九年级数学下册 全一册测试题（打包30套）（新版）浙教版.zip

1第 1 章 解直角三角形1．1 锐角三角函数第 1 课时 锐角三角函数的概念知识点 1 锐角三角函数的定义1．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， AC＝5， BC＝12， AB＝13，则sinA＝________，cos A＝________， tan A＝________．2．在△ ABC 中， a， b， c 分别是∠ A，∠ B，∠ C 的对边，如果 a2＋ b2＝ c2，那么下列结论正确的是( )A．sin A＝ B．cos B＝ac bcC．tan A＝ D．tan B＝ba bc图 1－1－13．如图 1－1－1，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC＝90°， AD⊥ BC 于点 D，则下列结论不正确的是( )A．sin B＝ B．sin B＝ADAB ACBCC．sin B＝ D．tan B＝ADAC ADBD知识点 2 已知三角形的边长或边长之间的数量关系，求三角函数值2图 1－1－24．2017·湖州如图 1－1－2，已知在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， AB＝5， BC＝3，则cosB 的值是( )A. B.35 45C. D.34 435．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，若 AC＝2 BC，则 sinA 的值是( )A. B．2 C. D.12 55 526．在△ ABC 中，若三边 BC， CA， AB 满足 BC∶ CA∶ AB＝5∶12∶13，则 cosB 的值是( )A. B. C. D.512 125 513 12137．如图 1－1－3，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， BC∶ AC＝1∶2，则sinA＝________，cos A＝________，tan B＝________．图 1－1－3图 1－1－48．如图 1－1－4，将∠ AOB 放在边长为 1 的小正方形组成的网格中，则tan∠ AOB＝________．9．分别求出图 1－1－5①②所示的直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值、正切3值．图 1－1－5知识点 3 已知三角函数值，求三角形的边长图 1－1－610．如图 1－1－6，在△ ABC 中，∠ C＝90°， AB＝15，sin B＝ ，则 AC 的长为( )35A．3 B．9C．4 D．1211．如图 1－1－7，已知在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， AC＝4，tan A＝ ，则 AB 的长是( )12A．2 B．8 C．2 D．4 5 5图 1－1－7图 1－1－8412．如图 1－1－8，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，sin A＝ ， AB＝15，则△ ABC 的周长为45________．13．如图 1－1－9， A 为∠ α 边上的任意一点，作 AC⊥ BC 于点 C， CD⊥ AB 于点 D，下列用线段比表示 cosα 的值错误的是( )A. B. C. D.BDBC BCAB ADAC CDAC图 1－1－9图 1－1－1014．如图 1－1－10，以点 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A，B 两点，P 是 上一AB︵ 点(不与点 A，B 重合)，连结 PO，设∠POB＝α，则点 P 的坐标是( )A．( sinα， sinα) B．( cosα， cosα)C．( cosα， sinα) D．( sinα， cosα)15．△ABC 在网格中的位置如图 1－1－11 所示(每个小正方形的边长均为 1)，AD⊥BC于点 D，则下列选项中错误的是( )图 1－1－11A． sinα＝ cosα B． tanC＝2C． sinβ＝ cosβ D． tanα＝1516．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， sinA＝ ，AC＝6 cm，则 BC 的长为( )45A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm17．课本例 3 变式如图 1－1－12 所示，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝20，S △ABC＝ 1003，求 cosB 及 tanB 的值．3图 1－1－1218．如图 1－1－13，直线 y＝ x＋ 与 x 轴交于点 A，与直线 y＝2x 交于点 B.12 32(1)求点 B 的坐标；(2)求 sin∠BAO 的值．图 1－1－13619．如图 1－1－14，定义：在 Rt△ABC 中，锐角 α 的邻边与对边的比叫做∠α 的余切，记作 cotα，即 cotα＝ ＝ .根据上述角的余切定义，解答下列问题：∠ α 的 邻 边∠ α 的 对 边 ACBC(1)cot30°＝________；(2)已知 tanA＝ ，其中∠A 为锐角，试求 cotA 的值．