＝ .BCCF 5 339．5∶1210．[答案] 237[解析] 因为∠ACB＝90°，CD 是 AB 上的高，所以∠ADC＝∠ACB.又因为∠A＝∠A，所以△ACD∽△ABC，所以∠ABC＝∠ACD，则 tan∠ABC＝ tan∠ACD＝ ＝ .ADCD 2311．[答案] 125[解析] 根据题意，得 a＝ ＝5，则 OH＝12，PH＝5，所以 tan∠OPH＝ ＝ .6012 OHPH 12512.11513．[全品导学号：80402209][答案] 52[解析] 设 AB＝2k.∵AB∶AD＝2∶3，∴AD＝AF＝3k.在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得BF＝ ＝ ＝ k.∵∠D＝∠EFA＝90°， ∠B＝∠C＝90°，AF2－ AB2 9k2－ 4k2 5∴∠EFC＋∠AFB＝∠BAF＋∠AFB＝90°，∴∠EFC＝∠BAF，∴ tan∠EFC＝ tan∠BAF＝BF∶AB＝ ∶2.514．解：∵山坡的水平长度 l＝ ＝240( m)，2602－ 1002∴山坡的坡度＝ ＝5∶12.10024015．解：如图，过点 C 作 CE⊥AB 交 BA 的延长线于点 E，设 AB＝AC＝a.∵∠BAC＝135°，∴∠CAE＝45°，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴CE＝AE，∴2AE 2＝a 2，∴AE＝CE＝ a，BE＝AB＋AE＝ a＋a，22 22∴ tanB＝ ＝ ＝ －1.CEBE22a22a＋ a 216．解：根据题意可得，AC＝BC＝ ，CD＝CE＝ ，AD＝BE＝5，5 10∴△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∴ tan∠ADC＝ tan∠BEC＝ .1317．[解析] 描述木棍的陡缓，即木棍的倾斜程度，通常用正切比较，正切值越大，木棍越陡．本题借助勾股定理求出 AE，CE 的长，从而求出 tanB， tanD，然后比较．解：木棍 CD 更陡．理由：由题可知 AE＝ ＝8( m)，CE＝ ＝4 (m)．102－ 62 62－ 22 2∴ tanB＝ ＝ ＝ ， tanD＝ ＝ ＝2 .AEBE 86 43 CEDE 4 22 2∵2 ＞ ，∴ tanD＞ tanB，即木棍 CD 更陡．24318．[解析] 以角 α 为锐角构造直角三角形，再构造相似三角形，由相似比例关系推理8出角 α 的对边与邻边之间的比例关系．解：如图，过点 C 作 CE⊥l 4于点 E，延长 EC 交 l1于点 F，则 CF⊥l 1.∵∠α＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠DCF＝180°－90°＝90°，∴∠DCF＝∠α.又∵∠BEC＝∠CFD＝90°，∴△BEC∽△CFD，∴ ＝ ，即 ＝ ，BECF BCCD BEh 86∴BE＝ h.43在 Rt△BCE 中，∵∠BEC＝90°，∴ tanα＝ ＝ ＝ .CEBE 2h43h 3219 解：(1)设 BC＝1, 若 α＝30°，则 AB＝2，由勾股定理，得 AC＝ ，3∴ cot30°＝ ＝ .故答案为 .ACBC 3 3(2)∵ tanA＝ ＝ ，BCAC 34∴可设 BC＝3x，AC＝4x，∴ cotA＝ ＝ .ACBC 43123.1.1 第 2课时 正弦与余弦一、选择题1． ［2017·湖州］已知在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°， AB＝5， BC＝3，则 cosB的值是( )A. B. C. D. 35 45 34 432． ［2017·日照］在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°， AB＝13， AC＝5，则 sinA的值为( )A. B. C. D. 513 1213 512 1253．把锐角三角形 ABC三边的长度都缩小为原来的 得到△ A′ B′ C′，则下列关于∠ A15的对应角∠ A′的说法正确的是( )A．各个三角函数值不变B．各三角函数值中仅有正切值不变C．正弦值缩小为原来的15D．余弦值缩小 5为原来的154． ［2017·天水］在正方形网格中△ ABC的位置如图 31－K－1 所示，则 cosB的值为( )A. B. C. D. 12 22 32 33图 31－K－15．