1、12015-2016 学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题 3 分，共 18 分）1数据：2，3，3，5，7 的极差是( )A2 B3 C4 D52如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点（2，1） ，则 tan 的值是( )A2 B C D3在比例尺是 1：46000 的城市交通游览图上，某条道路的图上距离长约 8cm，则这条道路的实际长度约为( )A36810 3cm B36.8 104cm C3.68 105cm D3.6810 6cm4关于 x 的一元二次方程 x2+2xm=0 有两个实数根，则 m 的取值范围是( )Am1 Bm 1 Cm1 且 m0 Dm
2、 1 且 m05如图，O 是ABC 的外接圆，已知OAB=40，则ACB 的度数为( )A45 B40 C80 D506关于二次函数 的图象与性质，下列结论错误的是( )A抛物线与 x 轴有两个交点B当 x=1 时，函数有最大值C抛物线可由 经过平移得到D当1 x2 时，函数 y 的整数值有 3 个2二、填空题（每题 3 分，共 30 分）7若 x=0 是关于 x 的方程 x2xa2+9=0 的一个根，则 a 的值为_8人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：=90，S 甲 2=1.234，S 乙 2=2.001，则成绩较为稳定的班级是 _（填甲班或乙班）
3、9已知O 的半径为 5cm，点 O 到直线 MN 的距离为 4，则O 与直线 MN 的位置关系为_10如图，一个圆形转盘被分成 6 个圆心角都为 60的扇形，任意转动这个转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是_11已知ABCDEF，且 ，则 =_12在 RtABC 中， C=90，AB=10，cosB= ，则 AC 的长为_13一个圆锥的底面半径为 1 厘米，母线长为 2 厘米，则该圆锥的侧面积是_厘米 2（结果保留 ） 14如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若 DAB=60，则 BCD 的度数是_15如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位
4、似中心，相似比为 1： ，点 A 的坐标为（1，0） ，则 E 点的坐标为_316如图，在直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y= +2x 交 x 轴的负半轴于 A，以 O 为旋转中心，将线段 OA 按逆时针方向旋转 （0 360） ，再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合题意的 的值是_三、解答题（共 102 分）17计算或解方程：（1）|2 tan60|（3.14） 0+ + （2）x 26x+5=0（配方法）18前不久，我校初一、初二两个年级举行作文竞赛，根据初赛成绩，每个年级各选出 5名选手分别组成初一代表队和初二代表队参加
5、学校决赛两个队各选出的 5 名选手的决赛成绩如图所示（1）根据图示填写下表；平均数（分）中位数（分）众数（分）初一 _85 _初二 85 _100（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好419如图，有 5 张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A，B，C ，D，E 和一个等式，背面完全一致现将 5 张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C ；第二堆： D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片（1）请用画树状图或列表法表示出所有可能结果；（卡片可用 A，B，C，D，E 表示）（2）将“第一张卡片上 x 的值是第二张卡片中方程的解”记作事件 M，求事
6、件 M 的概率20某商店 6 月份的利润是 2000 元，要使 8 月份的利润达到 3380 元，平均每月利润增长的百分率是多少？21为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端 D 距广告牌立柱距离 CD 为 3 米，从 D 点测得广告牌顶端 A 点和底端 B 点的仰角分别是 60和 45（1）求公益广告牌的高度 AB；（2）求加固钢缆 AD 和 BD 的长 （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）22如图，ABC 中，AC=BC，以 BC 上一点 O 为圆心，OB 为半径作O 交 AB 于点D已知经过点 D 的O 切线恰
7、好经过点 C（1）试判断 CD 与 AC 的位置关系，并证明；（2）若ACBCDB ，且 AC=3，求图中阴影部分的面积523如图，在ABC 中， ACB=90，点 G 是 ABC 的重心，且 AGCG，CG 的延长线交 AB 于 H（1）求证：CAG ABC；（2）求 SAGH：S ABC 的值24某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为 6 元/千克，若以 9 元/ 千克的价格销售，则每天可售出 200 千克；若以 11 元/千克的价格销售，则每天可售出 120 千克通过调查验证，我发现每天的销售量 y（千克）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系（1）求 y（千克）与 x（元） （x0
