2018-2019学年度八年级数学上册 第13章 轴对称同步练习（打包5套）（新版）新人教版.zip

113.1 轴对称学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共 15 小题）1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）A． B． C． D．2．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）A．1 条 B．3 条 C．5 条 D．无数条3．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．4．如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称，P 为 MN 上任一点（P 不与 AA′共线），下列结论中错误的是（ ）A．△AA′P 是等腰三角形B．MN 垂直平分 AA′，CC′C．△ABC 与△A′B′C′面积相等D．直线 AB、A′B′的交点不一定在 MN 上5．下列说法中错误的是（ ）A．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴B．关于某直线对称的两个图形全等C．面积相等的两个四边形对称2D．轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合6．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ）A． B． C． D．7．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是 60°，那么这个三角形是（ ）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．含 30°角的直角三角形8．如图，桌面上有 M、N 两球，若要将 M 球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中 N 球，则 4 个点中，可以瞄准的是（ ）A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D9．如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，且分别交 BC，AC 于点 D 和 E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD 为（ ）A．50° B．70° C．75° D．80°10．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD． 若 CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（ ）A．90° B．95° C．100° D．105°311．如图所示，△ABC 中，AC=5，AB=6，BC=9，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，则△ACD 的周长是（ ）A．11 B．14 C．15 D．2012．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（ ）A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：1213．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近 8 点的是（ ）A． B． C． D．14．如图，点 P 在∠MON 的内部，点 P 关于 OM，ON 的对称点分别为 A，B，连接 AB，交 OM于点 C，交 ON 于点 D，连接 PC，PD．若∠MON=50°，则∠CPD=（ ）A．70° B．80° C．90° D．100°15．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 A 关于 BC 边的对称点为 A′，点 B 关于 AC 边的对称点为 B′，点 C 关于 AB 边的对称点为 C′，则△ABC 与△A′B′C′的面积之比为（ ）4A． B． C． D．二．填空题（共 8 小题）16．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线 l 对称，则这个英语单词的汉语意思为 ．17．如图，一束光线从点 O 射出，照在经过 A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点 D，经 AB反射后，反射光线又照到竖立在 y 轴位置的镜面，经 y 轴再反射的光线恰好通过点 A，则点 D 的坐标为 ．18．如图，正方形 ABCD 的边长为 5cm，则图中阴影部分的面积为 cm 2．19．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D 两点落在 B′、D′点处，若得∠AOB′=70°，则∠B′OG 的度数为 ．520．某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 ．21．如图所示，在△ABC 中，∠BAC=106°，EF、MN 分别是 AB、AC 的垂直平分线，点 E、M在 BC 上，则∠EAN= ．22．如图，在△ABC 中，AB＜AC，BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC 于点E，BD=4，△ABE 的周长为 14，则△ABC 的周长为 ．23．如图，直线 l 是四边形 ABCD 的对称轴．若 AD∥BC，则下列结论：（1）AB∥CD；（2）AB=BC；（3）BD 平分∠ABC；（4）AO=CO．其中正确的有 （填序号）．