2018-2019学年度八年级数学上册 第11章 三角形同步练习（打包5套）（新版）新人教版.zip

111.1 与三角形有关的线段学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共 12 小题）1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）A． B． C． D．2．三角形按角分类可以分为（ ）A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形C．直角三角形、等边直角三角形D．以上答案都不正确3．下列图形中三角形的个数是（ ）A．4 个 B．6 个 C．9 个 D．10 个4．如图，四个图形中，线段 BE 是△ABC 的高的图是（ ）A． B． C． D．5．如图，已知△ABC 中，AD，AE，AF 分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（ ）A．AD⊥BC B．BF=CF C．BE=EC D．∠BAE=∠CAE6．下列图形中具有稳定性的是有（ ）2A．①② B．③④ C．②③ D．①②③7．下列各组数据中，能构成三角形的是（ ）A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、4cm C．4cm、9cm、4cm D．2cm、1cm、4cm8．下列长度的各组线段中，能作为一个三角形三边的是（ ）A．1，2，3 B．2，4，4C．2，2，4 D．a，a﹣1，a+1（a 是自然数）9．长度分别为 x，3，5 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（ ）A．2 B．3 C．8 D．910．若一个三角形的两边长分别为 5 和 7，则该三角形的周长可能是（ ）A．12 B．14 C．15 D．2511．四根长度分别为 3，4，6，x（x 为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（ ）A．组成的三角形中周长最小为 9B．组成的三角形中周长最小为 10C．组成的三角形中周长最大为 19D．组成的三角形中周长最大为 1612．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（ ）A．一条 B．两条 C．三条 D．四条二．填空题（共 8 小题）13．公交车的扶手往往都做成三角形的，这样做的数学依据是 ．14．在△ABC 中，AD 为 BC 边的中线，若△ABD 与△ADC 的周长差为 3，AB=8，则 AC= ．15．如果三角形的两边长为 2 和 9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有 3个．16．已知如图△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，AB=6cm，AC=8cm，则△ABD 与△ACD 的周长之差为 ，面积之差为 ．17．三角形的两边长分别是 3、5，第三边长为偶数，则第三边长为 ．18．如果将长度为 a﹣2，a+5 和 a+2 的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a 的取值范围是 ．19．BD 是△ABC 的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是 ．20．在长度为 2，5，6，8 的四条线段中，任取三条线段，可构成 个不同的三角形．三．解答题（共 4 小题）21．如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．22．如图，△ABC 中，A 1，A 2，A 3，…，A n为 AC 边上不同的 n 个点，首先连接 BA1，图中出现了 3 个不同的三角形，再连接 BA2，图中便有 6 个不同的三角形…4（1）完成下表：连接个数 出现三角形个数（2）若出现了 45 个三角形，则共连接了多少个点？（3）若一直连接到 An，则图中共有 个三角形．23．已知 a，b，c 分别是△ABC 的三边，化简：|a+b+c|+|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b|．24．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多 5cm，AB 与AC 的和为 11cm，求 AC 的长．5参考答案与试题解析一．选择题（共 12 小题）1．解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C．2．解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选：A．3．解：单个的三角形有 4 个，两个三角形组合的三角形有 3 个，三个三角形组合的三角形有 2 个，四个三角形组合的三角形有 1 个，∴三角形的个数是 4+3+2+1=10．故选：D．4．解：由图可得，线段 BE 是△ABC 的高的图是 D 选项．故选：D．5．解：∵AD，AE，AF 分别是三角形的高线，角平分线及中线，∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF，而 BE=CE 不一定成立，故选：C．6．6解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然②③两个图形具有稳定性，而①④中含有四边形，不具有稳定性．故选：C．7．解：A、1+2=3，不能构成三角形；B、3+2＞4，能构成三角形；C、4+4＜9，不能构成三角形；D、1+2＜4，不能构成三角形．故选：B．8．解：根据三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得：A、1+2=3，不满足定理，故错误；B、符合，故正确；C、2+2=4，不满足，故错误；D，a+a﹣1=2a﹣1，和 a+1 的大小不确定，故错误．故选 B．9．解：根据三角形的三边关系，得：2＜x＜8．∴x 的值可以是 3，故选：B．10．解：根据三角形的三边关系，得第三边大于 2，而小于 12．则周长 L 的取值范围是：14＜L＜24．观察选项，只有选项 C 符合题意．故选：C．711．