8、）的函数关系式；（2）当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到 280 元？（利润=销售量（销售单价 进价） ）（3）该水果店在进货成本不超过 720 元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？25如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标是（ 8，0） ，点 B 的坐标是（0，n） （n0） P 是直线 AB 上的一个动点，作 PCx 轴，垂足为 C记点 P 关于 y 轴的对称点为 P（点 P不在 y 轴上） ，连接 PP，PA ，PC设点 P 的横坐标为 m（1）若点 P 在第一象限，记直线 AB 与 PC 的交点为 D当 PD：DC=5：13
9、 时，求 m 的值；（2）若ACP=60 ，试用 m 的代数式表示 n；（3）若点 P 在第一象限，是否同时存在 m，n，使 PCA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的 m，n 的值；若不存在，请说明理由26 （14 分）已知点 A（x 1， y1） 、B（x 2，y 2）在二次函数 y=x2+mx+n 的图象上，当x1=1、x 2=3 时，y 1=y2（1）求 m；若抛物线与 x 轴只有一个公共点，求 n 的值6（2）若 P（a，b 1） ，Q（3， b2）是函数图象上的两点，且 b1b 2，求实数 a 的取值范围（3）若对于任意实数 x1、x 2 都有 y1+y22，求 n 的
10、范围72015-2016 学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题 3 分，共 18 分）1数据：2，3，3，5，7 的极差是( )A2 B3 C4 D5【考点】极差 【专题】计算题；压轴题【分析】根据极差的定义解答，即用 7 减去 2 即可【解答】解：数据 2，3，3，5，7 的极差是 72=5故选 D【点评】极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值2如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点（2，1） ，则 tan 的值是( )A2 B C D【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边
11、比邻边，可得答案【解答】解：如图： ，tan= = 故选：B【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3在比例尺是 1：46000 的城市交通游览图上，某条道路的图上距离长约 8cm，则这条道路的实际长度约为( )A36810 3cm B36.8 104cm C3.68 105cm D3.6810 6cm【考点】比例线段；科学记数法表示较大的数 8【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可【解答】解：设这条道路的实际长度为 xcm，则：= ，解得 x=368000368000cm=3.68105c
12、m所以这条道路的实际长度为 3.68105cm故选 C【点评】本题主要考查了比例线段，比例尺的意义，能够根据比例尺正确进行计算也考查了科学记数法4关于 x 的一元二次方程 x2+2xm=0 有两个实数根，则 m 的取值范围是( )Am1 Bm 1 Cm1 且 m0 Dm 1 且 m0【考点】根的判别式 【分析】根据方程有实数根，得出 0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可【解答】解：由题意知，=4+4m0，m1，故选 A【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）根的判别式当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0
13、，方程没有实数根以及一元二次方程的意义5如图，O 是ABC 的外接圆，已知OAB=40，则ACB 的度数为( )A45 B40 C80 D50【考点】圆周角定理 【分析】由 OA=OB，可求得OBA=OAB=40，继而求得AOB 的度数，然后由圆周角定理，求得答案【解答】解：OA=OB，OBA=OAB=40，AOB=180OABOBA=100，ACB= AOB=50故选：D9【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用6关于二次函数 的图象与性质，下列结论错误的是( )A抛物线与 x 轴有两个交点B当 x=1 时，函数有最大值C抛物线可由 经过平移得
14、到D当1 x2 时，函数 y 的整数值有 3 个【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得求解【解答】解：A、a= 0，顶点（1，2） ，抛物线与 x 轴有两个交点；B、抛物线开口向下，顶点（1，2）当 x=1 时，函数有最大值 2；C、抛物线可由 向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到；D、 当 1x2 时，0y2，函数 y 的整数值有 1，2 两个；综上所述，结论错误的是 D故选 D【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性二、填空题（每题 3 分，共 30 分）7若 x=0 是关于 x 的方程
15、 x2xa2+9=0 的一个根，则 a 的值为3【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=0 代入原方程得到关于 a 的一元二次方程，然后解此方程即可【解答】解：把 x=0 代入 x2xa2+9=0 得a 2+9=0，解得 a=3故答案为3【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根8人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：=90，S 甲 2=1.234，S 乙 2=2.0