三．解答题（共 4 小题）24．已知如图，在△ABC 中，∠B=45°，点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC 于点 D，交 AB 于点E，连接 CE．（1）求∠AEC 的度数；（2）请你判断 AE、BE、AC 三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．625．如图，在△ABC 中，边 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D、E．（1）若 BC=5，求△ADE 的周长．（2）若∠BAC=120°，求∠DAE 的度数．26．如图，点 P 是∠AOB 外的一点，点 Q 是点 P 关于 OA 的对称点，点 R 是点 P 关于 OB 的对称点，直线 QR 分别交∠AOB 两边 OA，OB 于点 M，N，连结 PM，PN，如果∠PMO=33°，∠PNO=70°，求∠QPN 的度数．727．如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，点 P 为边 BC 上的一点，BC=3BP，且∠PAB=15°点 C关于直线 PA 的对称点为 D，连接 BD，又△APC 的 PC 边上的高为 AH（1）求∠BPD 的大小；（2）判断直线 BD，AH 是否平行？并说明理由；（3）证明：∠BAP=∠CAH．8参考答案与试题解析一．选择题（共 15 小题）1．解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．2．解：五角星的对称轴共有 5 条，故选：C．3．解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．4．解：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称，P 为 MN 上任意一点，∴△AA′P 是等腰三角形，MN 垂直平分 AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；直线 AB，A′B′关于直线 MN 对称，因此交点一定在 MN 上．D 错误；故选：D．5．9解：A、B、D 都正确；C、面积相等的两个四边形不一定全等，故不一定轴对称，错误．故选：C．6．解：观察选项可得：只有 C 是轴对称图形．故选：C．7．解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是 60°的等腰三角形是等边三角形．故选：A．8．解：可以瞄准点 D 击球．故选：D．9．解：∵DE 是 AC 的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°，故选：B．1010．解：∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，根据题意得：MN 是 BC 的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B，∴∠B= ∠ADC=25°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选：D．11．解：∵MN 是 AB 的垂直平分线，∴DA=DB，∴△ACD 的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=14，故选：B．12．解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05．故选：A．13．解：实际时间为 8 点的时针关于过 12 时、6 时的直线的对称点是 4 点，那么 8 点的时钟在镜子中看来应该是 4 点的样子．故选：C．14．解：如图，连接 OA、OB、OP，设 PA 与 OM 交于点 E，PB 与 ON 交于点 F．11∵点 P 关于 OM，ON 的对称点分别为 A，B，∴OA=OP=OB，CA=CP，DP=DB，∠AOC=∠COP，∠POD=∠DOB，∴∠AOB=∠AOC+∠COP+∠POD+∠DOB=2∠COD=100°，∴∠OAB=∠OBA= （180°﹣∠AOB）=40°．设∠COP=α，∠DOP=β，则 α+β=50°．∵OA=OP，∠AOP=2α，∴∠OPA=∠OAP= （180°﹣2α）=90°﹣α，∵∠OAB=40°，∴∠CPA=∠CAP=∠OAP﹣∠OAB=50°﹣α．同理，∠DPB=50°﹣β．∵∠EPF=360°﹣∠EOF﹣∠OEP﹣∠OFP=360°﹣50°﹣90°﹣90°=130°，∴∠CPD=∠EPF﹣（∠CPA+∠DPB）=130°﹣（50°﹣α+50°﹣β）=30°+（α+β）=80°．故选：B．15．解：如图，连接 CC'并延长交 A'B'于 D，连接 CB'，CA'，∵点 A 关于 BC 边的对称点为 A′，点 B 关于 AC 边的对称点为 B′，点 C 关于 AB 边的对称点为 C′，∴AC=A'C，BC=B'C，∠ACB=∠A'CB'，AB 垂直平分 CC'，∴△ABC≌△A'B'C（SAS），∴S △ABC =S△A'B'C ，∠A=∠AA'B'，AB=A'B'，∴AB∥A'B'，∴CD⊥A'B'，12∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得 CD=CE，∴CD=CE=EC'，∴S △A'B'C = S△A'B'C '，∴S △ABC = S△A'B'C '，∴△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 ，故选：B．二．填空题（共 8 小题）16．解：如图，这个单词所指的物品是书．故答案为：书．17．