解：其中的任意三根的组合有 3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x 共四种情况，由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得 3＜x＜7①若三边为 3、4、6 时，其周长为 3+4+6=13；②若三边为 3、4、x 时，4﹣3＜x＜4+3，即 3＜x＜7由于 x 为正整数，当 x 为 4 或 5 或 6，其周长最小为 4+3+4=11，周长最大为 3+4+6=13；③若三边为 3、6、x 时，6﹣3＜x＜6+3，即 3＜x＜7，由于 x 为正整数，则 x 为 4 或 5 或 6，其周长最小为 3+6+4=13，周长最大为 3+6+6=15；④若三边为 4、6、x 时，6﹣4＜x＜6+4，即 3＜x＜7由于 x 为正整数，则 x 为 4 或 5 或 6，其周长最小为 4+6+4=14，周长最大为 4+6+6=16；综上所述，三角形周长最小为 11，最大为 16，故选：D．12．解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上 1 根木条，故选：A．二．填空题（共 8 小题）13．解：公交车的扶手往往都做成三角形的，这样做的数学依据是：三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．14．解：∵AD 为 BC 边的中线，∴BD=CD，∴△ABD 与△ADC 的周长差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，∵△ABD 与△ADC 的周长差为 3，AB=8，8∴8﹣AC=3，解得 AC=5．故答案为：5．15．解：设第三边是 x，则 7＜x＜11．∴x=8 或 9 或 10．而三角形的周长是奇数，因而 x=8 或 10，满足条件的三角形共有 2 个，故答案为：2．16．解：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD，∵△ABD 周长=AB+AD+BD，△ACD 周长=AC+CD+AD，∵△ACD 周长﹣△ABD 周长=（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=8﹣6=2，即△BCD 和△ACD 的周长之差是 2cm；∵AD 为中线，∴△ABD 面积=△ACD 面积，∴△ABD 与△ACD 的面积之差为 0cm2，故答案为：2cm；0cm 217．解：∵三角形的两边的长分别为 3 和 5，∴第三边的取值范围为：2＜x＜8，∴符合条件的偶数为 4 或 6，9故答案为：4 或 618．解：因为﹣2＜2＜5，所以 a﹣2＜a+2＜a+5，所以由三角形三边关系可得 a﹣2+a+2＞a+5，解得：a＞5．则不等式的解集是：a＞5．故答案为：a＞5．19．解：∵BD 是△ABC 的中线，∴AD=CD，∴△ABD 和△BCD 的周长的差=（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC，∵AB=5，BC=3，∴△ABD 和△BCD 的周长的差=5﹣3=2．故答案为：2．20．解：∵从长度分别为 2，5，6，8 的四条线段中任取三条，能组成三角形的有：2、5、6；5、6、8；故答案为 2．三．解答题（共 4 小题）21．解：三种方案如图所示：1022．解：（1）连接个数 1 2 3 4 5 6出现三角形个数 3 6 10 15 21 28（2）8 个点；（3）1+2+3+…+（n+1）= [1+2+3+…+（n+1）+1+2+3+…+（n+1）]= （n+1）（n+2）．故答案为 （n+1）（n+2）．23．解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0．∴原式=a+b+c+a+c﹣b﹣a﹣b+c=a﹣b+3c．24．解：∵AD 是 BC 边上的中线，∴D 为 BC 的中点，CD=BD．∵△ADC 的周长﹣△ABD 的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即 AC 的长度是 8cm．111.2.1 三角形内角和定理学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共 12 小题）1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为（ ）A．44° B．40° C．39° D．38°2．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=90°﹣∠B；④∠A=∠B=∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③3．已知，在△ABC 中，∠A=60°，∠C=80°，则∠B=（ ）A．60° B．30° C．20° D．40°4．有一个外角等于 120°，且有两个内角相等的三角形是（ ）A．不等边三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定5．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，且 x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（ ）A．30° B．45° C．90° D．60°6．在△ABC 中，∠A=25°，∠B=63°，则△ABC 的形状是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形7．如图，将△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 外点 A'的位置，则下列结论正确的是（ ）A．∠1+∠2=∠A B．∠1+∠2=2∠A C．∠1﹣∠2=∠A D．∠1﹣∠2=2∠A28．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A=∠B=2∠C；③∠A：∠B：∠C=1：2：3，能确定△ABC 为直角三角形的条件有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个9．