16、01，则成绩较为稳定的班级是 甲班（填甲班或乙班）10【考点】方差 【分析】由于 S 甲 2S 乙 2，则根据方差的意义可判断成绩较为稳定的班级为甲班【解答】解： =90，S 甲 2=1.234，S 乙 2=2.001，S 甲 2S 乙 2，甲班的成绩较为稳定故答案为甲班【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是：s 2= （x 1x） 2+（x 2x） 2+（x nx） 2；方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好9已知O 的半径为 5cm，
17、点 O 到直线 MN 的距离为 4，则O 与直线 MN 的位置关系为相交【考点】直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心 O 到直线 MN 的距离小于半径即可判定直线 MN 与O 的位置关系为相交【解答】解：圆心 O 到直线 MN 的距离是 4cm，小于O 的半径为 5cm，直线 MN 与O 相交故答案为：相交【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系解答若 dr，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 dr ，则直线与圆相离10如图，一个圆形转盘被分成 6 个圆心角都为 60的扇形，任意转动这个转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域
18、的概率是 【考点】几何概率 【分析】设圆的面积为 6，易得到阴影区域的面积为 4，然后根据概率公式计算即可【解答】解：设圆的面积为 6，圆被分成 6 个相同扇形，每个扇形的面积为 1，阴影区域的面积为 4，指针指向阴影区域的概率 = ；故答案为： 11【点评】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积 n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积 m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率= 11已知ABCDEF，且 ，则 = 【考点】相似三角形的性质 【分析】直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方进而得出答案【解答】解：ABCDEF，且 ， = 故答
19、案为： 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键12在 RtABC 中， C=90，AB=10，cosB= ，则 AC 的长为 6【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理 【分析】首先根据三角函数值计算出 BC 长，再利用勾股定理可计算出 AC 长【解答】解：AB=10 ，cosB= ，BC=10 =8，AC= =6，故答案为：6【点评】此题主要考查了三角函数，以及勾股定理，关键是掌握锐角三角函数定义13一个圆锥的底面半径为 1 厘米，母线长为 2 厘米，则该圆锥的侧面积是 2 厘米 2（结果保留 ） 【考点】圆锥的计算 【分析】根据圆锥侧面积的求法：S 侧 =
20、2rl=rl，把 r=1 厘米，l=2 厘米代入圆锥的侧面积公式，求出该圆锥的侧面积是多少即可【解答】解：该圆锥的侧面积是：S 侧 = 2rl=rl=12=2（厘米 2） 故答案为：212【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：S 侧 = 2rl=rl14如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若 DAB=60，则 BCD 的度数是 120【考点】圆内接四边形的性质 【分析】根据圆内接四边形的对角互补解答即可【解答】解：四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BCD+DAB=180，又DAB=60，BCD=120，故答案为：120【点评】本题考查的是圆内
21、接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键15如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1： ，点 A 的坐标为（1，0） ，则 E 点的坐标为（ ， ） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【分析】由题意可得 OA：OD=1： ，又由点 A 的坐标为（1，0） ，即可求得 OD 的长，又由正方形的性质，即可求得 E 点的坐标【解答】解：正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1：，OA：OD=1： ，点 A 的坐标为（1，0） ，即 OA=1，OD= ，四边形 ODEF 是正方形，DE=OD= E 点的坐标
22、为：（ ， ） 故答案为：（ ， ） 13【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键16如图，在直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y= +2x 交 x 轴的负半轴于 A，以 O 为旋转中心，将线段 OA 按逆时针方向旋转 （0 360） ，再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合题意的 的值是 30或 150【考点】抛物线与 x 轴的交点；坐标与图形变化-平移；坐标与图形变化- 旋转 【分析】首先求出抛物线的顶点坐标以及 AO 的长，再利用平移的性质结合 AO 只是左右平