解：如图所示，∵点 O 关于 AB 的对称点是 O′（1，1），点 A 关于 y 轴的对称点是 A′（﹣1，0）设 AB 的解析式为 y=kx+b，∵（1，0），（0，1）在直线上，∴ ，解得 k=﹣1，∴AB 的表达式是 y=1﹣x，13同理可得 O′A′的表达式是 y= + ，两个表达式联立，解得 x= ，y= ．故答案为：（ ， ）．18．解：由题意得：S 阴影 = ×5×5=12.5（cm 2）．故阴影部分的面积为 12.5cm2．故答案为：12.5．19．解：根据轴对称的性质得：∠B′OG=∠BOG又∠AOB′=70°，可得∠B′OG+∠BOG=110°∴∠B′OG= ×110°=55°．20．解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是 B6395．21．解：∵△ABC 中，∠BAC=106°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，∵EF、MN 分别是 AB、AC 的中垂线，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，14即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．故答案为 32°．22．解：∵BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，BD=4，∴BE=EC，BC=2BD=8；又∵△ABE 的周长为 14，∴AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=14；∴△ABC 的周长是：AB+AC+BC=14+8=22；故答案是：22．23．解：如图，∵直线 l 是四边形 ABCD 的对称轴，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3=∠4，∴AB∥CD，AB=BC，故（1）（2）正确；由轴对称的性质，AC⊥BD，∴BD 平分∠ABC，AO=CO（等腰三角形三线合一），故（3）（4）正确．综上所述，正确的是（1）（2）（3）（4）．故答案为：（1）（2）（3）（4）．15三．解答题（共 4 小题）24．解：（1）∵点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC，∴DE 是线段 BC 的垂直平分线，∴EB=EC，∴∠ECB=∠B=45°，∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°；（2）AE 2+EB2=AC2．∵∠AEC=90°，∴AE 2+EC2=AC2，∵EB=EC，∴AE 2+EB2=AC2．25．解：（1）∵边 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D、E，∴DA=DB，EA=EC，∴△ADE 的周长=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC=5；（2）∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=60°．26．解：∵点 Q 和点 P 关于 OA 的对称，点 R 和点 P 关于 OB 的对称∴直线 OA、OB 分别是 PQ、PR 的中垂线，∴MP=MQ，NP=NR，∴∠PMO=∠QMO，∠PNO=∠RNO，∵∠PMO=3 3°，∠PNO=70°16∴∠PMO=∠QMO=33°，∠PNO=∠RNO=70°∴∠PMQ=66°，∠PNR=140°∴∠MQP=57°，∴∠PQN=123°，∠PNQ=40°，∴∠QPN=17°．27．解：（1）∵∠PAB=15°，∠ABC=45°，∴∠APC=15°+45°=60°，∵点 C 关于直线 PA 的对称点为 D，∴PD=PC，AD=AC，∴△ADP≌△ACP，∴∠APC=∠APD=60°，∴∠BPD=180°﹣120°=60°；（2）直线 BD，AH 平行．理由：∵BC=3BP，∴BP= PC= PD，如图，取 PD 中点 E，连接 BE，则△BEP 为等边三角形，△BCDE 为等腰三角形，∴∠BEP=60°，∴∠BDE= ∠BEP=30°，∴∠DBP=90°，即 BD⊥BC．又∵△APC 的 PC 边上的高为 AH，∴AH⊥BC，17∴BD∥AH；（3）如图，过点 A 作 BD、DP 的垂线，垂足分别为 G、F．∵∠APC=∠APD，即点 A 在∠DPC 的平分线上，∴AH=AF．∵∠CBD=90°，∠ABC=45°，∴∠GBA=∠CBA=45°，即点 A 在∠GBC 的平分线上，∴AG=AE，∴AG=AF，∴点 A 在∠GDP 的平分线上．又∵∠BDP=30°，∴∠GDP=150°，∴∠ADP= ×150°=75°，∴∠C=∠ADP=75°，∴Rt△ACH 中，∠CAH=15°，∴∠BAP=∠CAH．113.2 画轴对称图形学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共 12 小题）1．点 A（2，﹣5）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（﹣5，2）2．若点 A（1+m，1﹣n）与点 B（﹣3，2）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是（ ）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．13．点 A（m+4，m）在平面直角坐标系的 x 轴上，则点 A 关于 y 轴对称点的坐标为（ ）A．（﹣4，0） B．（0，﹣4） C．（4，0） D．（0，4）4．已知点 P（3a﹣3，1﹣2a）关于 y 轴的对称点在第三象限，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，将点 A（﹣1，﹣2）向右平移 4 个单位长度得到点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标为（ ）A．