如图，△ABC 中，∠A=60°，将△ABC 沿 DE 翻折后，点 A 落在 BC 上的点 A′处，如果∠A′EC=70°，则∠A′DE 的度数为（ ）A．50° B．60° C．75° D．65°10．如果三角形的三个内角的度数比是 2：3：4，则它是（ ）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．钝角或直角三角形11．如图，在△ABC 中，以点 B 为圆心，以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连接 AD，若∠B=30°，∠C=40°，则∠DAC 的度数是（ ）A．25° B．35° C．45° D．75°12．一个缺角的三角形 ABC 残片如图所示，量得∠A=45°，∠B=60°，则这个三角形残缺前的∠C 的度数为（ ）A．75° B．65° C．55° D．45°二．填空题（共 8 小题）13．在△ABC 中，若∠A=78°，∠B=57°，则∠C= ．14．已知三角形的三个内角的度数比为 2：3：4，则这个三角形三个内角的度数为 ．315．一个三角形的三个内角中最多有 个钝角（或直角）．16．在△ABC 中，∠C=60°，∠A=2∠B，则∠A= ．17．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB= （度）．18．在直角△ABC 中，∠C=90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2= ．19．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．（用度数表示）20．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，若∠A=80°，则∠BOC= ．三．解答题（共 4 小题）21．如图，已知 DF⊥AB 于点 F，且∠A=45°，∠D=30°，求∠ACB 的度数．422．如图，在△ABC 中，∠A=50°，过点 C 作 CD∥AB，若 CB 平分∠ACD，求∠B 的度数．23．如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=50°，AE 是∠BAC 的平分线，AD 是高．（1）求∠BAE 的度数； （2）求∠EAD 的度数；（3）△ABC 中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与 α，β 间的等量关系，并说明理由．524．如图，△ABC 中 AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠B=50°，∠C=70°．（1）∠BAC= °；（2）求∠DAE 的度数．6参考答案与试题解析一．选择题（共 12 小题）1．解：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，∴∠DCB= 78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：C．2．解：①因为∠A+∠B=∠C，则 2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC 是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则 x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC 是直角三角形；③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC 是直角三角形；④因为∠A=∠B=∠C，所以三角形为等边三角形．所以能确定△ABC 是直角三角形的有①②③共 3 个．故选：D．3．解：∵在△ABC 中，∠A=60°，∠C=80°，∴∠B=180°﹣60°﹣80°=40°．故选：D．4．7解：当∠BAC 的外角是 120°时，则∠BAC=60°，∠B=∠C= （180°﹣∠BAC）=60°，即∠BAC=∠B=∠C，所以△ABC 是等边三角形；当∠ABC 的外角是 120°时，∠ABC=60°，即∠C=∠ABC=60°，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴∠BAC=60°，∴∠BAC=∠B=∠C，∴△ABC 是等边三角形；同样当∠ACB 的外角是 120°，也能推出△ABC 是等边三角形；故选：C．5．解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，三角形内角和为 180°，∴x+y+x﹣y+x=180，∴3x=180，x=60，故选：D．6．解：∵△ABC 中，∠A=25°，∠B=63°，∴∠C=180°﹣25°﹣63°=92°，∴△ABC 是钝角三角形．故选：C．87．解：∵△A′DE 是△ADE 沿 DE 折叠得到，∴∠A′=∠A，∵∠1=∠A+∠3，∠3=∠A′+∠2，∴∠1=∠A+∠A′+∠2，∴∠1﹣∠2=2∠A，故选：D．8．解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴若 ①∠A+∠B=∠C，则∠C=90°．三角形为直角三角形；②∠A=∠B=2∠C，则∠A=∠B=72°，∠C=36°．三角形不是直角三角形；③∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3，则∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．三角形为直角三角形；故选 B．9．解：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，又∵∠A′ED=∠AED= ∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．故选：D．10．解：设三个内角分别为 2k、3k、4k，则 2k+3k+4k=180°，9解得 k=20°，所以，最大的角为 4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形．故选：A．11．解：∵AB=BD，∠B=30°，∴∠ADB=75°，∵∠C=40°，∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=75°﹣40°=35°．