34图 1－1－141第 1章 解直角三角形1．1 锐角三角函数第 2课时 特殊锐角的三角函数值知识点 1 特殊角的三角函数值的计算1．sin30°的值为( )A. B. C. D.12 32 22 332．sin30°，cos45°，cos30°的大小关系是( )A．cos30°cos45°sin30°B．cos45°cos30°sin30°C．sin30°cos30°cos45°D．sin30°cos45°cos30°3．如图 1－1－15①是一张直角三角形的纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形，如图 1－1－15②，那么在 Rt△ ABC中，sin B的值是( )图 1－1－15A. 12B. 32C．1 D.3224．计算：(1)sin60°＋cos60°＝________；(2) ＝________， ＝________．sin45°cos45° sin60°cos60°5．计算：(1) cos30°＝________；3(2) ＋2sin60°＝________．126．求下列各式的值：(1)sin260°＋cos60°－tan45°；(2) sin60°－ cos45°＋ ；3 2 38(3)cos245°＋tan60°cos30°＋cos 260°＋sin 260°.知识点 2 由特殊角的三角函数值求角度7．已知∠ A为锐角，sin A＝ ，则∠ A等于( )22A．30° B．45° C．60° D．75°8．在直角三角形中，2cos α ＝ ，则锐角 α 的度数是( )3A．60° B．45°3C．30° D．以上都不对9．在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°， BC＝ ， AC＝ ，则∠ A的度数为( )5 15A．90° B．60° C．45° D．30°10．在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°.(1)若 sinA＝ ，则∠ A＝________°，tan A＝________；32(2)若 tanA＝ ，则∠ A＝________°，cos A＝________．3311．在△ ABC中，∠ A，∠ B都是锐角，若 sinA＝ ，cos B＝ ，则∠ C＝________°.32 1212．已知 α ， β 均为锐角，且满足|sin α － |＋(tan β －1) 2＝0，则12α ＋ β ＝________°.知识点 3 特殊角的三角函数值在实际生活中的应用图 1－1－1613．图 1－1－16 是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB， CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ ABC＝150°， BC的长是 8 m，则乘电梯从点 B到点 C上升的高度 h是( )A. m B．4 m C．4 m D．8 m83 3 3图 1－1－1714．如图 1－1－17，一艘船向正北方向航行，在 A处看到灯塔 S在船的北偏东 30°的方向上，航行 12海里到达 B点，在 B处看到灯塔 S在船的北偏东 60°的方向上，此船继续沿正北方向航行的过程中，距灯塔 S的最短距离是________海里(不作近似计算)．415．2017·滨州如图 1－1－18，在△ ABC中， AC⊥ BC，∠ ABC＝30°， D是 CB延长线上的一点，且 BD＝ BA，则 tan∠ DAC的值为( )图 1－1－18A．2＋ 3B．2 3C．3＋ 3D．3 316．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ ，则 sin ＝________．3A217．一般地，当 α，β 为任意角时， sin(α＋β)与 sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝ sinα cosβ＋ cosα sinβ；sin(α－β)＝ sinα cosβ－ cosα sinβ.例如： sin90°＝ sin(60°＋30°)＝ sin60°cos30°＋ cos60°sin30°＝ × ＋ ×32 32 12＝1.12类似地，可以求得 sin15°的值是________．18．如图 1－1－19，丁丁想在矩形 AECF中剪出梯形 ABCD(如图中的阴影部分)，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出 BE，CD 的长(精确到个位，≈1.7)．35图 1－1－1919．课本作业题第 6题变式阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题：sin30°＝ ， cos30°＝ ，则 sin230°＋ cos230°＝________；①12 32sin45°＝ ， cos45°＝ ，则 sin245°＋ cos245°＝________；②22 22sin60°＝ ， cos60°＝ ，则 sin260°＋ cos260°＝________；③32 12…观察上述等式，猜想：对任意锐角∠A，都有 sin2A＋ cos2A＝________．④(1)如图 1－1－20，在 Rt△ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想；(2)已知∠A 为锐角( cosA0)且 sinA＝ ，求 cosA的值．