（﹣5，2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）6．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格格点上，点 A 的坐标为（﹣1，4）．将△ABC 沿 y轴翻折到第一象限，则点 C 的对应点 C′的坐标是（ ）A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1）7．已知，如图在直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，BC⊥x 轴于点 C，点 A 关于直线 OB 的对称点 D 恰好在 BC 上，点 E 与点 O 关于直线 BC 对称，∠OBC=35°，则∠OED 的度数为（ ）2A．10° B．20° C．30° D．35°8．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第 4 枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）9．在平面直角坐标系中有点 P（3，2），点 P 和点 P′关于直线 y=x 对称，那么点 P′的坐标为（ ）A．（2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2）10．下面是四位同学作△ABC 关于直线 MN 的轴对称图形，其中正确的是（ ）A． B． C．D．11．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）3A． B． C． D．12．在平面直角坐标中，已知点 P（a，5）在第二象限，则点 P 关于直线 m（直线 m 上各点的横坐标都是 2）对称的点的坐标是（ ）A．（﹣a，5） B．（a，﹣5） C．（﹣a+2，5） D．（﹣a+4，5）二．填空题（共 6 小题）13．已知点 P（﹣2，1），则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是 ．14．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（4，﹣6），作点 A 关于 x 轴的对称点，得到点A′，再作点 A′关于 y 轴的对称点，得到点 A″，则点 A″的坐标是 ．15．已知点 A（﹣4，5）与点 B（a，b）关于 y 轴对称，则 a﹣b 的值是 ．16．如图，一束光线从点 O 射出，照在经过 A（2，0），B（0，2）的镜面上的点 D，经 AB反射后，反射光线又照到竖立在 y 轴位置的镜面，经 y 轴，再反射的光线恰好通过点 A，则点 D 的坐标为 ．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 关于 y 轴的对称图形是△A 1B1C1，△A 1B1C1关于直线 y=﹣1 的对称图形是△A 2B2C2，若△ABC 上的一点 P（x，y）与△A 2B2C2上的 P2是对称点，则点 P2的坐标是 ．18．点 P（2，﹣3）到 x 轴的距离为 个单位，它关于 y 轴对称点的坐标为 4．三．解答题（共 4 小题）19．图①、图②均是 8×8 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 OM、ON 的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以 OM、ON 为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．20．在 3×3 的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出 4 个这样的△DEF．（每个 3×3 正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）21．在平面直角坐标系中按下列要求作图．（1）作出三象限中的小鱼关于 x 轴的对称图形；5（2）将（1）中得到的图形再向右平移 6 个单位长度．22．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了直角坐标系及格点△AOB（顶点是网格线的交点）（1）画出将△AOB 沿 y 轴翻折得到的△AOB 1，则点 B1的坐标为 ；（2）画出将△AOB 沿射线 AB1方向平移 2.5 个单位得到的△A 2O2B2，则点 A2的坐标为 ；（3）请求出△AB 1B2的面积．6参考答案与试题解析一．选择题（共 12 小题）1．解：点 A（2，﹣5）关于 x 轴的对称点 B 的坐标为（2，5）．故选：A．2．解：∵点 A（1+m，1﹣n）与点 B（﹣3，2）关于 y 轴对称，∴1+m=3、1﹣n=2，解得：m=2、n=﹣1，所以 m+n=2﹣1=1，故选：D．3．解：∵点 A（m+4，m）在平面直角坐标系的 x 轴上，∴m=0，∴点 A 的坐标为（4，0），∴点 A 关于 y 轴对称点的坐标为（﹣4，0）．故选：A．4．解：由题意，得P（3a﹣3，1﹣2a）在第四象限，，解 3a﹣3＞得 a＞1，解 1﹣2a＜0 得，a＞ ，7故选：C．5．解：∵点 A（﹣1，﹣2）向右平移 4 个单位长度得到点 B，∴B（3，﹣2），∴点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标为：（3，2）．故选：B．6．解：由 A 点坐标，得 C（﹣3，1）．由翻折，得 C′与 C 关于 y 轴对称，C′（3，1）．故选：A．7．解：连接 OD，∵BC⊥x 轴于点 C，∠OBC=35°，∴∠AOB=∠OBC=35°，∠BOC=90°﹣35°=55°．