1、课时分层训练(五十) 圆的方程A组 基础达标一、选择题1经过点(1,0)，且圆心是两直线 x1 与 x y2 的交点的圆的方程为( )A( x1) 2 y21B( x1) 2( y1) 21C x2( y1) 21D( x1) 2( y1) 22B 由Error! 得Error!即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为 1，故圆的方程为(x1) 2( y1) 21.2方程 y 表示的曲线是( )1 x2A上半圆 B下半圆C圆 D抛物线A 由方程可得 x2 y21( y0)，即此曲线为圆 x2 y21 的上半圆3点 P(4，2)与圆 x2 y24 上任一点连线的中点的轨
2、迹方程是( )A( x2) 2( y1) 21B( x2) 2( y1) 24C( x4) 2( y2) 24D( x2) 2( y1) 21A 设圆上任一点的坐标为( x0， y0)，则 x y 4，设点 P与圆上任一点连线的中点的坐标为( x， y)，20 20则Error! Error!代入 x y 4，得( x2) 2( y1) 21，故选 A.20 204已知圆 C的圆心是直线 x y10 与 x轴的交点，且圆 C与直线 x y30 相切，则圆 C的方程是( )A( x1) 2 y22 B( x1) 2 y28C( x1) 2 y22 D( x1) 2 y28A 直线 x y10 与
3、 x轴的交点(1,0)根据题意，圆 C的圆心坐标为(1,0)因为圆与直线 x y30 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 r d ，| 1 0 3|12 12 2则圆的方程为( x1) 2 y22.故选 A.5(2017重庆四校模拟)设 P是圆( x3) 2( y1) 24 上的动点， Q是直线 x3 上的动点，则| PQ|的最小值为( ) 【导学号：79140276】A6 B4 C3 D2B 如图所示，圆心 M(3，1)与直线 x3 的最短距离为| MQ|3(3)6，又圆的半径为 2，故所求最短距离为 624.二、填空题6(2018郑州第二次质量预测)以点 M(2,0)， N(0,4)为直
4、径的圆的标准方程为_(x1) 2( y2) 25 圆心是 MN的中点，即点(1,2)，半径 r MN ，则以 MN为12 5直径的圆的标准方程为( x1) 2( y2) 25.7已知点 M(1,0)是圆 C： x2 y24 x2 y0 内的一点，那么过点 M的最短弦所在直线的方程是_x y10 圆 C： x2 y24 x2 y0 的圆心为 C(2,1)，则 kCM 1.1 02 1过点 M的最短弦与 CM垂直，最短弦所在直线的方程为 y01( x1)，即x y10.8在平面直角坐标系 xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx y2 m10( mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_
5、(x1) 2 y22 因为直线 mx y2 m10 恒过定点(2，1)，所以圆心(1,0)到直线 mx y2 m10 的最大距离为 d ，所以半径最大时的(2 1)2 ( 1 0)2 2半径 r ，所以半径最大的圆的标准方程为( x1) 2 y22.2三、解答题9求适合下列条件的圆的方程(1)圆心在直线 y4 x上，且与直线 l： x y10 相切于点 P(3，2)；(2)过三点 A(1,12)， B(7,10)， C(9,2). 【导学号：79140277】解 (1)法一：设圆的标准方程为( x a)2( y b)2 r2，则有Error!解得 a1， b4， r2 .2所以圆的方程为( x
6、1) 2( y4) 28.法二：过切点且与 x y10 垂直的直线为 y2 x3，与 y4 x联立可求得圆心为(1，4)所以半径 r 2 ，(1 3)2 ( 4 2)2 2所以所求圆的方程为( x1) 2( y4) 28.(2)设圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)，则Error!解得 D2， E4， F95.所以所求圆的方程为 x2 y22 x4 y950.10已知过原点的动直线 l与圆 C1： x2 y26 x50 相交于不同的两点 A, B.(1)求圆 C1的圆心坐标；(2)求线段 AB的中点 M的轨迹 C的方程解 (1)把圆 C1的方程化为标准方程得(