23、移，进而得出旋转的角度【解答】解：由题意可得：y= +2x= （x+2 ） 22，故抛物线的顶点坐标为：（2，2） ，当 y=0 时，0= （x+2 ） 22解得：x 1=0，x 2=4，故 AO=4，将线段 OA 按逆时针方向旋转 （0360） ，再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，旋转后对应点 A到 x 轴的距离为：2，如图，过点 A作 ACx 轴于点 C，当COA =30，则 CA= AO=2，故 为 30时符合题意，同理可得： 为 150时也符合题意，综上所述：所有符合题意的 的值是 30或 150故答案为：30或 15014【点评】此题
24、主要考查了抛物线与 x 轴的交点以及旋转与平移变换，正确得出对应点的特点是解题关键三、解答题（共 102 分）17计算或解方程：（1）|2 tan60|（3.14） 0+ + （2）x 26x+5=0（配方法）【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值 【专题】计算题；实数【分析】 （1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果；（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解【解答】解：（1）原式=2 1+4+ =5； （2）方程整理得：x 26x=5
25、，配方得：x 26x+9=4，即（x3） 2=4，开方得：x3=2 或 x3=2，解得：x 1=5，x 2=1【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18前不久，我校初一、初二两个年级举行作文竞赛，根据初赛成绩，每个年级各选出 5名选手分别组成初一代表队和初二代表队参加学校决赛两个队各选出的 5 名选手的决赛成绩如图所示（1）根据图示填写下表；平均数（分）中位数（分）众数（分）初一 85 85 85初二 85 80 100（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数 15【分析】 （1）根据众数、中位数以及平均数的
26、定义即可解答；（2）首先比较平均数，然后根据中位数的大小判断【解答】解：（1）初一队的成绩的平均数是： （75+80+85+85+100）=85，初一队成绩的众数是 85 分；初二队的成绩从小到大排列是：70，75，80，100，100则中位数是 80 分平均数（分）中位数（分）众数（分）初一 85 85 85初二 85 80 100（2）两队的平均成绩相同，而初一队的中位数较大，因而初一队成绩较好【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据19如图，有 5 张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：
27、A，B，C ，D，E 和一个等式，背面完全一致现将 5 张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C ；第二堆： D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片（1）请用画树状图或列表法表示出所有可能结果；（卡片可用 A，B，C，D，E 表示）（2）将“第一张卡片上 x 的值是第二张卡片中方程的解”记作事件 M，求事件 M 的概率【考点】列表法与树状图法 【专题】计算题【分析】 （1）画出树状图展示所有 6 种等可能的结果数；（2）根据方程解得定义，找出第一张卡片上 x 的值是第二张卡片中方程的解的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）画树状图为：共有 6 种等可能的结果数；（2
28、）因为第一张卡片上 x 的值是第二张卡片中方程的解的结果数为 2，所以事件 M 的概率= = 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率20某商店 6 月份的利润是 2000 元，要使 8 月份的利润达到 3380 元，平均每月利润增长的百分率是多少？【考点】一元二次方程的应用 16【专题】增长率问题【分析】如果设平均每月增长的百分率是 x，那么 7 月份的利润是 2000（1+x）元，8 月份的利润是 2000（1+x） 2 元，而此时利润是 3380 元，
29、根据 8 月份的利润不变，列出方程【解答】解：设平均每月增长的百分率是 x，依题意，得2000（1+x） 2=3380，解得 x1=0.3，x 2=2.3（不合题意，舍去） 答：平均每月增长的百分率应该是 30%【点评】本题考查的是平均增长率问题明确增长前的量（1+平均增长率） 增长的次数 =增长后的量是解题的关键21为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端 D 距广告牌立柱距离 CD 为 3 米，从 D 点测得广告牌顶端 A 点和底端 B 点的仰角分别是 60和 45（1）求公益广告牌的高度 AB；（2）求加固钢缆 AD
30、 和 BD 的长 （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】 （1）根据已知和 tanADC= ，求出 AC，根据 BDC=45，求出 BC，根据AB=ACBC 求出 AB；（2）根据 cosADC= ，求出 AD，根据 cosBDC= ，求出 BD【解答】解：（1）在 RtADC 中， ADC=60，CD=3，tanADC= ，AC=3tan60=3 ，在 RtBDC 中，BDC=45，BC=CD=3，AB=ACBC=（ 3 3）米（2）在 RtADC 中，cosADC= ，AD= = =6 米，17在 RtBDC 中，cosBDC= ，BD