∵点 A 关于直线 OB 的对称点 D 恰好在 BC 上，∴OB 是线段 AD 的垂直平分线，∴∠BOD=∠AOB=35°，∴∠DOC=∠BOC﹣∠BOD=55°﹣35°=20°．∵点 E 与点 O 关于直线 BC 对称，∴BC 是 OE 的垂直平分线，∴∠DOC=∠OED=20°．故选：B．88．解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是 x 轴，右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是 y 轴，则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形．故选：B．9．解：设点 P（3，2）关于直线 y=x 的对称点 P′（m，n），∴PP′的中点坐标为（ ， ），则中点（ ， ）在直线 y=x 上，∴ = ①，由直线 PP′与直线 y=x 垂直，得 =﹣1 ②，联立①②，得： ，则点 P（3，2）关于直线 y=x 的对称点 P′坐标为（2，3），故选：A．10．解：作△ABC 关于直线 MN 的轴对称图形正确的是 B 选项，故选：B．11．解：A、不是轴对称图形，故选项错误；9B、不是轴对称图形，故选项错误；C、是轴对称图形，故选项正确；D、不是轴对称图形，故选项错误．故选：C．12．解：∵直线 m 上各点的横坐标都是 2，∴直线为：x=2，∵点 P（a，5）在第二象限，∴a 到 2 的距离为：2﹣a，∴点 P 关于直线 m 对称的点的横坐标是：2﹣a+2=4﹣a，故 P 点对称的点的坐标是：（﹣a+4，5）．故选：D．二．填空题（共 6 小题）13．解：点 P（﹣2，1），则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）．14．解：∵点 A 的坐标是（4，﹣6），∴点 A 关于 x 轴的对称点 A′（4，6），∴点 A′关于 y 轴的对称点 A″（﹣4，6），故答案为：（﹣4，6）．15．解：由题意，得a=4，b=5，a﹣b=4﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．1016．解：如图所示，∵点 O 关于 AB 的对称点是 O′（2，2），点 A 关于 y 轴的对称点是 A′（﹣2，0）设 AB 的解析式为 y=kx+b，∵（2，0），（0，2）在直线上，∴ ，解得 k=﹣1，∴AB 的表达式是 y=2﹣x，同理可得 O′A′的表达式是 y= +1，两个表达式联立，解得 x= ，y= ．故答案为：（ ， ）17．解：点 P（x，y）关于 y 轴的对称点为 P1（﹣x，y），点 P1（﹣x，y）关于直线 y=﹣1 的对称点为 P2（﹣x，﹣2﹣y）．故答案为：（﹣x，﹣2﹣y）．18．解：点 P（2，﹣3）到 x 轴的距离为 3 个单位，它关于 y 轴对称点的坐标为（﹣2，﹣3）．三．解答题（共 4 小题）1119．解：如图所示：20．解：如图，△DEF 即为所求．（答案不唯一）21．解：如图所示：1222．解：（1）如图，点 B1的坐标为（﹣3，0）；故答案为：（﹣3，0）；（2）如图，点 A2的坐标为（﹣1.5，2）；故答案为：（﹣1.5，2）；（3）△AB 1B2的面积=4.5×6﹣ ×3×4﹣ ×1.5×6﹣ ×4.5×2=12．113.3.1 等腰三角形学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共 12 小题）1．已知等腰三角形的两条边长分别为 2 和 3，则它的周长为（ ）A．7 B．8 C．5 D．7 或 82．已知等腰三角形的顶角为 40°，则这个等腰三角形的底角为（ ）A．40° B．70° C．100° D．140°3．如图，已知 DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C 的度数是（ ）A．55° B．45° C．35° D．65°4．如图，△ABC 中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且 AD=AE，则∠EDC 等于（ ）A．10° B．12.5° C．15° D．20°5．已知△ABC 的三条边长分别为 3，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）A．5 条 B．6 条 C．7 条 D．8 条6．如图，已知每个小方格的边长为 1，A，B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点 C，使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，这样的格点 C 有（ ）A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．727．如图，A、B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形，点 C 也在格点上，且△ABC 是等腰三角形，则符合条件是点 C 共有（ ）个．A．8 B．9 C．10 D．118．已知△ABC 的三条边长分别为 3，5，7，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中有一个边长为 3 的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）A．5 条 B．4 条 C．3 条 D．2 条9．如图，∠AOB=45°，点 M，N 在边 OA 上，OM=2，ON=4，点 P 是边 OB 上的点，则能使点P，M，N 构成等腰三角形的点 P 的个数有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个10．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若 AC=5，BC=3，则 BD的长为（ ）A．