1、课时分层训练(五十三) 抛物线A 组 基础达标一、选择题1已知点 A(2,3)在抛物线 C： y22 px(p0)的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( )A B143C D34 12C 由已知，得准线方程为 x2，所以 F 的坐标为(2,0)又 A(2,3)，所以直线AF 的斜率为 k .3 0 2 2 342(2016全国卷)设 F 为抛物线 C： y24 x 的焦点，曲线 y (k0)与 C 交于点kxP， PF x 轴，则 k( )A. B1 12C. D232D y24 x， F(1,0)又曲线 y (k0)与 C 交于点 P， PF x 轴，kx P(1,2)将点
2、 P(1,2)的坐标代入 y (k0)得 k2.故选 D.kx3(2017广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线 y x2上，且与直线 y30 相切，则112此圆恒过定点( )A(0,2) B(0，3)C(0,3) D(0,6)C 直线 y30 是抛物线 x212 y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y3 的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)4(2018云南二检)已知点 M 是抛物线 C： y22 px(p0)上一点， F 为 C 的焦点， MF 的中点坐标是(2,2)，则 p 的值为( ) 【导学号：79140291】A1 B2C3 D4D 设 M(x， y)
3、，则由题意，得 2， 2，则 x4 ， y4.又点 M 在抛物线 Cx p22 y2 p2上，所以 422 p ，解得 p4，故选 D.(4p2)5(2018长沙模拟(二)已知点 P(x0， y0)是抛物线 y24 x 上的一个动点， Q 是圆C：( x2) 2( y4) 21 上的一个动点，则 x0| PQ|的最小值为( )A2 1 B25 5C3 D4C 设抛物线 y24 x 的焦点 F(1,0)，过点 P(x0， y0)作准线 l： x1 的垂线，垂足为 N，则x0| PQ| PN| PQ|1| PF| PQ|1| CF|2 2523，(1 2)2 42当且仅当 C， P， F 三点共线
4、且点 Q 在线段 CF 上时取等号，则 x0| PQ|的最小值是 3，故选 C.二、填空题6(2018成都二诊)设抛物线 C： y22 x 的焦点为 F.若抛物线 C 上点 P 的横坐标为 2，则|PF|_.由题意知 p1，点 P 的横坐标 xP2，则由抛物线的定义，得52|PF| xP 2 .p2 12 527(2018西宁检测(一)已知点 P(2,1)，若抛物线 y24 x 的一条弦 AB 恰好是以 P 为中点，则弦 AB 所在直线方程是_2x y30 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y22，且 y 4 x1， y 4 x2，两式21 2相减得 2(y1 y2)4(
5、 x1 x2)，且 x1 x2，则直线 AB 的斜率 kAB 2，又弦 ABy1 y2x1 x2过点 P，则所求直线方程为 y12( x2)，即 2x y30.8抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线 y2 x21 相交于 A， B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_.2 y22 px 的准线为 x .3p2由于 ABF 为等边三角形因此不妨设 A ， B .( p2， p3) ( p2， p3)又点 A， B 在双曲线 y2 x21，从而 1，所以 p2 .p23 p24 3三、解答题9.如图 862 所示，已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，直线 l 经过点
6、F 且与抛物线C 相交于 A、 B 两点图 862(1)若线段 AB 的中点在直线 y2 上，求直线 l 的方程；(2)若线段| AB|20，求直线 l 的方程解 (1)由已知得抛物线的焦点为 F(1,0)因为线段 AB 的中点在直线 y2 上，所以直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k， A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点M(x0， y0)，则Error! 由Error!得(y1 y2)(y1 y2)4( x1 x2)，所以 2y0k4.又 y02，所以 k1，故直线 l 的方程是 y x1.(2)设直线 l 的方程为 x my1，与抛物线方程联立得Error!
7、消元得y24 my40，所以 y1 y24 m， y1y24， 16( m21)0.|AB| |y1 y2|m2 1 m2 1 (y1 y2)2 4y1y2 m2 1 (4m)2 4( 4)4( m21)所以 4(m21)20，解得 m2，所以直线 l 的方程是 x2 y1，即 x2y10.10已知抛物线 y22 px(p0)，过点 C(2,0)的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，坐标原点为 O， 12.OA OB (1)求抛物线的方程；(2)当以| AB|为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程. 【导学号：79140292】解 (1)设 l： x my2，代入 y22 px 中，
8、得 y22 pmy4 p0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y22 pm， y1y24 p，则 x1x2 4，y21y24p2因为 x1x2 y1y244 p12，可得 p2，OA OB 则抛物线的方程为 y24 x.(2)由(1)知 y24 x， p2，可知 y1 y24 m， y1y28.设 AB 的中点为 M，则| AB|2 xM x1 x2 m(y1 y2)44 m24.又| AB| |y1 y2| .1 m2 (1 m2)(16m2 32)由得(1 m2)(16m232)(4 m24) 2，解得 m23， m ，3所以直线 l 的方程为 x y20 或 x y
9、20.3 3B 组 能力提升11(2018石家庄一模)已知抛物线 y22 px(p0)过点 A ，其准线与 x 轴交于点(12， 2)B，直线 AB 与抛物线的另一个交点为 M，若 ，则实数 为( )MB AB A. B.13 12C3 D2D 把点 A 代入抛物线方程，得 22 p ，解得 p2，所以抛物线的方程为(12， 2) 12y24 x，则 B(1,0)设 M ，则 ， .由(y2M4， yM) AB ( 32， 2) MB ( 1 y2M4， yM) ，得Error!解得 2 或 1(舍去)，故选 D.MB AB 12(2017衡水中学月考)已知直线 l： y kx t 与圆： x
10、2( y1) 21 相切，且与抛物线 C： x24 y 交于不同的两点 M， N，则实数 t 的取值范围是_(，3)(0，) 因为直线 l 与圆相切，所以 1 k2 t22 t.再把|t 1|1 k2直线 l 的方程代入抛物线方程并整理得 x24 kx4 t0，于是 16 k216 t16( t22 t)16 t0，解得 t0 或 t3.13抛物线 y24 x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点(1)若 2 ，求直线 AB 的斜率；AF FB (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最小值. 【导学号：7914
11、0293】解 (1)依题意知 F(1,0)，设直线 AB 的方程为 x my1.将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得y24 my40.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 y1 y24 m， y1y24.因为 2 ，所以 y12 y2.AF FB 联立上述三式，消去 y1， y2得 m .24所以直线 AB 的斜率是2 .2(2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点，从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等，所以四边形 OACB 的面积等于 2S AOB.因为 2S AOB2 |OF|y1 y2|12 4 ，(y1 y2)2 4y1y2 1 m2所以当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4.
