1、课时分层训练(三十) 数列的概念与简单表示法A 组 基础达标一、选择题1下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A1，121314B1，2，3，4，C1， ， ， ，12 14 18D1， ， ，2 3 nC 根据定义，属于无穷数列的是选项 A，B，C，属于递增数列的是选项 C，D，故同时满足要求的是选项 C.2(2017安徽黄山二模)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a12， an1 Sn1( nN )，则 S5( )A31 B42C37 D47D an1 Sn1( nN )，即 Sn1 Sn Sn1( nN )， Sn1 12( Sn1)(nN )，数列 Sn1为等比数列，其
2、首项为 3，公比为 2.则 S5132 4，解得S547.故选 D.3把 3,6,10,15,21，这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图 511)图 511则第 6 个三角形数是( ) 【导学号：79140168】A27 B28C29 D30B 由题图可知，第 6 个三角形数是 123456728.4已知 a11， an n(an1 an)(nN )，则数列 an的通项公式是( )A2 n1 B (n 1n )n 1 C n2 D nD an n(an1 an)， ，an 1an n 1n an a1anan 1 an 1an 2 an 2an 3 a3a2 a
3、2a1 1 n.nn 1 n 1n 2 n 2n 3 32 215已知数列 an满足 a12， an1 (nN )，则该数列的前 2 019 项的乘积1 an1 ana1a2a3a2 019( )A. B13 13C3 D3C 由题意可得，a2 3， a3 ， a4 ， a5 2 a1，1 a11 a1 1 a21 a2 12 1 a31 a3 13 1 a41 a4数列 an是以 4 为周期的数列，而 2 01945043， a1a2a3a41，前 2 019 项的乘积为 1504a1a2a33.二、填空题6在数列1,0， ，中，0.08 是它的第_项1918 n 2n210 令 0.08，
4、得 2n225 n500，n 2n2则(2 n5)( n10)0，解得 n10 或 n (舍去)52所以 a100.08.7(2017河北唐山一模)设数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn ，若 a432，则a1(4n 1)3a1_. Sn ， a432，12 a1(4n 1)3 32， a1 .255a13 63a13 128已知数列 an满足 a11， an an1 nanan1 (nN )，则 an_. 【导学号：79140169】由已知得， n，所以 n1，2n2 n 2 1an 1 1an 1an 1an 1 n2， 1，所以 ， a11，所以 1an 1 1an 2 1a2 1
5、a1 1an 1a1 n(n 1)2 1an，n2 n 22所以 an .2n2 n 2三、解答题9已知数列 an的前 n 项和 Sn2 n1 2.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn an an1 ，求数列 bn的通项公式解 (1)当 n1 时， a1 S12 222；当 n2 时， an Sn Sn1 2 n1 2(2 n2)2 n1 2 n2 n.因为 a1也适合此等式，所以 an2 n(nN )(2)因为 bn an an1 ，且 an2 n， an1 2 n1 ，所以 bn2 n2 n1 32 n.10已知 Sn为正项数列 an的前 n 项和，且满足 Sn a an(nN )
6、122n 12(1)求 a1， a2， a3， a4的值；(2)求数列 an的通项公式解 (1)由 Sn a an(nN )，可得122n 12a1 a a1，解得 a11；1221 12S2 a1 a2 a a2，解得 a22；122 12同理， a33， a44.(2)Sn a an， 122n 12当 n2 时， Sn1 a an1 ， 12 2n 1 12得( an an1 1)( an an1 )0.由于 an an1 0，所以 an an1 1，又由(1)知 a11，故数列 an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 an n.B 组 能力提升11(2017郑州二次质量预测)设数
7、列 an满足： a11， a23，且 2nan( n1)an1 ( n1) an1 ，则 a20的值是( )A. B215 225C. D235 245D 由 2nan( n1) an1 ( n1) an1 得 nan( n1) an1 ( n1) an1 nan，又因为 1a11,2 a21 a15，所以数列 nan是首项为 1，公差为 5 的等差数列，则20a201195，解得 a20 ，故选 D.24512(2017衡水中学检测)若数列 an满足： a119， an1 an3( nN )，则数列 an的前 n 项和数值最大时， n 的值为( )A6 B7C8 D9B a119， an1
8、an3，数列 an是以 19 为首项，3 为公差的等差数列， an19( n1)(3)223 n.设 an的前 k 项和数值最大，则有 Error!kN ，Error! k ，193 223 kN ， k7.满足条件的 n 的值为 7.13在一个数列中，如果任意 nN ，都有 anan1 an2 k(k 为常数)，那么这个数列叫作等积数列， k 叫作这个数列的公积已知数列 an是等积数列，且 a11， a22，公积为 8，则 a1 a2 a3 a12_.28 依题意得数列 an是周期为 3 的数列，且 a11， a22， a34，因此a1 a2 a3 a124( a1 a2 a3)4(124)28.14已知数列 an的通项公式是 an n2 kn4.(1)若 k5，则数列中有多少项是负数？ n 为何值时， an有最小值？并求出最小值；(2)对于 nN ，都有 an1 an，求实数 k 的取值范围. 【导学号：79140170】解 (1)由 n25 n4an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 an n2 kn4，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 nN ，所以 3.k232所以实数 k 的取值范围为(3，)