35图 1－1－2020．创新学习数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含645°角的三角板的斜边与含 30°角的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图 1－1－21，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点 B，C，E 在同一条直线上，若 BC＝2，求 AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．图 1－1－211第 1 章 解直角三角形1.2 锐角三角函数的计算知识点 1 利用计算器求锐角的三角函数值1．用计算器求值(精确到 0.0001)：sin63°52′41″≈________；cos15°22′30″≈________；tan19°15′≈________. 2．比较大小：8cos31°________ .(填“＞” “＝”或“＜”)353．在 Rt△ ABC 中，若∠ C＝90°， AB＝8 cm，∠ B＝37°，则 BC≈________(精确到0.01 cm)．知识点 2 由三角函数值求锐角的度数4．用计算器求 tanA＝0.5234 中的锐角 A(精确到 1°)时，按键顺序正确的是( )A.tan0·5234＝B.0·5234＝ SHIFTtan－ 1C.SHIFTtan－ 10·5234＝D.tan－ 1SHIFT0·5234＝5．用计算器求锐角 α (精确到 1″)：(1)sinα ＝0.2476， α ≈________；(2)cosα ＝0.4174， α ≈________；(3)tanα ＝0.1890， α ≈________．6．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°.(1)若 AC＝5， BC＝12，则 AB＝________，tan A＝________，∠ A≈________(精确到1″)；(2)若 AC＝3， AB＝5，则 sinA＝________，tan B＝________，∠ A≈________(精确到1″)，∠ B≈________(精确到 1″)．2图 1－2－17．如图 1－2－1，有一滑梯 AB，其水平宽度 AC 为 5.3 米，铅直高度 BC 为 2.8 米，则∠ A 的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到 0.1°)．知识点 3 锐角三角函数在实际生活中的应用图 1－2－28．如图 1－2－2， A， B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A 同侧的河岸边选定一点 C，测出 AC＝ a 米，∠ A＝90°，∠ C＝40°，则 AB 等于( )A． asin40°米 B． acos40°米 C． atan40°米 D. 米atan40°图 1－2－39．2017·宁波如图 1－2－3，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34°的斜坡，从 A 滑行至B，已知 AB＝500 米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)10．如图 1－2－4，在一次数学课外实践活动中，小文在点 C 处测得树的顶端 A 的仰角为 37°， BC＝20 m，求树高 AB.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图 1－2－4311．如图 1－2－5，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点 A 到调节器点 O 处的距离为 80 cm， AO 与地面垂直，现调整靠背，把 OA 绕点 O 旋转 35°到 OA′处，求调整后点 A′比调整前点 A 的高度降低了多少厘米．(结果取整数)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图 1－2－5412．如图 1－2－6，在 Rt△ ABO 中，斜边 AB＝1.若 OC∥ BA，∠ AOC＝36°，则( )图 1－2－6A．点 B 到 AO 的距离为 sin54°B．点 B 到 AO 的距离为 tan36°C．点 A 到 OC 的距离为 sin36°sin54°D．点 A 到 OC 的距离为 cos36°sin54°13．若∠ A 是锐角，且 cosA＝tan30°，则( )A．0°∠ A30° B．30°∠ A45°C．45°∠ A60° D．60°∠ A90°14．如图 1－2－7，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 53°方向，距离灯塔 100 海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处．(1)在图中画出点 B，并求出 B 处与灯塔 P 的距离；(结果取整数)(2)用方向和距离描述灯塔 P 相对于 B 处的位置．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33， ≈1.41)2图 1－2－715．