故选：B．12．解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（45°+60°）=75°，故选：A．二．填空题（共 8 小题）13．解：由题可得，∠C=180﹣∠A﹣∠B=180°﹣78°﹣57°=45°，故答案为：45°．14．解：根据三角形的内角和定理，得三个内角分别是 180°× =40°，180°× =60°，180°× =80°．1015．解：假设三角形中，出现 2 个或 3 个钝角，那么三角形的内角和就大于 180°，不符合三角形内角和是 180°，因而假设不成立，所以一个三角形中最多有一个钝角．故答案为：1．16．解：设∠A=2x，则∠B=x，由三角形内角和等于 180°，得：2x+x+60°=180°，解得 x=40°．∴∠A=2x=2×40°=80°．故答案为：80°．17．解：由题意可得∠DAE= ∠BAC﹣（90°﹣∠C），又∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，∴90°﹣2∠B= ∠B，则∠B=36°，∴∠BAC=2∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°．故答案为 7218．解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．故答案是：270°．1119．解：如右图所示，∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，∴∠1=∠C+∠A+∠D，又∵∠1+∠B+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案是：180°．20．解：∵在△ABC 中，∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°，∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于 O 点，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×100°=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．故答案为：130°．三．解答题（共 4 小题）21．解：∵DF⊥AB 于点 F，∴∠AFE=90°，∵∠A=45°，∴∠AEF=45°，∴∠CED=∠AEF=45°．∴∠ACB=∠D+∠CED=30°+45°=75°．22．12解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=50°，∴∠B+∠ACB=130°．∵CD∥AB，∴∠DCB=∠B．∵CB 平分∠ACD，∴∠DCB=∠ACB，∴∠ACB=∠B，∴2∠B=130°，∴∠B=65°．23．解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣50°=100°．又∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE= ∠BAC= ×100°=50°．（2）∵∠B=30°，AD⊥BC，∴∠BAD=90°﹣30°=60°，∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣50°=10°．（3）∠DAE= （β﹣α），理由如下：∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°﹣α﹣β．又∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE= ∠BAC=90°﹣ （α+β）．∵∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣α，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α﹣[90°﹣ （α+β）]= （β﹣α）．1324．解：（1）∵∠B=50°，∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°故答案为：60°（2）∵AE 是∠BAC 的平分线，∠BAC=60°∴∠BAE=30°∴∠AEB=180°﹣∠B﹣∠BAE=100°∵AD 是 BC 边上的高，∴∠ADE=90°∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE=100°﹣90°=10°答：∠DAE 的度数是 10°．111.2.2 三角形的外角性质学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共 12 小题）1．一天，爸爸带小明到建筑工地玩，看见一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架的夹角∠1 等于 130°，你知道∠3 比∠2 大多少吗？”小明马上得到了正确的答案，他的答案是（ ）A．50° B．65° C．90° D．130°2．如图，在△ABC 中，∠C=80°，D 为 AC 上可移动的点，则 x 可能是（ ）A．5 B．10 C．20 D．253．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的 2 倍，且等于与它不相邻的一个内角的 2倍，那么这个三角形一定是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形4．如图，∠x 的两边被一直线截得∠α，∠β，则 x 用 α，β 表示的式子是（ ）A．β﹣α B．α﹣β C．180°﹣α﹣β D．180°﹣α+β5．如图所示，下列四个判断中，正确的是（ ）2A．∠ACE 是△ABC 的外角 B．∠ECD 是△ABC 的外角C．∠DCF 是△ABC 的外角 D．∠ACD 是△ABC 的外角6．三角形的三个外角之比为 2：2：3，则此三角形为（ ）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形7．如图，∠1，∠2，∠3 是△ABC 互不相等的三个外角，则∠1+∠2+∠3 的大小为（ ）A．