31、= = =3 米【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键22如图，ABC 中，AC=BC，以 BC 上一点 O 为圆心，OB 为半径作O 交 AB 于点D已知经过点 D 的O 切线恰好经过点 C（1）试判断 CD 与 AC 的位置关系，并证明；（2）若ACBCDB ，且 AC=3，求图中阴影部分的面积【考点】切线的判定；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质 【专题】计算题【分析】 （1）连结 OD，如图，由 OD=OB 得ODB=B，由 AC=CB 得A=B，则A=ODB，于是可判断 ODAC，根据平行线的性质得ACD=ODC，再根据切线的性质得
32、ODC=90 ，则DCA=90，所以 CDAC；（2）根据相似三角形的性质，由ACB CDB 得到BCD=A，理由三角形外角性质易得ADC=2B，则ADC=2A ，再利用三角形内角和定理得A+ADC=90 ，可计算出A=30，则CDB=B=30，COD=60，根据含 30 度的直角三角形三边的关系，在 RtACD 中可计算出 CD= AC= ，再在 RtODC 中计算出 OD= CD=1，然后利用三角形的面积减去扇形的面积可得到图中阴影部分的面积【解答】解：（1）CDAC 理由如下：连结 OD，如图，OD=OB，ODB=B，AC=CB，A=B，A=ODB，ODAC，ACD=ODC，CD 是O
33、切线，ODC=90，DCA=90，CDAC；（2）ACBCDB，BCD=A，ADC=2B，18而A= B，ADC=2A，A+ADC=90，A=30，CDB=B=30，COD=60，在 RtACD 中，CD= AC= ，在 RtODC 中，OD= CD=1，图中阴影部分的面积= 1 = 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径也考查了扇形的面积计算和相似三角形的性质23如图，在ABC 中， ACB=90，点 G 是 ABC 的重心，且 AGCG，CG 的延长线交 AB 于 H（1）求证：CAG ABC；（2）求 SAGH：S ABC 的值【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重
34、心 【分析】 （1）证明：CG 交 AB 于 D，如图，设 GD=a，根据重心的性质得 CG=2DG=2a，根据重心的定义得 CD 为 AB 边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=3a，则1=3，再利用等角的余角相等得1=3，所以 B=3，加上ACB=AGC=90，于是根据相似三角形的判定方法得到CAGABC；（2）由点 G 是ABC 的重心，得到 CG=2HG，于是得到 HG= CH，求得 SAHG= SACH，根据 CH 为 AB 边上的中线，于是得到 SACH= SABC，推出 SAHG= SABC，即可得到结论【解答】 （1）证明：如图，设 GH=a，点
35、G 是 ABC 的重心，19CG=2HG=2a，CH 为 AB 边上的中线，CH=AH=BH=3a，1=3，AGCG，2+3=90，而1+2=90，1=3，B=3，而ACB= AGC=90，CAGABC；（2）点 G 是 ABC 的重心，CG=2HG，HG= CH，SAHG= SACH，CH 为 AB 边上的中线，SACH= SABC，SAHG= SABC，SAGH：S ABC=1：6【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1也考查相似三角形的判定与性质24某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为 6 元/千克，若以
36、 9 元/ 千克的价格销售，则每天可售出 200 千克；若以 11 元/千克的价格销售，则每天可售出 120 千克通过调查验证，我发现每天的销售量 y（千克）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系（1）求 y（千克）与 x（元） （x0）的函数关系式；（2）当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到 280 元？（利润=销售量（销售单价 进价） ）（3）该水果店在进货成本不超过 720 元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用 20【分析】 （1）以 9 元/千克的价格销售，那么每天可售出 200 千克；以 11 元/ 千克的价格销售，那
37、么每天可售出 120 千克，就相当于直线过点（9，200） ， （11，120） ，然后列方程组解答即可；（2）根据利润=销售量（销售单价进价）写出方程求出即可；（3）根据利润=销售量（销售单价进价）写出解析式，然后利用配方法求最大值，再结合二次函数性质得出答案【解答】解：（1）设 y（千克）与 x（元） （x0）的函数关系式为：y=kx+b，根据题意可得： ，解得： 故 y（千克）与 x（元） （x0）的函数关系式为：y=40x+560；（2）W=280 元，280=（ 40x+560）（x6）解得：x 1=7，x 2=13答：当销售单价为 7 元或 13 元时，每天可获得的利润达到 W=2