为倡导“低碳生活” ，我们常选择以自行车作为代步工具，如图 1－2－8①所示是5一辆自行车的实物图．车架档 AC 与 CD 的长分别为 45 cm，60 cm，且它们互相垂直，座杆CE 的长为 20 cm，点 A， C， E 在同一条直线上，且∠ CAB＝75°，其示意图如图 1－2－8②.(1)求车架档 AD 的长；(2)求车座点 E 到车架档 AB 的距离．(结果精确到 1 cm.参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732)图 1－2－816．(1)通过计算(可用计算器)比较大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：若 0°α 45°，则 sin2α ________2sinα cosα .(2)已知：如图 1－2－9，在△ ABC 中， AB＝ AC＝1，∠ BAC＝2 α .请根据图中的提示，利用面积法检验你的结论．6图 1－2－91第 1 章 解直角三角形1.3 解直角三角形第 1 课时 解直角三角形知识点 已知一边一角或两边解直角三角形1．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，sin A＝ ， BC＝6，则 AB 的长为( )35A．4 B．6 C．8 D．102．如图 1－3－1，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°， AB＝8，则 BC 的长是( )A. B．4 C．8 D．4 4 33 3 3图 1－3－ 1图 1－3－23．图 1－3－2 是教学用的直角三角板，边 AC＝30 cm，∠ C＝90°，tan∠ BAC＝ ，33则边 BC 的长为( )A．30 cm B．20 cm3 3C．10 cm D．5 cm3 34．2017·慈溪模拟在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，sin A＝ ， AB＝5，则边 AC 的长是( )34A．3 B．4 C. D.154 5 745．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， a， b， c 分别为∠ A，∠ B，∠ C 所对的边，c＝10，∠ A＝45°，则 a＝________， b＝________，∠ B＝________°.6. 在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， a， b， c 分别为∠ A，∠ B，∠ C 的对边， a＝6， b＝2 ，则 ∠ B 的度数为________ ．32图 1－3－37．如图 1－3－3，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝37°， BC＝32，则AC＝________．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图 1－3－48．如图 1－3－4，在△ ABC 中，已知∠ C＝90°， BC＝4 cm，tan B＝ ，则△ ABC 的面32积是________cm 2.9．如图 1－3－5，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， a， b， c 分别为∠ A，∠ B，∠ C 的对边，由下列条件解直角三角形．图 1－3－5(1)∠ A＝60°， b＝4；(2)a＝ ， c＝ ；13 23(3)c＝2 ，∠ B＝30°；2(4)a＝8，sin B＝ .22310．如图 1－3－6，在△ ABC 中，∠ ABC＝90°，∠ A＝30°， D 是边 AB 上一点，∠ BDC＝45°， AD＝4，求 BC 的长．(结果保留根号)图 1－3－611．等腰三角形的腰长为 2 ，底边长为 6，则底角等于( )3A．30° B．45° C．60° D．120°12．如图 1－3－7，已知在 Rt△ ABC 中，∠ ABC＝90°，点 D 沿 BC 边从点 B 向点 C 运动(点 D 与点 B， C 不重合)，作 BE⊥ AD 于点 E， CF⊥ AD 于点 F，则 BE＋ CF 的值( )A．不变 B．逐渐增大C．逐渐减小 D．先增大后减小4图 1－3－7图 1－3－813．如图 1－3－8，在矩形 ABCD 中， E 是 CD 的中点， F 是 BC 上一点，且 FC＝2 BF，连结 AE， EF.若 AB＝2， AD＝3，则 cos∠ AEF 的值是________．图 1－3－914．如图 1－3－9，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知折痕 AE＝5 cm，且 tan∠ EFC＝ ，那么矩形 ABCD 的周长为________cm.53415．如图 1－3－10，∠ ACB＝90°， AB＝13， AC＝12，∠ BCM＝∠ BAC，求 sin∠ BAC 的值和点 B 到直线 MC 的距离．图 1－3－10516．已知：等腰三角形 ABC 中， AB＝ AC.(1)若 cosB＝ ，且△ ABC 的周长为 24，求 AB 的长；13(2)若 tanA＝ ，且 BC＝2 ，求 AB 的长．52 317．