90° B．180° C．270° D．360°8．如图，船从 A 处出发准备开往正北方向 M 处，由于一开始就偏离航线 AM15°（即∠A=15°），航线到 B 处才发现，立即改变航向，并想在航行相同航程后（BM=BA）到达目的地 M 处，则应以怎样的角度航行即∠CBM 等于（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=55°，点 D 是 AB 延长线上的一点．∠CBD 的度数是（ ）A．125° B．135° C．145° D．155°10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=65°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为 BD，则∠A′DC=（ ）3A．40° B．30° C．25° D．20°11．如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）A．70° B．80° C．90° D．100°12．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则 α 的度数（ ）A．75° B．135° C．120° D．105°二．填空题（共 8 小题）13．△ABC 的三个外角之比为 3：4：5，则最大内角为 ．14．△ABC 中，∠A=32°，∠B=76°，则与∠C 相邻的外角是 °．15．如图，在△ABC 中，D 是边 BC 延长线上的一点，∠B=45°，∠A=75°，则∠ACD= ．16．在△ABC 中，∠C 比∠A+∠B 还大 30°，则∠C 的外角为 度，这个三角形是 三角形．17．如图，x 的值是 ．18．如图，△ABC 中，∠C=40°，AD 是∠CAB 的平分线，BD 是△ABC 的外角平分线，AD 与D 交于点 D，那么∠D= °．419．如图，△ABC 中，∠A=60°，BM、CM 分别是内角∠ABC、∠ACB 的角平分线，BN、CN 是外角的平分线，则∠M﹣∠N= 度．20．将一副三角板如图叠放，则图中∠α 的度数为 ．三．解答题（共 5 小题）21．如图，已知在△ABC 中，D 点在 AC 上，E 点在 BC 的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE．22．感知：如图①，△ABC 是锐角三角形，△ABC 的外角∠ACD 的平分线与边 AC 上的高 BE的延长线交于点 F，若∠ABC=45°，∠BAC=65°，求∠F 的度数：5探究：在图①中，若∠ACB=α，其他条件不变，求∠F 的度数（用含 α 的式子表示）；应用：如图②，在△ABC 中，∠ACB 是钝角，△ABC 的外角∠BCD 的平分线与边 AC 上的高BE 交于点 F，若∠ACB=α，则 BE 与 CF 相交所成的角的大小是 （用含 α 的式子表示）．23．某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？24．在△ABC 中，∠B，∠C 的平分线交于点 O，D 是外角与内角平分线交点，E 是外角平分线交点，若∠BOC=120°，求∠D 的度数．625．如图，在△ABC 中，BD、CD 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，BP、CP 分分别是∠ABC、∠ACB 的外角平分线．（1）当∠A=40°时，分别求∠D 和∠P 的度数．（2）当∠A 的大小变化时，试探究∠D+∠P 的度数是否变化．如果不变化，求出∠D+∠P的值；如果变化，请说明理由．参考答案与试题解析7一．选择题（共 12 小题）1．解：根据题意，∠3﹣∠2=180°﹣∠1，且∠1=130°，即得∠3﹣∠2=50°．故选：A．2．解：根据题意，9x＞∠C=80°，∴x＞（ ）°，在△ABD 中，9x＜180°，∴x＜20°，因此（ ）°＜x＜20°．故选：B．3．解：设这个外角的度数为 x，则与其相邻的内角为 180°﹣x．根据题意得，x=2（180°﹣x），解得 x=120°．则与其相邻的内角为 60°，等于与它不相邻的一个内角的 2 倍，可得这个与其不相邻的内角为 60°；即得该三角形为等边三角形．故选：D．4．解：∵∠x+∠1=∠β，∠α=∠1，∴∠x+∠α=∠β，即∠x=∠β﹣∠α．故选：A．85．解：A、∠ACE 不是△ABC 的外角，原说法错误，故本选项错误；B、∠ECD 是△ABC 的外角，原说法错误，故本选项错误；C、∠DCF 是△ABC 的外角，原说法错误，故本选项错误；D、∠ACD 是△ABC 的外角，原说法正确，故本选项正确；故选：D．6．解：设一个外角是 2x°，那么其他两个外角一定是 2x°，3x°．根据题意列方程，得 2x°+2x°+3x°=360°，解得 x=（51 ）°，则三个外角分别是： 度， 度， 度．与这三角相邻的三个内角分别是： 度， 度， 度．因为都是锐角，所以此三角形是锐角三角形．故选：A．7．解：∵∠1，∠2，∠3 是△ABC 互不相等的三个外角，∴∠1+∠2+∠3=360°．故选：D．8．解：∵BM=BA，∴∠A=∠M=15°，∴∠CBM=∠A+∠M=15°+15°=30°．故选 D．9．解：∵∠CBD 是△ABC 的外角，9∴∠CBD=∠A+∠ACB，∵∠A=55°，∠ACB=90°，∴∠CBD=55°+90°=145°，故选：C．10．解：由折叠的性质可知，∠BA′D=∠A=65°，∵∠ABC=90°，∠A=65°，∴∠C=25°，∴∠A′DC=∠BA′D﹣∠C=40°，故选：A．11．解：∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，∵∠BPC=20°，∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，∴∠A+∠P=90°，故选：C．12．解：∵图中是一副直角三角板，∴∠1=45°，∠2=30°，∴∠α=180°﹣45°﹣30°=105°．故选：D．10二．填空题（共 8 小题）13．解：∵三角形三个外角度数之比是 3：4：5，设三个外角分别是 α，β，γ，则 α=360°× =90°，∴此三角形一定是直角三角形，最大内角为 90°．故答案为：90°．14．解：如图，∵∠1=∠A+∠B，∠A=32°，∠B=76°，∴∠1=32°+76°=108°，故答案为：108．