1 B．1.5 C．2 D．411．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若 AC=5，BC=3，则 CD的长是（ ）A．2 B．2.5 C．2 D．12．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD 平分∠EDF；（4）EF 垂直平分 AD．其3中正确的有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个二．填空题（共 6 小题）13．等腰三角形的一个底角为 50°，则它的顶角的度数为 ．14．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作 k，若 k= ，则该等腰三角形的顶角为 度．15．已知△ABC 的三条边长分别为 3，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．16．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，﹣2），在坐标轴上确定一点 B，使△AOB 为等腰三角形，则符合条件的点 B 有 个．17．如图，下列 4 个三角形中，均有 AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）．18．已知：如图，△ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过 O 点的直线分别交AB、AC 于点 D、E，且 DE∥BC．若 AB=6cm，AC=8cm，则△ADE 的周长为 ．三．解答题（共 4 小题）19．数学课上，张老师举了下面的例题：4例 1 等腰三角形 ABC 中，∠A=110°，求∠B 的度数．（答案：35°）例 2 等腰三角形 ABC 中，∠A=40°，求∠B 的度数，（答案：40°或 70°或 100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形 ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 ABC 中，设∠A=x°，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索 x 的取值范围．20．如图，将一块三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直尺的一边 PQ 上，直尺的另一边 MN 与三角板的两边 AC、BC 分别交于两点 E、D，且 AD 为∠BAC 的平分线，∠B=30°，∠ADE=15°．（1）求∠BDN 的度数；（2）求证：CD=CE．21．如图，在△ABC 中，AB=AC，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，交 AC 于点 E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数．522．（1）操作实践：△ABC 中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）（2）分类探究：△ABC 中，最小内角∠B=24°，若△ABC 被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC 最大内角的所有可能值；（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）6参考答案与试题解析一．选择题（共 12 小题）1．解：①2 是腰长时，能组成三角形，周长=2+2+3=7，②3 是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+2=8，所以，它的周长是 7 或 8．故选：D．2．解：∵等腰三角形的顶角为 50°，∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，故选：B．3．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．4．解：∵△ABC 中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD=AE（已知），7∴∠ADE=75°∴∠EDC=90°﹣∠ADE=15°．故选：C．5．解：如图所示：当 BC1=AC1，AC=CC 2，AB=BC 3，AC 4=CC4，AB=AC 5，AB=AC 6，BC 7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．6．解：当 AB 为腰时，分别以 A、B 点为顶点，以 AB 为半径作圆，可找出格点点 C 的个数有 6个；当 AB 为底时，作 AB 的垂直平分线，可找出格点 C 的个数有 2 个，使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，这样的格点 C 有 6 个．故选：C．7．解：①点 C 以点 A 为标准，AB 为底边，符合点 C 的有 5 个；②点 C 以点 B 为标准，AB 为等腰三角形的一条边，符合点 C 的有 4 个．8所以符合条件的点 C 共有 9 个．故选：B．8．解：如图所示，当 AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．9．解：如右图 1 所示，当点 P 在线段 MN 的垂直平分线上时，PM=PN，此时点 P，M，N 构成等腰三角形；如右图 2 所示，当 MN=MP 时，此时点 P，M，N 构成等腰三角形；∵∠AOB=45°，OM=2，ON=4，∴点 N 到 OB 的距离是 4×sin45°=2 ＞2，∴不存在 NM=NP 的情况，故选 B．