为了解决停车难问题，交通部门准备沿宽 12 米、长 60 米的道路边规划停车位，按每辆车长 5 米、宽 2.4 米设计停车后，道路仍有不少于 7 米的路宽，以保证两车可以双向通过，如图 1－3－11 设计方案一：车位长边与路边夹角为 45°；方案二：车位长边与路边夹角为 30°.(1)请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？(2)计算符合通行要求的方案中最多可以停多少辆车．图 1－3－1161第 1 章 解直角三角形1.3 解直角三角形第 2 课时 坡度与圆弧问题知识点 1 坡度问题图 1－3－121．2017·温州如图 1－3－12，一辆小车沿倾斜角为 α 的斜坡向上行驶 13 米，已知cosα ＝ ，则小车上升的高度是( )1213A．5 米 B．6 米C．6.5 米 D．12 米2．如图 1－3－13 是某水库大坝横断面示意图．其中 CD， AB 分别表示水库上、下底面的水平线，∠ ABC＝120°， BC 的长是 50 m，则水库大坝的高度 h 是( )A．25 m B．25 m3C．25 m D. m250 33图 1－3－13图 1－3－143．如图 1－3－14 是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 米，斜面坡度为1∶2，则斜坡 AB 的长为( )A．4 米 B．6 米3 5C．12 米 D．24 米524．如图 1－3－15，一山坡的坡度为 i＝1∶ ，小辰从山脚 A 出发，沿山坡向上走了3200 米到达点 B，则小辰上升了________米．图 1－3－15图 1－3－165．如图 1－3－16，小明爬一土坡，他从 A 处到 B 处所走的直线距离 AB＝4 米，此时，他距离地面的高度 h＝2 米，则这个土坡的坡角∠ A＝________°.6．2017·萧山区期中如图 1－3－17，水库大坝截面的迎水坡坡比( DE 与 AE 的长度之比)为 1∶0.6，背水坡坡比为 1∶2，大坝高 DE＝30 米，坝顶宽 CD＝10 米，求大坝截面的周长和面积．图 1－3－17知识点 2 解直角三角形在圆(弧)中的应用图 1－3－187．如图 1－3－18，秋千链子的长度 OA＝3 m，静止时秋千踏板处于 A 位置，此时踏板距离地面 0.3 m，秋千向两边摆动．当踏板处于 A′位置时，摆角最大，即∠ AOA′＝50°，则在 A′位置，踏板与地面的距离约为________．(sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，3结果精确到 0.01 m)8．如图 1－3－19 是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD是水位线， CD∥ AB，且 CD＝24 m， OE⊥ CD 于点 E，已测得 sin∠ DOE＝ .1213(1)求半径 OD；(2)根据需要，水面要以每小时 0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？图 1－3－194图 1－3－209．如图 1－3－20，长 4 m 的楼梯 AB 的倾斜角∠ ABD 为 60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ ACD 为 45°，则调整后的楼梯 AC 的长为( )A．2 m B．2 m3 6C．(2 －2)m D．(2 －2)m3 610．2017·淮安 A， B 两地被大山阻隔，若要从 A 地到 B 地，只能沿着如图 1－3－21所示的公路先从 A 地到 C 地，再由 C 地到 B 地．现计划开凿隧道 A， B 两地直线贯通，经测量得∠ CAB＝30°，∠ CBA＝45°， AC＝20 km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从 A 地到B 地的路程将缩短多少．(结果精确到 0.1 km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732)2 3图 1－3－2111．如图 1－3－22，一楼房 AB 后有一假山，其坡度 i＝1∶ ，山坡坡面上 E 点处有3一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房的水平距离 BC＝25 米，与亭子的距离 CE＝20 米．小丽从楼房顶(点 A)测得点 E 的俯角为 45°，求楼房 AB 的高．(注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)5图 1－3－2212．如图 1－3－23 是一副创意卡通圆规的平面示意图， OA 是支撑臂， OB 是旋转臂，使用时，以点 A 为支撑点，铅笔芯端点 B 可以绕点 A 旋转作出圆．已知 OA＝ OB＝10 cm.(1)当∠ AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到 0.01 cm)(2)保持∠ AOB＝18°不变，在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到 0.01 cm)(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)图 1－3－2311第 1 章 解直角三角形第 3 课时 方位角与仰角、俯角问题知识点 1 方向角问题图 1－3－241．