1、台州市 2017 学年第一学期高三年级期末质量评估试题选择题部分（共 40 分）一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 设集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ， ,所以 ，故选 B.2. 若复数 （为虚数单位） ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ,所以 ，故选 C.3. 已知 为锐角，且 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故选 D.4. 已知 ，则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答
2、案】B【解析】因为 时， “ ”不成立，所以充分性不成立；当“”成立时， ,可得 ，即“ ”成立，所以必要性成立，由此“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选 B.5. 已知数列 满足 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以 ，所以 ，故选 C.6. 有 3 位男生，3 位女生和 1 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是A. B. C. D. 【答案】D【解析】第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有 种排法；第二步剩余的学生全排列，共有 种排法，所以根据分步计数乘法原理可得，符合题意的排法共有
3、种，故选 D.7. 已知实数 满足不等式组 则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出 表示的可行域，如图， 表示可行域内的动点 到 距离的平方，由图可知在 处 取最小值 ，在 处取最大值 ，取值范围是 ，故选 D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 已知函数 若函数 在 恰有两个不同的零
4、点，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 在 恰有两个不同的零点，等价于 与 的图象恰有两个不同的交点，画出函数 的图象，如图， 的图象是过定点斜率为 的直线，当直线 经过点 时，直线与 的图象恰有两个交点，此时， ，当直线经过点 时直线与 的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与 的图象恰有两个交点，斜率在 内变化，所以，实数 的取值范围是 .【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数
5、形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .9. 已知 ， 是两个非零向量，且 ， ，则 的最大值为A. B. C. 4 D. 【答案】B【解析】 , , ，令,则 ，令 ，得 当 时，当 时， ， 当 时， 取得最大值 ，故选 B.10. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】1，若 ，则 ， ；,2，若 ，设 ， ， （1） 时，由 得， 在上递增，只需 ，得 ；（2） 时
6、， 在上递增，在 上递减，由 ，得 ，可得；（3）当 时， 在 上递增， ；3，若 ， （1） 时，不合题意；（2） ， 在 上递减，在上递增， ，可得 ，综上所述，当 时， ，故选 A.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及方程的根与系数的关系， 属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.非选择
7、题部分（共 110 分）二、填空题: 本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分。11. 双曲线 的离心率为_，渐近线方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】双曲线 中， ，渐近线方程为，故答案为（1） ， （2） .12. 已知随机变量 的分布列为:则 _， _.【答案】 (1). (2). 【解析】由题意， ， ， ，故答案为（1） ， （2） .13. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_ ；表面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】由三视图可知，该四面体的直观图为 图中正方体的棱长 ，四面体的体积为，表面积为 ，故答案为（1）
8、 ， （2） .【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.14. 若 的展开式中所有项的系数之和为 ，则 _，含 项的系数是_（用数字作答）.【答案】 (1). (2). 【解析】 的展开式中所有项的系数之和为 ， ， ，项的系数是，故答案为（1） ， （2） .15. 当 时， 的最小值为 ，则实数的值为_.【答案】【解析】因
9、为当 时， ， 的最小值为，所以 可得 ，故答案为 .16. 在 中，内角 所对的边为 ，点 是其外接圆 上的任意一点，若，则 的最大值为_.【答案】【解析】以 的中点 为原点，以 为 轴， 为 轴，建立坐标系，则，可得外接圆圆心为 ，半径为，圆方程为 ，设 ， ，故答案为 .17. 如图，在棱长为 的正四面体 中，动点 在侧面 内， 底面 ，垂足为，若 ，则 长度的最小值为_.【答案】【解析】作 于 ，连接 ，则 为二面角的平面角，设 中点为 在 的射影为 为 的中心） ，则 也是二面角的平面角， ，即 是到定点与定直线等距离的动点轨迹，即 的轨迹是以 为准线，以 为焦点的抛物线， 的中点