910．解：延长 BD 与 AC 交于点 E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC 为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=5，BC=3，∴CE=3，∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：A．11．10解：延长 BD，与 AC 交于点 E，∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=90°，在△BCD 和△ECD 中，，∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BC=EC=3，BD=DE，∵∠A=∠ABE，∴AE=BE=AC﹣EC=AC﹣BC=5﹣3=2，∴BD=1，在 Rt△BDC 中，BD=1，BC=3，根据勾股定理得：CD= =2 ．故选：C．12．解：∵AB=AC，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°∴DE=DF∴AD 垂直平分 EF∴（4）错误；又∵AD 所在直线是△ABC 的对称轴，∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD 平分∠EDF．故选：C．11二．填空题（共 6 小题）13．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为 80°．故填 80°．14．解：∵△ABC 中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作 k，若 k=，∴∠A：∠B=1：2，即 5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案为：36．15．解：如图所示：当 BC1=AC1，AC=CC 2，AB=BC 3，AC 4=CC4，AB=AC 5，AB=AC 6，BC 7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．12故答案为：7．16．8 解：（1）若 AO 作为腰时，有两种情况，当 A 是顶角顶点时，B 是以 A 为圆心，以 OA 为半径的圆与坐标轴的交点，共有 2 个（除 O 点）；当 O 是顶角顶点时，B 是以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆与坐标轴的交点，有 4 个；（2）若 OA 是底边时，B 是 OA 的中垂线与坐标轴的交点，有 2 个．以上 8 个交点没有重合的．故符合条件的点有 8 个．故答案为：8．17．解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和 36°，72°72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为 36°，72，72°和 36°，36°，108°，能．故答案为：②18．解：∵DE∥BC∴∠DOB=∠OBC，又∵BO 是∠ABC 的角平分线，∴∠DBO=∠OBC，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，同理：OE=EC，∴△ADE 的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm．故答案是：14cm．13三．解答题（共 4 小题）19．解：（1）若∠A 为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B=80°；故∠B=50°或 20°或 80°；（2）分两种情况：①当 90≤x＜180 时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个；②当 0＜x＜90 时，若∠A 为顶角，则∠B=（ ）°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B=x°．当 ≠180﹣2x 且 180﹣2x≠x 且 ≠x，即 x≠60 时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，可知当 0＜x＜90 且 x≠60 时，∠B 有三个不同的度数．20．（1）解：在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，又 AD 平分∠BAC，∴∠CAD=30°，又∠ACD=90°，∴∠CDA=60°又∠ADE=15°，∴∠CDE=∠CDA﹣∠ADE=60°﹣15°=45°14∴∠BDN=∠CDE=45°；（2）证明：在△CED 中，∠ECD=90°，∠CDE=45°∴∠CED=45°∴CD=CE．21．（1）证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD=∠ECD．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．22．解：（1）如图所示：（4 分）（2）设分割线为 AD，相应用的角度如图所示：15（8 分）图 1 的最大角=39°+78°=117°，图 2 的最大角=24°+180°﹣2×48°=108°，图 3 的最大角=24°+66°=90°，图 4 的最大角=84°，故△ABC 的最大内角可能值是 117°或 108°或 90°或 84°；（10 分）（3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足的条件如下：①该三角形是直角三角形；②该三角形有一个角是另一个角的 2 倍；③该三角形有一个角是另一个角的 3 倍．（14 分）