15．解：∵∠B=45°，∠A=75°，∴∠ACD=∠B+∠A=45°+75°=120°，故答案为：120°．16．解：由题意∠C=∠A+∠B+30°，∵∠A+∠B+∠A+∠B+30°=180°，∴∠A+∠B=75°，∴∠C=105°，11∴∠C 的外角是 75°，∵∠C=105°＞90°，∴这个三角形是钝角三角形，故答案为 75，钝角三角形．17．解：由三角形的外角的性质可知，x+x+20=x+80，解得，x=60，故答案为：60．18．解：∵AD 是∠CAB 的平分线，BD 是△ABC 的外角平分线，∴∠DBE= ∠CBE，∠DAE= ∠CAE，∴∠D=∠DBE﹣∠DAE= （∠CBE﹣∠CAE）= ∠C=20°，故答案为：20．19．解：∵BM、CM 分别是内角∠ABC、∠ACB 的角平分线，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠M=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）=90°+ ∠A；∵BN、CN 是外角的平分线，∴∠N=90°﹣ ，∴∠M﹣∠N=∠A=60°，故答案为：6020．解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，故答案为：15°．12三．解答题（共 5 小题）21．证明：∵∠DCB 是△DCE 的一个外角（外角定义）∴∠DCB＞∠CDE（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠ADB 是△BCD 的一个外角（外角定义）∴∠ADB＞∠DCB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠ADB＞∠CDE（不等式的性质）．22．解：感知：∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°，由角平分线的性质，得∠ACF= ∠ACD=55°，由三角形内角和定理，得∠F=180°﹣90°﹣∠ECF=90°﹣55°=35°．探究：∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°，由角平分线的性质，得∠ACF= ∠ACD=55°，由外角的性质，得∠F=∠BEC﹣∠ECF=90°﹣55°=35°．应用：由补角的性质，得∠BCD=180°﹣∠ACB=180°﹣α，由角平分线的性质，得∠ECF= ∠BCE=90°﹣ α，由外角的性质，得∠CFE=90°﹣∠ECF= α，由补角的性质，得∠BFC=180°﹣ α，综上所述：BE 与 CF 相交所成的角的大小是13故答案为： α 或 180°﹣ α．23．解：如图，连接 AD 并延长，∴∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，∵∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，∴∠BDC=∠BDE+∠CDE，=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，=∠B+∠BAC+∠C，=32°+90°+21°，=143°，∵143°≠145°，∴这个零件不合格．24．解：∵∠BOC=120°，∴∠OBC+∠OCB=60°，∵∠B，∠C 的平分线交于点 O，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠A=60°，∵D 是外角与内角平分线交点，E 是外角平分线交点，∴∠DCH= ∠ACH，∠DBC= ∠ABC，∴∠D=∠DCH﹣∠DBC= ×（∠ACH﹣∠ABC）=30°．1425．解：（1）在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵BD、CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，∴∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）=90°﹣ ∠A，在△BCD 中，∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（90°﹣ ∠A）=90°+ ∠A=90°+20°=110°；∵BP、CP 分别是∠ABC 与∠ACB 的外角平分线，∴∠CBP= ∠CBE，∠BCP= ∠BCF，∴∠CBP+∠BCP= ∠CBE+ ∠BCF= （∠CBE+∠BCF）= （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）= （180°+∠A），∴∠BPC=180°﹣（∠CBP+∠BCP）=180°﹣ （180°+∠A）15=90°﹣ ∠A=90°﹣ ×40°=80°．（2）∠D+∠P 的值不变．∵由（1）知∠D=90°+ ∠A，∠P=90°﹣ ∠A，∴∠D+∠P=180°．111.2.3 直角三角形的性质学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共 15 小题）1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（ ）A．45° B．55° C．65° D．75°2．直角三角形的一个锐角∠A 是另一个锐角∠B 的 3 倍，那么∠B 的度数是（ ）A．22.5° B．45° C．67.5° D．135°3．下列说法中，正确的是（ ）A．直角三角形中，已知两边长为 3 和 4，则第三边长为 5B．三角形是直角三角形，三角形的三边为 a，b，c 则满足 a2﹣b 2=c2C．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形D．△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC 是直角三角形4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60°，则另一个锐角的度数是（ ）A．75° B．60° C．45° D．30°5．