10、是抛物线顶点， 到 的距离就是 的最小值，由余弦定理可知，故答案为 .三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。18. 已知函数 , 为常数） ，且 ， （）求 的单调递增区间；（）当 时，求函数 的最大值与最小值【答案】 （1）递增区间为 ；（2）最大值为 ，最小值为 【解析】试题分析：（）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式可得，由 ， ，得 故 ，解不等式 可得 的单调递增区间；（）由（）得， 由 得： . ，故 在上的最大值为，最小值为 试题解析：（）由题得： ，由 ， ，得 故 ， ，当 时, 的单调递增,可得 ，的单调递增区间为 ；
11、 （）由（）得 ， 由 得： . ，故 在 上的最大值为 ，最小值为 19. 如图，正方形 的边长为 ，点 ， 分别为 ， 的中点，将 ， ，分别沿 ， 折起，使 ， 两点重合于点 ，连接 （）求证: 平面 ； （）求 与平面 所成角的正弦值【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（） ， 平面 ，又 平面 ,由已知可得 ， 平面 ；（）由面面垂直的性质定理可得为 与平面 所成角，在 中， ，从而可得与平面 所成角的正弦值 .试题解析：（） ， 平面 ，又 平面 , ,由已知可得 ， 平面 ； （）由（）知平面 平面 ，则 为 与平面 所成角，设 ， 交于点 ，连 ，则 ， ， 又 平面
12、 ， 平面 ， ， 在 中， ，与平面 所成角的正弦值为 【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及线面角的求法，属于难题. 证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知函数 （）求函数 的单调区间；（）当 时， 恒成立，求 的取值范围【答案】 （1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2）【解析】试题分析：（）求出 ，令 求得 的范围，可得函数 增区间，求得 的范围，可得函数 的减区间；（） 时， 恒成立，等价于 ， 利用导数
13、研究函数的单调性，求出 ，从而可得结果.试题解析：（）函数 的定义域为 ， ， ，解得 或 ， 为减函数，解得 ， 为增函数， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； （） 在 时恒成立， 令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，在 上单调递减，在 上单调递增， ， 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题. 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数
14、后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.21. 已知椭圆 : 的左右焦点分别为 ， ，左顶点为 ，点 在椭圆 上，且 的面积为 （）求椭圆 的方程；（）过原点 且与 轴不重合的直线交椭圆 于 ， 两点，直线 分别与 轴交于点求证：以 为直径的圆恒过焦点 ， ，并求出 面积的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）根据点 在椭圆 上，且 的面积为 ，结合性质，列出关于、 、的方程组，求出、 、 ，即可得椭圆 的方程；（）直线的方程为 ，设点 （不妨设 ） ，则点 ，由 ，消去 得 ，所以 ， ，可证明 ， ，同理 ，则以 为直径的圆恒过焦点 ， ，可得
15、，进而可得结果.试题解析：（） ， ， 又点 在椭圆 上， ， ，解得 ，或 （舍去） ，又 ， ，所以椭圆 的方程为 ； （） ， ， ，方法一：当直线 的斜率不存在时， ， 为短轴的两个端点，则 ， ， ，则以 为直径的圆恒过焦点 ， ， 当 的斜率存在且不为零时，设直线 的方程为 ，设点 （不妨设 ） ，则点 ，由 ，消去 得 ，所以 ， ， 所以直线 的方程为 ， 因为直线 与 轴交于点 ，令 得 ，即点 ，同理可得点 ， ， ，同理 ，则以 为直径的圆恒过焦点 ， ， 当 的斜率存在且不为零时， 面积为 ，又当直线 的斜率不存在时， ， 面积为 ， 面积的取值范围是 方法二：当 ，
16、不为短轴的两个端点时，设 ，则 ，由点 在椭圆 上， ，所以直线 的方程为 ，令 得 ，即点 ，同理可得点 ， 以 为直径的圆可化为 ，代入 ，化简得 ，令 解得以 为直径的圆恒过焦点 ， ， ，又 ， , 面积为 ，当 ， 为短轴的两个端点时， ， 面积为 ， 面积的取值范围是 22. 数列 ， 中， 为数列 的前 项和，且满足 ， ，（）求 ， 的通项公式；（）求证： ；（）令 ， ，求证： 【答案】 （1） ， （2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（）由 ，可得当 时， ，两式相减可化为 ，利用累乘法可得 的通项公式，进而可得 的通项公式；（）先证明 ，结合等比数列的求和公式，利用放缩法可证明 ；（）化简 ，先证明在 上单调递增，所以 ，即 ，从而可得结果.试题解析：（） ， 当 时， ， ，（） ，； （） （1）当 时，左边 右边，（2）当 时， ， ，令 x= ，则 ，易知 在 上单调递增，所以 ， ，由（1） （2）可知对于任意的 ，