如图 1－3－24，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55°方向，距离灯塔为 2 海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离 AB 是( )A．2 海里 B．2sin55°海里C．2cos55°海里 D．2tan55°海里2．2017·泸州如图 1－3－25，海中一渔船在 A 处且与小岛 C 相距 70 n mile，若该渔船由西向东航行 30 n mile 到达 B 处，此时测得小岛 C 位于 B 的北偏东 30°方向上．求该渔船此时与小岛 C 之间的距离．图 1－3－253．如图 1－3－26，一艘海监船以 30 海里/时的速度向正北方向航行，海监船在 A 处时，测得岛 C 在该船的北偏东 30°方向上，航行半小时后，该船到达点 B 处，发现此时岛C 与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点 B 处的位置；(2)求岛 C 与 B 处之间的距离(结果保留根号)．2图 1－3－26知识点 2 仰角与俯角问题4．如图 1－3－27，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道( B， C 在同一水平面上)，为了测量 B， C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 C 地出发，垂直上升 100 m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30°，则 B， C 两地之间的距离为( )A．100 m B．50 m3 2C．50 m D. m3100 33图 1－3－27图 1－3－285．如图 1－3－28，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋高楼顶部 B 的仰角为30°，看这栋高楼底部 C 的俯角为 60°，热气球 A 与高楼的水平距离为 120 m，这栋高楼BC 的高度为( )A．40 m B．80 m3 33C．120 m D．160 m3 36．天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图 1－3－29，从位于天封塔的观测点 C 测得两建筑物底部 A， B 的俯角分别为 45°和 60°，若此观测点离地面的高度 CD 为51 米， A， B 两点在 CD 的两侧，且点 A， D， B 在同一水平线上，求 A， B 之间的距离．(结果保留根号)图 1－3－297．2017·广安如图 1－3－30，线段 AB， CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥ AD， CD⊥ AD，垂足分别为 A， D.从 D 点测得 B 点的仰角 α 为 60°，从 C 点测得 B 点的仰角 β 为 30°，甲建筑物的高 AB＝30 米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离 AD；(2)求乙建筑物的高 CD.图 1－3－308．2017·重庆如图 1－3－31，小王在长江边某瞭望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40°，若 DE＝3 米， CE＝2 米， CE 平行于江面 AB，迎水坡 BC 的坡度 i＝1∶0.75，坡长 BC＝10 米，则此时 AB 的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)( )A．5.1 米 B．6.3 米 C．7.1 米 D．9.2 米4图 1－3－31图 1－3－329．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪声．如图 1－3－32，点 A 是某市一高考考点，在位于 A 考点南偏西 15°方向距离 125 米的 C 点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于 C 点北偏东 75°方向的 F 点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为 100 米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？________(填“需要”或“不需要”)．( 取 1.732)310．课本作业题第 2 题变式 2017·绍兴如图 1－3－33，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 测得教学楼顶部 D 的仰角为 18°，教学楼底部 B 的俯角为 20°，量得实验楼与教学楼之间的距离 AB＝30 m.(1)求∠ BCD 的度数；(2)求教学楼的高 BD(结果精确到 0.1 m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)．图 1－3－33511．创新学习某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳” ，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离．