如图 31－K－2，直线 y＝ x＋3 与 x轴、 y轴分别交于点 A， B，则 cos∠ BAO的值是34( )A. B. C. D. 45 35 43 54图 31－K－26． ［2016·乐山］如图 31－K－3，在 Rt△ ABC中，∠ BAC＝90°， AD⊥ BC于点 D，则下列结论中不正确的是( )2A．sin B＝ B．sin B＝ADAB ACBCC．sin B＝ D．sin B＝ADAC CDAC图 31－K－37． ［2017·合肥庐阳区四模］如图 31－K－4，点 A在反比例函数 y＝－ (x＜0)的图象6x上，点 B在反比例函数 y＝ (x＞0)的图象上，且∠ AOB＝90°.则 cos∠ OBA的值等于( )1xA. B. C. D. 55 2 55 66 77图 31－K－4二、填空题8．如图 31－K－5， AD⊥ CD， AB＝13， BC＝12， CD＝3， AD＝4，则 sinB＝________．图 31－K－59．如图 31－K－6，已知 CD是 Rt△ ABC斜边上的高，且 AB＝10， BC＝8，则cos∠ ACD＝________．图 31－K－610． ［2017·马鞍山当涂县月考］如图 31－K－7，网格中的每个小正方形的边长都是1， ABC每个顶点都在网格点上，则 sinA＝________．图 31－K－7三、解答题311．如图 31－K－8 所示，∠ ACB＝90°， DE⊥ AB，垂足为 E， AB＝10， BC＝6，求∠ BDE的三个三角函数值．图 31－K－812．如图 31－K－9，在△ ABC中， AB＝ AC＝5， BC＝6，求 cos∠ ABC，sin∠ BAC. 图 31－K－913．如图 31－K－10，在△ ABC中， AD⊥ BC于点 D，如果 AD＝9， CD＝3， E为 AC的中点，求∠ ADE和∠ EDC的正弦值．图 31－K－10414． ［2017·池州月考］如图 31－K－11，在△ ABC中， AB＝ AC＝15， BC＝24，点 P， D分别在边 AB， BC上，且 AD2＝ AP·AB，求∠ ADP的正弦值．图 31－K－1115．如图 31－K－12，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝90°， D是边 AB的中点， BE⊥ CD，垂足为 E.已知 AC＝15，cos A＝ .35(1)求线段 CD的长；(2)求 sin∠ DBE的值．图 31－K－1216规律探索阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：5sin30°＝ ，cos30°＝ ，则 sin230°＋cos 230°＝__________；①12 32sin45°＝ ，cos45°＝ ，则 sin245°＋cos 245°＝________；②22 22sin60°＝ ，cos60°＝ ，则 sin260°＋cos 260°＝________；③32 12…观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A＋cos 2A＝________．④(1)如图 31－K－13，在锐角三角形 ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠ A证明你的猜想；(2)已知：∠ A为锐角(cos A0)且 sinA＝ ，求 cosA.35图 31－K－1361．[解析] A 在 Rt△ABC 中， cosB＝ ＝ .BCAB 352．[解析] B 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 BC＝ ＝12，∴ sinA＝ ＝ .AB2－ AC2BCAB 12133．[解析] A 缩小后的三角形与△ABC 相似，则∠A 的度数不变，即∠A′＝∠A，故∠A′的各个三角函数值不变．4．[解析] B 过点 A作 AD⊥BC 交 BC的延长线于点 D，通过网格容易看出△ABD 为等腰直角三角形，AD＝BD＝4，所以 AB＝4 ，故 cosB＝ ＝ .2BDAB 225．[解析] A 直线 AB与坐标轴的交点坐标为 A(－4，0)，B(0，3)，则OA＝4，OB＝3，所以 AB＝5，所以 cos∠BAO＝ .456．[解析] C 由题意可知∠B＝∠CAD，∴ sinB＝ ＝ ＝ .ADAB ACBC CDAC7．[解析] D 如图，过点 A作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B作 BD⊥x 轴于点 D，易证△OBD∽△AOC，∴ ＝ .