1、课时分层训练(三十二) 等比数列及其前 n 项和A 组 基础达标一、选择题1对任意等比数列 an，下列说法一定正确的是( )A a1， a3， a9成等比数列B a2， a3， a6成等比数列C a2， a4， a8成等比数列D a3， a6， a9成等比数列D 由等比数列的性质得， a3a9 a 0，因此 a3， a6， a9一定成等比数列，选 D.262(2018武汉调研)等比数列 an的各项均为正数，且 a5a6 a4a718，则log3a1log 3a2log 3a10( )A12 B10C8 D2log 35B 由等比数列的性质知 a5a6 a4a79，所以log3a1log 3a2
2、log 3a3log 3a10log 3(a1a2a3a10)log 3(a5a6)5log 39510，故选 B.3(2017广东深圳一模)已知等比数列 an的前 n 项和 Sn a3n1 b，则 ( )abA3 B1C1 D3A 等比数列 an的前 n 项和 Sn a3n1 b， a1 S1 a b， a2 S2 S13 a b a b2 a，a3 S3 S29 a b3 a b6 a，等比数列 an中， a a1a3，2(2 a)2( a b)6a，解得 3.故选 A.ab4设等比数列 an中，前 n 项和为 Sn，已知 S38， S67，则 a7 a8 a9等于( )A. B18 18
3、C. D578 558A 因为 a7 a8 a9 S9 S6，且 S3， S6 S3， S9 S6也成等比数列，即8，1， S9 S6成等比数列，所以 8(S9 S6)1，即 S9 S6 .所以 a7 a8 a9 .18 185已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若存在 mN ，满足 9， ，则数列S2mSm a2mam 5m 1m 1an的公比为( )A2 B2C3 D3B 设公比为 q，若 q1，则 2，与题中条件矛盾，故S2mSmq1. qm19， qm8.S2mSma1(1 q2m)1 qa1(1 qm)1 q qm8 ，a2mam a1q2m 1a1qm 1 5m 1m 1 m
4、3， q38， q2.二、填空题6在等比数列 an中，若 a1a516， a48，则 a6_.32 由题意得， a2a4 a1a516， a22， q2 4， a6 a4q232.a4a27(2017江苏高考)等比数列 an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知S3 ， S6 ，则 a8_. 74 634【导学号：79140178】32 设 an的首项为 a1，公比为 q，则Error!解得Error!所以 a8 272 532.148(2017深圳二次调研)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何
5、日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”如果墙足够厚， Sn为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则 Sn_尺2n 1 依题意大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项，2 为公比的等比数列，12n 1所以前 n 天大老鼠打洞的距离共为 2 n1.同理可得前 n 天小老鼠打洞的1(1 2n)1 2距离共为 2 ，所以 Sn2 n12 2 n 1.12n 1 12n 1 12n 1三、解答题9在公差不为零的等差数列 an中， a11， a2， a4， a8成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn2 an
6、， Tn b1 b2 bn，求 Tn. 【导学号：79140179】解 (1)设等差数列 an的公差为 d，则依题意有Error!解得 d1 或 d0(舍去)， an1( n1) n.(2)由(1)得 an n， bn2 n， 2， bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列，bn 1bn Tn 2 n1 2.2(1 2n)1 210设等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 a2 a326， S6728.(1)求数列 an的通项公式；(2)求证： S SnSn2 43 n.2n 1解 (1)设等比数列 an的公比为 q，由 728226 得， S62 S3， q1.由已知得Error!解得
7、Error! an23 n1 .(2)证明：由(1)可得 Sn 3 n1.2(1 3n)1 3 Sn1 3 n1 1， Sn2 3 n2 1. S SnSn2 (3 n1 1) 2(3 n1)(3 n2 1)43 n.2n 1B 组 能力提升11数列 an满足： an1 a n1( nN ， R 且 0)，若数列 an1是等比数列，则 的值等于( )A1 B1C. D212D 由 an1 a n1，得 an1 1 a n2 .由于数列 an1是等比数列，(an2 )所以 1，得 2.212(2018江西九校联考)已知正项数列 an满足 a 2 a anan1 ，若 a11，则数列2n 1 2n
8、an的前 n 项和 Sn_. 【导学号：79140180】2n1 由 a 2 a anan1 ，得( an1 2 an)(an1 an)0，所以 an1 2 an或2n 1 2nan1 an(舍去)，所以 2，所以数列 an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，an 1an所以 Sn 2 n1.1 2n1 213已知数列 an满足 a15， a25， an1 an6 an1 (n2)(1)求证： an1 2 an是等比数列；(2)求数列 an的通项公式解 (1)证明： an1 an6 an1 (n2)， an1 2 an3 an6 an1 3( an2 an1 )(n2) a15， a25， a22 a115， an2 an1 0( n2)， 3( n2)，an 1 2anan 2an 1数列 an1 2 an是以 15 为首项，3 为公比的等比数列(2)由(1)得 an1 2 an153 n1 53 n，则 an1 2 an53 n， an1 3 n1 2( an3 n)又 a132， an3 n0， an3 n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 an3 n2(2) n1 ，即 an2(2) n1 3 n.