测量方案如下：如图 1－3－34，首先，小军站在“聚贤亭”的 A 处，用测倾器测得“乡思柳”顶端 M 的仰角为 23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度 AB 为 1.7 米；然后，小军在 A 处蹲下，用测倾器测得“乡思柳”顶端 M 的仰角为 24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度 AC 为 1 米．请你利用以上所测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离 AN 的长(结果精确到 1 米)．(参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452)图 1－3－341第 1 章 解直角三角形专题训练 解直角三角形应用中的基本模型► 模型一 平行线型图图 11－ZT－11．如图 11－ZT－1，有一张简易的活动小餐桌，现测得 OA＝ OB＝30 cm， OC＝ OD＝50 cm，桌面离地面的高度为 40 cm，则两条桌腿的张角∠ COD 的度数为________．► 模型二 “一线三等角”型图2．将一盒足量的牛奶按如图 11－ZT－2①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点 P 时停止倒入．图②是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器内牛奶的高度．(结果精确到 0.1 cm，参考数据： ≈1.73， ≈1.41)3 2图 11－ZT－2► 模型三 “梯形及其高”的基本图形3．某地的一座人行天桥示意图如图 11－ZT－3 所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1∶ .3(1)求新坡面的坡角 α ；(2)原天桥底部正前方 8 米处( PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由．2图 11－ZT－3► 模型四 “锐角三角形及其高”的基本图形4．2017·成都科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行．如图 11－ZT－4，小明一家自驾到古镇 C 游玩，到达 A 地后，导航显示车辆应沿北偏西 60°方向行驶 4 千米至 B 地，再沿北偏东 45°方向行驶一段距离到达古镇 C，小明发现古镇 C 恰好在 A 地的正北方向，求 B， C 两地之间的距离．图 11－ZT－435．如图 11－ZT－5，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为 A，某人在岸边的 B处测得 A 在 B 的北偏东 30°的方向上，然后沿岸边直行 4 千米到达 C 处，再次测得 A 在 C的北偏西 45°的方向上(其中 A， B， C 在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部 A 到岸边 BC 的最短距离．图 11－ZT－5► 模型五 “钝角三角形及钝角一边上的高”的基本图形6．某国发生 8.1 级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图11－ZT－6，某探测器在地面 A， B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 25°和 60°，且 AB＝4 米，求该生命迹象所在位置 C 的深度．(结果精确到 1 米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， ≈1.7)3图 11－ZT－67．2017·内江如图 11－ZT－7，某人为了测量山顶上的塔 ED 的高度，他在山下的点4A 处测得塔尖点 D 的仰角为 45°，再沿 AC 方向前进 60 m 到达山脚点 B，测得塔尖点 D 的仰角为 60°，塔底点 E 的仰角为 30°，求塔 ED 的高度．(结果保留根号)图 11－ZT－78．2017·白银美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的 A， B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭 D 进行了测量．如图 11－ZT－8，测得∠ DAC＝45°，∠ DBC＝65°.若AB＝132 米，求观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为多少米．(结果精确到 1 米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)图 11－ZT－859．如图 11－ZT－9，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在 A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离 12 海里的 B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时 10 海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时 14 海里的速度沿北偏东某一方向出发，在 C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．