根据反比例函数的几何意义可得 S△OBD ＝ ，S △AOC ＝3，∴S△ AOCS△ OBD (AOBO)2 12＝ ＝ ＝6，∴ ＝ (负值已舍去)．设 BO＝x，则S△ AOCS△ OBD (AOBO)2 30.5 AOBO 6AO＝ x，∴AB＝ x，∴ cos∠OBA＝ ＝ ＝ .6 7OBAB x7x 778.5139．[答案] 45[解析] ∵CD 是 Rt△ABC 斜边上的高，∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴ cos∠ACD＝ cosB＝ ＝ ＝ ，BCAB 810 45故答案为 .4510．[答案] 357[解析] S △ABC ＝4×4－ ×2×4－ ×2×2－ ×2×4＝6.12 12 12如图，过点 C作 CD⊥AB，垂足为 D.根据勾股定理，得 AB＝AC＝ ＝2 .∵S △ABC ＝ AB·CD＝6，∴CD＝ ＝ .22＋ 42 512 122 5 6 55根据正弦的定义可得 sinA＝ ＝ ＝ .CDAC 6 552 5 3511．解：∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C＝90°，∴∠BDE＝∠A.∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∴ sin∠BDE＝ sinA＝ ， cos∠BDE＝ cosA＝ ， tan∠BDE＝ tanA＝ .35 45 3412．解：过点 A作 AD⊥BC 于点 D，则 BD＝ BC＝3，∴ cos∠ABC＝ ＝ .12 BDAB 35过点 C作 CE⊥AB 于点 E.∵ cos∠ABC＝ ＝ ，BEBC 35∴BE＝ BC＝ ，35 185∴AE＝AB－BE＝ ，75∴CE＝ ＝ ，AC2－ AE2245∴ sin∠BAC＝ ＝ .CEAC 242513．解：在 Rt△ACD 中，AC＝ ＝ ＝3 .AD2＋ CD2 92＋ 32 10∵DE 是 Rt△ACD 斜边 AC上的中线，∴AE＝DE＝CE，∴∠ADE＝∠CAD，∠EDC＝∠C.根据三角函数的定义，得sin∠ADE＝ sin∠CAD＝ ＝ ＝ ，CDAC 3310 1010sin∠EDC＝ sinC＝ ＝ ＝ .ADAC 9310 3101014．解：∵AD 2＝AP·AB，∴ ＝ .ADAB APAD又∵∠DAP＝∠BAD，∴△PAD∽△DAB，∴∠ADP＝∠B.如图，过点 A作 AE⊥BC 于点 E.∵△ABC 是等腰三角形，8∴BE＝CE＝12，∴AE＝ ＝ ＝9，AB2－ BE2 152－ 122∴ sin∠ADP＝ sinB＝ ＝ ＝ .AEAB 915 3515．解：(1)∵在 Rt△ABC 中，AC＝15， cosA＝ ＝ ＝ ，∴AB＝25.ACAB 15AB 35∵D 是边 AB的中点，∴CD＝ .252(2)在 Rt△ABC 中，BC＝ ＝ ＝20.AB2－ AC2 252－ 152又∵AD＝BD＝CD＝ ，252设 DE＝x，EB＝y，则在 Rt△BDE 中，x 2＋y 2＝ ，①(252)2 在 Rt△BCE 中， ＋y 2＝20 2，②(x＋252)2 联立①②，解得 x＝ .72∴ sin∠DBE＝ ＝ ＝ .DEBD72252 72516解：①②③④都填 1(1)证明：如图所示，过点 B作 BH⊥AC 于点 H，BH 2＋AH 2＝AB 2，则 sinA＝ ， cosA＝ ，BHAB AHAB所以 sin2A＋ cos2A＝ ＋BH2AB2 AH2AB2＝BH2＋ AH2AB2＝1.(2)∵ sin2A＋ cos2A＝1， sinA＝ ，35∴ cos2A＝1－ ＝ .(35)2 1625∵ cosA0，∴ cosA＝ . 459123.1.1 第 2 课时 正弦与余弦 知识点 1 正弦1．如图 23－1－18 所示，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， AC＝4， AB＝5，则 sinB 的值是( )A . B. C. D. 23 35 34 45图 23－1－182．如图 23－1－19，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°.若将三角形的各边长度都扩大为原来的 2 倍，则∠ A 的正弦值( )A．扩大为原来的 2 倍 B．缩小为原来的12C．扩大为原来的 4 倍 D．