1、课时分层训练(三十九) 数学归纳法A 组 基础达标一、选择题1用数学归纳法证明 2n2n1， n 的第一个取值应是( )A1 B2C3 D4C n1 时，2 12,2113,2 n2n1 不成立；n2 时，2 24,2215,2 n2n1 不成立；n3 时，2 38,2317,2 n2n1 成立 n 的第一个取值应是 3.2一个关于自然数 n 的命题，如果验证当 n1 时命题成立，并在假设当 n k(k1 且kN )时命题成立的基础上，证明了当 n k2 时命题成立，那么综合上述，对于( )A一切正整数命题成立B一切正奇数命题成立C一切正偶数命题成立D以上都不对B 本题证的是对 n1,3,5,
2、7，命题成立，即命题对一切正奇数成立3在数列 an中， a1 ，且 Sn n(2n1) an，通过求 a2， a3， a4，猜想 an的表达式为( ) 13【导学号：79140216】A. B.1(n 1)(n 1) 12n(2n 1)C. D1(2n 1)(2n 1) 1(2n 1)(2n 2)C 由 a1 ， Sn n(2n1) an求得 a2 ， a3 ， a4 13 115 135 135 157 163.猜想 an .179 1(2n 1)(2n 1)4对于不等式 n1( nN )，某同学用数学归纳法证明的过程如下：n2 n(1)当 n1 时， 11，不等式成立12 1(2)假设当
3、n k(kN )时，不等式 k1 成立，当 n k1 时，k2 k ( k1)1.(k 1)2 k 1 k2 3k 2 (k2 3k 2) (k 2) (k 2)2所以当 n k1 时，不等式成立，则上述证法( )A过程全部正确B n1 验得不正确C归纳假设不正确D从 n k 到 n k1 的推理不正确D 当 n k1 时，没有应用 n k 时的假设，不是数学归纳法5平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为( )A n1 B2 nC. D n2 n1n2 n 22C 1 条直线将平面分成 11 个区域；2 条直线最多可将平面分成 1(12)4 个区域；3
4、条直线最多可将平面分成 1(123)7 个区域； n 条直线最多可将平面分成 1(123 n)1 个区域n(n 1)2 n2 n 22二、填空题6用数学归纳法证明 123 n2 ，则当 n k1 时左端应在 n k 的基础n4 n22上加上的项为_(k21)( k22)( k1) 2 当 n k 时左端为 123 k( k1)( k2) k2，则当 n k1 时，左端为 123 k2( k21)( k22)( k1) 2，故增加的项为( k21)( k22)( k1) 2.7数列 an中，已知 a12， an1 (nN )，依次计算出 a2， a3， a4，猜想an3an 1an_. a12，
5、 a2 ， a3 ， a4 1 .26n 5 232 1 2727327 1 2132133213 219由此猜想 an是以分子为 2，分母是以首项为 1，公差为 6 的等差数列，所以 an .26n 58凸 n 多边形有 f(n)条对角线则凸( n1)边形的对角线的条数 f(n1)与 f(n)的递推关系式为_f(n1) f(n) n1 f(n1) f(n)( n2)1 f(n) n1.三、解答题9用数学归纳法证明：1 4 时， f(n)_(用 n 表示)5 (n1)( n2)( n3) f(3)2， f(4) f(3)3235，12f(n) f(3)34( n1)234( n1) (n1)(
6、 n2)( n3)1213数列 xn满足 x10， xn1 x xn c(nN )2n(1)证明： xn是递减数列的充要条件是 c0；(2)若 0 c ，证明数列 xn是递增数列. 14【导学号：79140218】证明 (1)充分性：若 c0，由于 xn1 x xn c xn c xn，2n数列 xn是递减数列必要性：若 xn是递减数列，则 x2 x1，且 x10.又 x2 x x1 c c， c0.21故 xn是递减数列的充要条件是 c0.(2)若 0 c ，要证 xn是递增数列14即 xn1 xn x c0，2n即证 xn 对任意 n1 成立c下面用数学归纳法证明：当 0 c 时， xn 对任意 n1 成立14 c当 n1 时， x10 ，结论成立c12假设当 n k(k1， kN )时结论成立，即 xk .c函数 f(x) x2 x c 在区间 内单调递增，所以 xk1 f(xk) f( )( ，12 c ，c当 n k1 时， xk1 成立c由，知， xn 对任意 n1， nN 成立c因此， xn1 xn x c xn，即 xn是递增数列2n