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为 AB 边上的高，∠ABC 的平分线 BE 分别交CD、CA 于点 F、E，则下列结论正确的有（ ）①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC，③∠A=∠DCB；④∠CFE 与∠CBF 互余．A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③6．如图所示，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A 的度数为（ ）A．65° B．35° C．55° D．45°7．如图，在三角形 ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，则图中小于平角的角的个数为（ ）2A．5 B．6 C．7 D．88．在△ABC 中，满足下列条件：①∠A=60°，∠C=30°；②∠A+∠B=∠C；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④∠A=90°﹣∠C，能确定△ABC 是直角三角形的有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个9．若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形10．Rt△ABC 中，∠ACB=90°，若∠ACD=50°，则与∠BCD 相邻的外角度数是（ ）A．130° B．140° C．30° D．40°11．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC 的大小为（ ）A．140° B．160° C．170° D．150°12．如图，在△ABC 中，∠ACB=105°，∠B=30°，∠ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D，则AD：BD=（ ）A． B． C．1：2 D．13．如图，∠AOB=40°，OC 平分∠AOB，直尺与 OC 垂直，则∠1 等于（ ）3A．60° B．70° C．50° D．40°14．在长方形台球桌上打台球时，球的反射角∠1 等于入射角∠2，如图所示．如果∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1 的度数为（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°15．下列说法错误的是（ ）A．直角三角板的两个锐角互余B．经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行C．如果两个角互补，那么，这两个角一定都是直角D．平行于同一条直线的两条直线平行二．填空题（共 6 小题）16．直角三角形的一个锐角为 42°，另一个锐角为 ．17．如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF 的度数是 ，∠FBC 的度数是 ．18．直角△ABC 中，∠A﹣∠B=20°，则∠C 的度数是 ．19．已知直角三角形的一个锐角为 40°，则它的另一个锐角的度数为 ．20．一个直角三角形两个锐角的差是 20°，那么这两个锐角分别是 ° 和 4°．21．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的 4 倍多 15°，则两个锐角分别为 ．三．解答题（共 4 小题）22．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高．（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？（2）∠1 和∠A 有什么关系？∠2 和∠A 呢？还有哪些锐角相等．23．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=2∠B，求出∠A，∠B 的度数．24．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，F 是 AC 延长线上一点，FD⊥AB，垂足为 D，FD 与 BC相交于点 E，∠BED=55°．求∠A 的度数．525．已知，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图 1，求证：CD⊥AB；（2）将△ADC 沿 CD 所在直线翻折，A 点落在 BD 边所在直线上，记为 A′点．①如图 2，若∠B=34°，求∠A′CB 的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB 的度数（用含 n 的代数式表示）．6参考答案与试题解析一．选择题（共 15 小题）1．解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，∴∠A=90°﹣35°=55°，故选：B．2．解：设∠B=x°，则∠A=3x°，由直角三角形的性质可得∠A+∠B=90°，∴x+3x=90，解得 x=22.5，∴∠B=22.5°，故选：A．3．解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为 3 和 4，则斜边的边长为 5”，故错误；B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为 a，b，斜边为 c 则满足 a2+b2=c2”，故错误；C、比如：边长分别为 3，4，5，有 32+42=25=52，能构成直角三角形，故错误；D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为 15°，75°，90°，因而是直角三角形，故正确．故选：D．4．解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60°，∴另一个锐角的度数是 90°﹣60°=30°．7故选：D．5．