图 11－ZT－96详解详析1．120° [解析] 作 AF⊥ CD 于点 F，则 AF＝40 cm， AD＝ OA＋ OD＝80 cm.于是可得sin∠ ADC＝ ＝ ，∴∠ ADC＝30°.AFAD 12∵ OC＝ OD，∴∠ COD＝120°.2．解：过点 P 作 EF⊥ AD 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F.设 BF＝ x.∵∠ BAD＝∠ AEF＝∠ ABC＝90°，∴四边形 AEFB 是矩形，∴ AE＝ BF＝ x.在 Rt△ BPF 中，∠ BFP＝90°，∠ BPF＝30°，tan∠ BPF＝ ，∴ PF＝ ＝ x.BFPF xtan30° 3在 Rt△ AEP 中，∵∠ AEP＝90°，∠ APE＝90°－∠ BPF＝60°，PE＝8－ x，tan∠ APE＝ ，3AEPE∴ ＝ ，化简得 x＝8 －3 x，x8－ 3x 3 3解得 x＝2 ≈3.46(cm)，3∴ BF≈3.46(cm)，∴容器内牛奶的高度＝ CF＝9－ BF≈5.5(cm)．即容器内牛奶的高度约为 5.5 cm.3．解：(1)∵新坡面的坡度为 1∶ ，3∴tan α ＝tan∠ CAB＝ ＝ ，13 33∴ α ＝30°.7答：新坡面的坡角 α 为 30°.(2)文化墙 PM 不需要拆除．理由：过点 C 作 CD⊥ AB 于点 D，则 CD＝6 米．∵坡面 BC 的坡度为 1∶1，新坡面的坡度为 1∶ ，3∴ BD＝ CD＝6 米， AD＝6 米，3∴ AB＝ AD－ BD＝(6 －6)米＜8 米，3∴文化墙 PM 不需要拆除．4．解：如图，由题意知： AB＝4 千米，∠ CAB＝60°，∠ CBD＝45°， AC∥ BD，过点 B 作 BE⊥ AC 于点 E，∴∠ CEB＝90°，∠ EBA＝90°－∠ CAB＝30°，∠ CBE＝90°－∠ CBD＝45°，∴ BE＝ AB·cos30°＝4× ＝2 (千米)，32 3∴ BC＝ BE＝ ×2 ＝2 (千米)，2 2 3 6即 B， C 两地之间的距离为 2 千米．65．解：过点 A 作 AD⊥ BC 于点 D，则 AD 的长度即为 A 到岸边 BC 的最短距离．在 Rt△ ACD 中，∠ ACD＝45°，设 AD＝ x 千米，则 CD＝ AD＝ x 千米．在 Rt△ ABD 中，∠ ABD＝60°，8由 tan∠ ABD＝ ，即 tan60°＝ ，ADBD xBD∴ BD＝ ＝ x(千米)．xtan60° 33又 BC＝4 千米，即 BD＋ CD＝4 千米，∴ x＋ x＝4，解得 x＝6－2 .33 3即小岛上标志性建筑物的底部 A 到岸边 BC 的最短距离为(6－2 )千米．36．解：过点 C 作 CD⊥ AB 交 AB 的延长线于点 D，设 CD＝ x 米．在 Rt△ ADC 中，∠ DAC＝25°，所以 tan25°＝ ≈0.5，所以 AD≈ ＝2 x 米．CDAD CD0.5在 Rt△ BDC 中，∠ DBC＝60°，由 tan60°＝ ＝ ，解得 x≈3.x2x－ 4 3即该生命迹象所在位置 C 的深度约为 3 米．7．解：由题意知∠ DBC＝60°，∠ EBC＝30°，∴∠ DBE＝∠ DBC－∠ EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠ BCD＝90°，∴∠ BDC＝90°－∠ DBC＝90°－60°＝30°，∴∠ DBE＝∠ BDE，∴ BE＝ ED.设 EC＝ x m，则 ED＝ BE＝2 EC＝2 x m， DC＝ EC＋ ED＝ x＋2 x＝3 x(m)，BC＝ ＝ x m.BE2－ EC2 3由题意可知∠ DAC＝45°，∠ DCA＝90°，∴△ ACD 为等腰直角三角形，∴ AC＝ DC，9∴ x＋60＝3 x3解得 x＝30＋10 .3则 ED＝2 x＝(60＋20 )m.3答：塔 ED 的高度约为(60＋20 )m.38．解：如图，过点 D 作 DE⊥ AC，垂足为 E，设 BE＝ x 米．在 Rt△ DEB 中，tan∠ DBE＝ ，DEBE∵∠ DBC＝65°，∴ DE＝ xtan65°米．在 Rt△ ADE 中，∵∠ DAC＝45°，∴ AE＝ DE，∴132＋ x＝ xtan65°，解得 x≈115.8，∴ DE≈248 米．即观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 248 米．9．解：设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为 x 小时．由题意得∠ ABC＝45°＋75°＝120°， AB＝12 海里， BC＝10 x 海里， AC＝14 x 海里．如图，过点 A 作 AD⊥ CB 交其延长线于点 D.在 Rt△ ABD 中， AB＝12 海里，∠ ABD＝60°，10∴ BD＝ AB·cos60°＝ AB＝6 海里， AD＝ AB·sin60°＝6 海里，∴ CD＝(10 x＋6)海12 3里．在 Rt△ ACD 中，由勾股定理得(14 x)2＝(10 x＋6) 2＋(6 )2，3解得 x1＝2， x2＝－ (不合题意，舍去)．34答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为 2 小时．