不变图 23－1－193． ［2017·日照］在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， AB＝13， AC＝5，则 sinA 的值为( )A. B. C. D. 513 1213 512 1254．如图 23－1－20， P 是锐角 α 的边 OA 上一点，且点 P 的坐标为(3，4)，则 sinα 等于( )A. B. C. D. 35 45 34 43图 23－1－205． ［2016·兰州］在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，sin A＝ ， BC＝6，则 AB 的长为( )35A．4 B．6 C．8 D．106．如图 23－1－21，已知在△ ABC 中，∠ B＝90°，tan A＝ ， BC＝2.132图 23－1－21(1)求 AB 的长；(2)求 sinA.知识点 2 余弦7． ［2017·湖州］如图 23－1－22，已知在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， AB＝5， BC＝3，则 cos B 的值是( )A. B. C. D. 35 45 34 43图 23－1－228． ［2016·广东］如图 23－1－23，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(4，3)，那么cosα 的值是( )A. B. C. D. 34 43 35 45图 23－1－239．在△ ABC 中，∠ B＝90°， BC＝2 AB，则 cos A 等于( )A. B. C. D. 52 12 2 55 5510．在△ ABC 中，若三边 BC， CA， AB 满足 BC∶ CA∶ AB＝5∶12∶13，则 cosB 等于( )A. B. C. D. 512 125 513 121311．如图 23－1－24，每个小正方形的边长为 1，点 A， B， C 是小正方形的顶点，则∠ ABC 的余弦值为( )A. B. C. D.12 22 32 333图 23－1－24知识点 3 锐角三角函数的取值范围12．若 α 是锐角，sin α ＝3 m－2，则 m 的取值范围是( )A. ＜ m＜1 B．2＜ m＜323C．0＜ m＜1 D． m＞2313．如果 0°＜∠ A＜90°，并且 cosA 是方程( x＋ )(x－0.35)＝0 的一个根，那么12cosA 的值是________．14．如图 23－1－25， A 为∠ α 边上的任意一点，作 AC⊥ BC 于点 C， CD⊥ AB 于点 D，下列用线段比表示 cos α 的值，错误的是( )A. B. C. D. BDBC BCAB ADAC CDAC图 23－1－2515． ［2016·芜湖南陵一模］如图 23－1－26，在 Rt△ ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线，已知 CD＝2， AC＝3，则 sinB 的值是( )A. B. C. D. 23 32 43 34图 23－1－2616．如图 23－1－27 所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A， B， O 都在格点上，则∠ AOB 的正弦值是( )A. B. C. D. 3 1010 12 13 1010图 23－1－27417．如图 23－1－28， AD， BE 分别是△ ABC 中 BC， AC 边上的高， BE＝4， BC＝6，则sin∠ DAC＝________．图 23－1－2818．如图 23－1－29，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， D 是 AB 的中点，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E.若 BC＝6，sin A＝ ，则 DE＝________．35图 23－1－2919． ［教材例 3 变式］如图 23－1－30，正比例函数与反比例函数 y＝ 的图象交于点12xP(3， m)，若 OP 与 x 轴正方向的夹角为 α .求 α 的各个三角函数值．图 23－1－3020．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，若 sinA＝ ，求 cosA，sin B 和 tanA 的值．121321．如图 23－1－31， AD， CE 分别是△ ABC 的边 BC， AB 上的高．