1、课时分层训练(五十七) 定点、定值、范围、最值问题1(2017山西临汾一中月考)已知椭圆 C： y21( a0)，过椭圆 C 的右顶点和上顶x2a2点的直线与圆 x2 y2 相切23(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M 是椭圆 C 的上顶点，过点 M 分别作直线 MA， MB 交椭圆 C 于 A， B 两点，设这两条直线的斜率分别为 k1， k2，且 k1 k22，证明：直线 AB 过定点解 (1)直线过点( a,0)和(0,1)，直线的方程为 x ay a0，直线与圆x2 y2 相切， ，解得 a22，椭圆 C 的方程为 y21.23 |a|1 a2 63 x22(2)证明：当直线 AB
2、的斜率不存在时，设 A(x0， y0)，则 B(x0， y0)，由k1 k22 得 2，解得 x01.当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的y0 1x0 y0 1x0方程为 y kx m(m1)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! (12 k2)x24 kmx2 m220，得 x1 x2 ， x1x2 ，由 4km1 2k2 2m2 21 2k2k1 k22 2 2，y1 1x1 y2 1x2 (kx2 m 1)x1 (kx1 m 1)x2x1x2即(22 k)x1x2( m1)( x1 x2)(22 k)(2m22)( m1)(4 km)，即(1 k)(m21) k
3、m(m1)，由 m1，得(1 k)(m1) kmk m1，即 y kx m( m1) x mm(x1) y x，故直线 AB 过定点(1，1)综上，直线 AB 过定点(1，1)2(2018云南二检)已知点 A， B 是椭圆 C： 1( a b0)的左、右顶点， F 为左焦x2a2 y2b2点，点 P 是椭圆上异于 A， B 的任意一点直线 AP 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线 l 交于点 M，直线 MN BP 于点 N.(1)求证：直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为定值；(2)若直线 MN 过焦点 F， ( R)，求实数 的值. AF FB 【导学号：79140311】解 (1)证明：
4、设 P(x0， y0)(x0 a)，由已知 A( a,0)， B(a,0)， kAPkBP . y0x0 a y0x0 a y20x20 a2点 P 在椭圆上， 1. x20a2 y20b2由得 kAPkBP .y20x20 a2 b2a2(xoal(2,0) a2)x20 a2 b2a2直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为定值 .b2a2(2)设直线 AP 与 BP 的斜率分别为 k1， k2，由已知 F( c,0)，直线 AP 的方程为y k1(x a)，直线 l 的方程为 x a，则 M(a,2ak1) MN BP， kMNk21.由(1)知 k1k2 ， kMN k1.b2a2 a2
5、b2又 F， N， M 三点共线，得 kMF kMN，即 k1，得 2b2 a(a c)2ak1a c a2b2 b2 a2 c2，2( a2 c2) a2 ac，化简整理得 2c2 ac a20，即 2 10，解得 或 1(舍去)(ca)2 ca ca 12 ca a2 c.由 ，得( a c,0) (a c,0)，AF FB 将 a2 c 代入，得( c,0) (3c,0)，即 c3 c ， .133(2018呼和浩特一调)已知抛物线 C1的方程为 y24 x，椭圆 C2与抛物线 C1有公共的焦点，且 C2的中心在坐标原点，过点 M(4,0)的直线 l 与抛物线 C1分别交于 A， B 两
6、点(1)若 ，求直线 l 的方程；AM 12MB (2)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C1上，直线 l 与椭圆 C2有公共点，求椭圆 C2的长轴长的最小值. 【导学号：79140312】解 (1)当直线 l 的斜率不存在时， l x 轴， 与已知 矛盾，所以AM MB AM 12MB 直线 l 的斜率必存在设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 y k(x4)联立Error! 消去 x，得 ky24 y16 k0，所以 1664 k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!又因为 ，AM 12MB 所以(4 x1， y1) (x2
7、4， y2)，12即 y1 y2. 12由式消去 y1， y2，得 k22，即 k 或 k ，2 2故直线 l 的方程为 y x4 或 y x4 .2 2 2 2(2)设 P(m， n)，则 OP 的中点为 .(m2， n2)因为 O， P 两点关于直线 y k(x4)对称，所以Error!解得Error!将其代入抛物线方程，得 4 .(8k1 k2)2 8k21 k2所以 k21.设椭圆的方程为 1( a b0)，x2a2 y2b2则 a2 b21，即 b2 a21.联立Error! 消去 y，得( b2 a2k2)x28 k2a2x16 a2k2 a2b20.因为直线与椭圆有交点，所以 (
8、8 k2a2)24( b2 a2k2)(16a2k2 a2b2)0.化简整理得 4 a2b2(b2 a2k216 k2)4 a2(a21)(2 a217)0.所以( a21)(2 a217)0.因为 a2 b211，所以 2a217.所以 2a ，34因此椭圆 C2的长轴长的最小值为 .344(2016全国卷)已知椭圆 E： 1 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，斜率为x2t y23k(k0)的直线交 E 于 A， M 两点，点 N 在 E 上， MA NA.(1)当 t4，| AM| AN|时，求 AMN 的面积；(2)当 2|AM| AN|时，求 k 的取值范围解 设 M(x1，
9、 y1)，则由题意知 y10.(1)当 t4 时， E 的方程为 1， A(2,0)x24 y23由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为 . 4因此直线 AM 的方程为 y x2.将 x y2 代入 1 得 7y212 y0.x24 y23解得 y0 或 y ，所以 y1 .127 127因此 AMN 的面积 S AMN2 .12 127 127 14449(2)由题意 t3， k0， A( ，0)t将直线 AM 的方程 y k(x )代入 1 得tx2t y23(3 tk2)x22 tk2x t2k23 t0.t由 x1( ) 得 x1 ，tt2k2 3t3 tk2 t(3 tk2)3 tk2故| AM| x1 | .t 1 k26t(1 k2)3 tk2由题设，直线 AN 的方程为 y (x )，1k t故同理可得| AN| .6kt(1 k2)3k2 t由 2|AM| AN|得 ，23 tk2 k3k2 t即( k32) t3 k(2k1)当 k 时上式不成立，因此 t .323k(2k 1)k3 2t3 等价于 0，k3 2k2 k 2k3 2 (k 2)(k2 1)k3 2即 0.k 2k3 2由此得Error! 或Error! 解得 k2.32因此 k 的取值范围是( ，2)32