7、x3) 2 y24，圆 C1的圆心坐标为C1(3,0)(2)设 M(x， y)， A， B为过原点的直线 l与圆 C1的交点，且 M为 AB的中点，由圆的性质知： MC1 MO， 1 0.MC MO 又 1(3 x， y)， ( x， y)，MC MO 由向量的数量积公式得 x23 x y20.易知直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 y mx，当直线 l与圆 C1相切时， d 2，|3m 0|m2 1解得 m .255把相切时直线 l的方程代入圆 C1的方程化简得 9x230 x250，解得 x .53当直线 l经过圆 C1的圆心时， M的坐标为(3,0)又直线 l与圆 C1交于 A， B
8、两点， M为 AB的中点， x3.53点 M的轨迹 C的方程为 x23 x y20，其中 x3，其轨迹为一段圆弧53B组 能力提升11(2017佛山模拟)设 P(x， y)是圆( x2) 2 y21 上的任意一点，则( x5) 2( y4) 2的最大值为( )A6 B25 C26 D36D ( x5) 2( y4) 2表示点 P(x， y)到点(5，4)的距离的平方点(5，4)到圆心(2,0)的距离 d 5.(5 2)2 ( 4)2则点 P(x， y)到点(5，4)的距离最大值为 6，从而( x5) 2( y4) 2的最大值为 36.12(2017广东七校联考)一个圆与 y轴相切，圆心在直线
9、x3 y0 上，且在直线 y x上截得的弦长为 2 ，则该圆的方程为_7x2 y26 x2 y10 或 x2 y26 x2 y10 法一：所求圆的圆心在直线x3 y0 上，设所求圆的圆心为(3 a， a)，又所求圆与 y轴相切，半径 r3| a|，又所求圆在直线 y x上截得的弦长为 2 ，圆心(3 a， a)到直线 y x的距离7d ，|2a|2 d2( )2 r2，即 2a279 a2， a1.7故所求圆的方程为( x3) 2( y1) 29 或( x3) 2( y1) 29.法二：设所求圆的方程为( x a)2( y b)2 r2，则圆心( a， b)到直线 y x的距离为， r2 7，
10、即 2r2( a b)214.|a b|2 (a b)22由于所求圆与 y轴相切， r2 a2，又所求圆的圆心在直线 x3 y0 上， a3 b0，联立，解得Error!或Error!故所求圆的方程为( x3) 2( y1) 29 或( x3) 2( y1) 29.法三：设所求的圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0，则圆心坐标为 ，半径(D2， E2)r .12D2 E2 4F在圆的方程中，令 x0，得 y2 Ey F0.由于所求圆与 y轴相切， 0，则 E24 F.圆心 到直线 y x的距离为 d ，(D2， E2) | D2 E2|2由已知得 d2( )2 r2，即( D E)2562
11、( D2 E24 F)7又圆心 在直线 x3 y0 上， D3 E0.(D2， E2)联立，解得Error!或Error!故所求圆的方程为 x2 y26 x2 y10 或 x2 y26 x2 y10.13在以 O为原点的直角坐标系中，点 A(4，3)为 OAB的直角顶点，已知|AB|2| OA|，且点 B的纵坐标大于 0.(1)求 的坐标；AB (2)求圆 x26 x y22 y0 关于直线 OB对称的圆的方程. 【导学号：79140278】解 (1)设 ( x， y)，由| AB|2| OA|， 0，AB AB OA 得Error! 解得Error!或Error!若 (6，8)，则 yB11 与 yB0 矛盾AB Error! 舍去即 (6,8)AB (2)圆 x26 x y22 y0，即( x3) 2( y1) 2( )2，10其圆心为 C(3，1)，半径 r ，10 (4，3)(6,8)(10,5)，OB OA AB 直线 OB的方程为 y x.12设圆心 C(3，1)关于直线 y x的对称点的坐标为( a， b)，12则Error! 解得Error!所求的圆的方程为( x1) 2( y3) 210.