(1)证明：△ BDE∽△ BAC；(2)若 AC＝10，cos B＝ ，试求 DE 的长．355图 23－1－3122．已知矩形 ABCD 的面积为 48，其对角线 AC 的长为 10，求 sin∠ ACB.6教师详解详析1． D 2. D 3. B [解析] 由勾股定理求出 BC＝12，然后根据定义求出 sinA＝ .12134． B [解析] 要求 sinα 的大小，需知道直角三角形中锐角 α 所对的直角边和斜边的大小．由点的坐标的定义，得锐角 α 所对直角边的长是 4，邻边长是 3，再由勾股定理求出斜边长，即 OP＝ ＝5 ，所以 sinα＝ .故选 B.32＋ 42455． D6．解：(1)∵ tanA＝ ＝ ，∴AB＝3BC＝6.BCAB 13(2)在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝2，∴AC＝ ＝2 ，62＋ 22 10∴ sinA＝ ＝ ＝ .BCAC 22 10 10107． A [解析] 在 Rt△ABC 中， cosB＝ ＝ ＝ .邻 边斜 边 BCAB 358． D9． D [解析] 在△ABC 中，∵∠B＝90°，BC＝2AB，∴AC＝ ＝AB2＋ BC2＝ AB，∴ cosA＝ ＝ ＝ .故选 D.AB2＋ （ 2AB） 2 5ABAC AB5AB 5510． C [解析] 根据△ABC 的三边比为 BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，可知△ABC 是直角三角形，再由三角函数的概念，得 cosB＝ ＝ .故选 C.BCAB 51311． B [解析] 连接 AC，根据勾股定理可得，AC＝AB＝ ，BC＝2 .10 5∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC 的余弦值为 .2212． A [解析] 由于锐角的正弦值在 0～1 之间(不包括 0，1)，所以 0＜3m－2＜1，解得 ＜m＜1 .2313．0.35 [解析] 方程的根是 x＝－ 和 x＝0.35.因为 0＜ cosA＜1，所以 cosA＝0.35.1214． C[解析] 因为 AC⊥BC，CD⊥AB，所以∠B＋∠BAC＝∠ACD＋∠BAC＝90°，所以∠B＝∠ACD＝α.即 cosα＝ ＝ ＝ .故选 C.BDBC BCAB CDAC15． D[解析] 在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，已知 CD＝2，则斜边 AB＝2CD＝4.所以sinB＝ ＝ .ACAB 3416． D17. [解析] 在直角三角形中，由勾股定理，得53CE＝ ＝2 .由题意知，∠DAC＝∠CBE，∴ sin∠DAC＝ sin∠CBE＝ ＝ .62－ 42 52 56 53718． 15419．解：过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 A.把 x＝3 代入反比例函数 y＝ 的表达式中，12x求出 y＝4.∴OA＝3，PA＝4.根据勾股定理，得 OP＝5，∴ sinα＝ ， cosα＝ ， tanα＝ .45 35 4320．解：设∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.∵ sinA＝ ＝ ，ac 1213∴设 a＝12k，c＝13k，则 b＝ ＝5k，c2－ a2∴ cosA＝ ＝ ＝ ， sinB＝ ＝ ， tanA＝ ＝ ＝ .bc 5k13k 513 bc 513 ab 12k5k 12521．解：(1)由 cosB＝ ＝ ，得 ＝ .BEBC BDBA BEBC BDBA又∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC.(2)由△BDE∽△BAC，得 ＝ .BEBC DEAC又∵AC＝10， cosB＝ ＝ ，BEBC 35∴ ＝ ，即 ＝ ，∴DE＝6.DEAC 35 DE10 3522．解：如图．设 AB＝a，BC＝b，由题意知 {a2＋ b2＝ 102，ab＝ 48， )∴ {（ a＋ b） 2＝ 196，（ a－ b） 2＝ 4， )解得 或{a＝ 6，b＝ 8) {a＝ 8，b＝ 6.)当 时， sin∠ACB＝ ；{a＝ 6，b＝ 8) 35当 时， sin∠ACB＝ .{a＝ 8，b＝ 6) 45综上可得， sin∠ACB 的值为 或 .35 458