解：如图所示，①∵BE 平分∠ABC，∴∠5=∠6，∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，∴∠A=∠4，∵∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，∠1=∠2，故∠CFE=∠CEF，所以①正确；②若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，由（1）可知：∠A=∠4，∴∠A=∠5=∠6，∵∠A+∠5+∠6=180°，∴∠A=30°，即只有当∠A=30°时，∠FCB=∠FBC 而已知没有这个条件，故②错误；③∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，∴∠A=∠4，即∠A=∠DCB，故③正确；④∵∠1=∠2，∠1+∠5=90°，∴∠2+∠5=90°，即：∠CFE 与∠CBF 互余，故④正确．故选：A．6．8解：∵AB⊥BD，AC⊥CD，∴∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°，又∵∠AEB=∠CED，∴∠A=∠D=35°．故选：B．7．解：小于平角的角有：∠A、∠B、∠ACB、∠ACD、∠BCD、∠ADC、∠BDC 共 7 个．故选：C．8．解：①∠A=60°，∠C=30°时，∠B=180°﹣60°﹣30°=90°，是直角三角形；②∠A+∠B=∠C 时，∠C=90°，是直角三角形；③∠A：∠B：∠C=3：4：5 时，∠C=180°× ＜90°，是锐角三角形；④∠A=90°﹣∠C 时，∠A+∠C=90°，∠B=90°，是直角三角形；综上所述，是直角三角形的有①②④共 3 个．故选：C．9．解：A、等腰三角形，三条高线交点在三角形内或外或某一顶点处，故 A 错误；B、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故 B 错误；C、因为已知无法确定其两腰相等，而只要是直角三角形就行了，不一定非得是等腰直角三角形，故 C 错误；D、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故 D 正确．故选：D．10．9解：∵∠ACB=90°，∠ACD=50°，∴∠BCD=40°，则与∠BCD 相邻的外角度数是 180°﹣40°=140°，故选：B．11．解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．故选：B．12．解：作 DM⊥AC 于 M，DN⊥BC 于 N，∵∠ACB=105°，∠B=30°，∴∠A=180°﹣105°﹣30°=45°，∵CD 是∠ACB 的平分线，DM⊥AC，DN⊥BC，∴DM=DN，在 Rt△ADM 中，AD= = DM，在 Rt△DNB 中，BD= =2DN，∴AD：BD= ：2，故选：A．1013．解：如图所示：根据题意得：∠1=∠2=∠3，∵OC 平分∠AOB，∴∠AOC= ∠AOB=20°，∴∠3=90°﹣20°=70°，∴∠1=70°；故选：B．14．解：∵∠3=30°，∴∠2=90°﹣30°=60°，∵∠1=∠2=60°．故选：C．15．解：A、直角三角形中的两个锐角互余，所以直角三角板的两个锐角互余，故本选项说法正确；B、根据平行公理可知：过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条，故本选项说法正确；C、如果两个角互补，那么，这两个角和一定是 180°，但是它们不一定都是直角，故本选项说法错误；D、根据平行线的递等性知平行于同一条直线的两条直线平行．故本选项说法正确；故选：C．11二．填空题（共 6 小题）16．解：∵直角三角形的两个锐角互余，∴当直角三角形的一个锐角为 42°时，另一个锐角为 90°﹣42°=48°，故答案为：48°．17．解：在 Rt△ABF 中，∠A=70，CE，BF 是两条高，∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，又∵∠BCE=30°，∴∠ACB=50°，∴在 Rt△BCF 中∠FBC=40°．故答案为：20°，40°．18．解：若∠A 是直角时，∵△ABC 是直角三角形，∠A﹣∠B=20°，∴∠B=70°，∴∠C=20°，若∠C 是直角，∠A=55°，∠B=35°，满足题意，即∠C 的度数是 20°或 90°，故答案为 20°或 90°．19．解：∵直角三角形的两个锐角互余，而一个锐角为 40°，∴另一个锐角的度数为 90°﹣40°=50°．故答案为 50°20．12解：两个锐角和是 90 度，所以一个直角三角形两个锐角的差为 20°，则这两个锐角的度数分别是 55°，35°．故答案为：55，35．21．解：设另一个锐角是 x，则这个锐角是 4x+15°，根据题意得，x+4x+15°=90°，解得 x=15°，4x+15°=4×15°+15°=75°，所以，这两个锐角分别为 75°、15°．故答案为：75°、15°．三．解答题（共 4 小题）22．解：（1）∠ACB=90°，∠ADC=90°，∴图中有 3 个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC．（2）∵∠ADC=90°，∴∠1+∠A=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠2=∠A，∠1=∠B．23．解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°；∵∠A=2∠B，∴2∠B+∠B=90°，∴3∠B=90°，解得∠B=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，13综上，可得∠A=60°，∠B=30°．24．解：∵FD⊥AB 于 D，∴∠BED+∠B=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BED=55°．25．解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB；（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=34°，由（1）知，∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=56°，由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°；②当∠B=n°时，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°．