38、80 元；（3）利润=销售量（销售单价进价）W=（ 40x+560） （x6）=40x2+800x3360=40（x 10） 2+640，当售价为 10 元，则 y=560400=160，1606=960（元）720 元，则当（40x+560） 6=720，解得：x=11即当销售单价为 11 元时，每天可获得的利润最大，最大利润是 600 元【点评】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式的运用，在解答时理清题意设出一次函数的解析式建立方程组是关键2125如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标是（ 8，0） ，点 B 的坐标是（0，n） （n0） P 是直线
39、 AB 上的一个动点，作 PCx 轴，垂足为 C记点 P 关于 y 轴的对称点为 P（点 P不在 y 轴上） ，连接 PP，PA ，PC设点 P 的横坐标为 m（1）若点 P 在第一象限，记直线 AB 与 PC 的交点为 D当 PD：DC=5：13 时，求 m 的值；（2）若ACP=60 ，试用 m 的代数式表示 n；（3）若点 P 在第一象限，是否同时存在 m，n，使 PCA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的 m，n 的值；若不存在，请说明理由【考点】一次函数综合题 【分析】 （1）由条件可得PPDCAD ，利用相似三角形的性质可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值；（2）过
40、 PHAC 于 H，设直线 AB 的解析式为 y=kx+n，把 x=8，y=0 代入得：8k+n=0 ，于是得到直线的解析式是：y= x+n，求得 PC=PH= +n，根据三角函数的定义得到= ，即可得到结论；（3）分APC、P AC 和PCA 分别为直角进行讨论，由等腰三角形可先求得 m 的值，再根据相似三角形可得到关于 n 的方程，可求得 n 的值【解答】解：（1）PPAC，PPDCAD， = = ， = ，解得：m= ；（2）过 PHAC 于 H，设直线 AB 的解析式为 y=kx+n，把 x=8， y=0 代入得：8k+n=0 ，k= ，直线的解析式是：y= x+n，22把 x=m 代
41、入得 y= +n，PC=PH= +n，ACP=60， = ， = ，n= ；（3）当点 P 在第一象限且PCA 为等腰直角三角形时，分APC 、 PAC 和 PCA 分别为直角进行讨论第一种情况：若APC=90， PA=PC，过点 P作 PHx 轴于点 HPP=CH=AH=PH= AC2m= （m+8） ，m= ，P H= ，AOBACP， ，n=4；第二种情况：若P AC=90，PA=AC，则 PP=AC，2m=m+8，m=8，PAC 为等腰直角三角形，四边形 PACP 为正方形，PC=AC=16，AOBACP， ，即 = ，n=8；第三种情况：若P CA=90，则点 P，P 都在第一象限内
42、，这与条件矛盾PCA 不可能是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形23所有满足条件的 m= ，n=4 或 m=8，n=8【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质、坐标与图形等知识点的综合应用，在（1）中由条件证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例得到关于 m 的方程是解题的关键；在（ 3）中分三种情况分别讨论是解题的关键；属于基础知识的综合考查，难度不大，注意对基础知识的熟练应用26 （14 分）已知点 A（x 1， y1） 、B（x 2，y 2）在二次函数 y=x2+mx+n 的图象上，当x1=1、x 2=3 时，y 1=y2（1）求 m；若抛物线与 x 轴只有一个
43、公共点，求 n 的值（2）若 P（a，b 1） ，Q（3， b2）是函数图象上的两点，且 b1b 2，求实数 a 的取值范围（3）若对于任意实数 x1、x 2 都有 y1+y22，求 n 的范围【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征 【专题】计算题【分析】 （1）利用抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线 x=2，则根据抛物线对称轴方程得到 =2，然后解方程即可得到 m 的值；利用=b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数得到 =m24n=0，然后解方程即可得到 n 的值；（2）利用二次函数的性质，由于 x1=1、x 2=3 时，y 1=y2，点 P 到直线 x=2 的
44、距离比点 Q到直线 x=2 的距离要大，于是可得到 a1 或 a3；（3）由于对于任意实数 x1、x 2 都有 y1+y22，则判断二次函数 y=x24x+n 的最小值大于或等于 1，根据顶点坐标公式得到 1，然后解不等式即可【解答】解：（1）当 x1=1、x 2=3 时，y 1=y2，点 A 与点 B 为抛物线上的对称点，抛物线的对称轴为直线 x=2，即 =2，m=4；抛物线与 x 轴只有一个公共点，=m24n=0，24而 m=4，n=4；（2）x 1=1、x 2=3 时，y 1=y2，而抛物线开口向上，当 a3 时，b 1b 2，或 a 1 时，b 1b 2，即实数 a 的取值范围为 a1 或 a3；（3）对于任意实数 x1、x 2 都有 y1+y22，二次函数 y=x24x+n 的最小值大于或等于 1，即 1，n5【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标转化为解关于 x 的一元二次方程；=b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数也考查了二次函数的性质利用数形结合的思想是解决本题的关键25
