1、单元评估检测(六) 第 6 章 不等式、推理与证明(120 分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若 a0， b0，且 a b4，则下列不等式恒成立的是( )A. B 11ab 12 1a 1bC. 2 D ab1a2 b2 18答案 D2若集合 A x|x27 x100，集合 BError!，则 A B( )A(1,3) B(1,5) C(2,5) D(2,3)答案 D3已知 a， b， x， y 都是正实数，且 1， x2 y28，则 ab 与 xy 的大小关系为( )1a 1bA ab xy
2、B ab xy C ab xy D ab xy答案 B4不等式 ax2 bx20 的解集是 ，则 a b 的值是( ) (12， 13)【导学号：79140422】A10 B10 C14 D14答案 D5(2018济宁模拟)在坐标平面内，不等式组Error!所表示的平面区域的面积为( )A2 B C. D2283 223答案 B6若1 a0，则关于 x 的不等式( x a) 0 的解集是( )(x1a)A x|x a B x|x1aC Dx|x a或 x1a x|x 1a或 x a答案 C7已知数列 an为等差数列，若 am a， an b(n m1， m， nN )，则 am n .类nb
3、man m比等差数列 an的上述结论，对于等比数列 bn(bn0， nN )，若bm c， bn d(n m2， m， nN )，则可以得到 bm n( )A( n m)(nd mc) B( nd mc)n mC. Dn mdncm n mdncm答案 C8已知函数 f(x) ，则函数 f(x)的最大值为( )16x2 28x 114x 5 (x 54)A. B C1 D114 54 14答案 C9(2017临汾模拟)若实数 x， y 满足不等式组Error!则 的取值范围是( )y 1x 1A. B 1，13 12， 13C D12， ) 12， 1)答案 D10当 x0 时， ，在用分析法
4、证明该不等式时执果索因，最后索的因是( )x2 1 2xA x0 B x20C( x1) 20 D( x1) 20答案 C11已知实数 x， y 满足 x y0 且 x y ，则 的最小值为( ) 14 2x 3y 1x y【导学号：79140423】A1 B2 C64 D842 2答案 C12设 xR， x表示不超过 x 的最大整数若存在实数 t，使得 t1， t22， tn n 同时成立，则正整数 n 的最大值是( )A3 B4 C5 D6答案 B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上)13已知 a b0，则 a， b， ， 四个数中最大的一
5、个是_aba b2答案 a14已知 a0， b0， ab8，则当 a 的值为_时，log 2alog2(2b)取得最大值答案 415某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_答案 30 (n1)( n2)1216已知 A(1,0)， B(0，1)， C(a， b)三点共线，若 a1， b1，则 的1a 1 1b 1最小值为_答案 4三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知数列 an的前 n 项和
6、 Sn2 n2 n.(1)证明 an是等差数列；(2)若 bn ，数列 bn的前 n 项和为 Tn，试证明 Tn .1anan 1 14证明 (1)因为 Sn2 n2 n.所以 a1 S11.当 n2 时， an Sn Sn1 2 n2 n2( n1) 2( n1)4 n3.对 n1 也成立，所以 an4 n3.an1 an4( n1)34 n34，是常数所以数列 an是以 1 为首项，4 为公差的等差数列(2)由(1)得 bn1(4n 3)(4n 1)14( 14n 3 14n 1)所以 Tn 14(1 15) (15 19) (19 113) ( 14n 3 14n 1) .14(1 14
7、n 1) 1418(本小题满分 12 分)如图 61，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面ABCD， AB AD， BAD60， E， F 分别是 AP， AB 的中点图 61求证：(1)直线 EF平面 PBC；(2)平面 DEF平面 PAB.解 略19(本小题满分 12 分)已知 f(x) x2 ax b.(1)求 f(1) f(3)2 f(2)；(2)求证：| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|中至少有一个不小于 . 12【导学号：79140424】解 (1)因为 f(1) a b1， f(2)2 a b4， f(3)3 a b9，所以 f(1) f(3)2 f(2)2.(2
8、)假设| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|都小于 ，则 f(1) ， f(2)12 12 12 12 ， f(3) .12 12 12所以12 f(2)1，1 f(1) f(3)1，所以2 f(1) f(3)2 f(2)2，这与 f(1) f(3)2 f(2)2 矛盾，所以假设错误，即所证结论成立20(本小题满分 12 分)已知变量 x， y 满足条件 Error!z2 x y.设 z 的最大值、最小值分别为 M， m.(1)若 a0， b0，且 m，试求 12a36 b5 的最小值；1a 1b(2)若 m a b M，试求 a2 b2的最小值解 (1)218 (2)39221(本小
9、题满分 12 分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在 10 吨至 25 吨时，月生产总成本 y(万元)可以看成月产量 x(吨)的二次函数当月产量为 10 吨时，月总成本为 20 万元；当月产量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元(1)写出月总成本 y(万元)关于月产量 x(吨)的函数解析式；(2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润；(3)若 x10， c(10 c25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？解 (1)由题意，设 y a(x15) 217.5( a0)，把 x10， y20 代入，得 25a2017.5，
10、 a ，所以 y (x15) 217.5110 110 x23 x40， x10,25110(2)设月利润为 g(x)，则g(x)1.6 x (110x2 3x 40) (x246 x400)110 (x23) 212.9，110因为 x10,25，所以当 x23 时， g(x)max12.9.即当月产量为 23 吨时，可获最大利润(3)每吨平均成本为 x 32 31.yx 110 40x 4当且仅当 ，即 x20 时“”成立x10 40x因为 x10， c，10 c25，所以当 20 c25 时， x20 时，每吨平均成本最低，最低为 1 万元当 10 c20 时， x 3 在10， c上单
11、调递减，yx 110 40x所以当 x c 时， min 3.(yx) c10 40c故当 20 c25 时，月产量为 20 吨时，每吨平均成本最低，最低为 1 万元；当 10 c20 时，月产量为 c 吨时，每吨平均成本最低，最低为 万元(c10 40c 3)22(本小题满分 12 分)在数列 an， bn中， a12， b14，且 an， bn， an1 成等差数列，bn， an1 ， bn1 成等比数列( nN )(1)求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此猜测 an， bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明： . 1a1 b1 1a2 b2 1an bn 512【导
12、学号：79140425】解 (1)由条件得 2bn an an1 ， a bnbn1 ，2n 1由此可得 a26， b29， a312， b316， a420， b425，猜测 an n(n1)( nN )，bn( n1) 2(nN )用数学归纳法证明：当 n1 时，由上可得结论成立假设当 n k(k1， kN )时，结论成立，即 ak k(k1)， bk( k1) 2，那么当 n k1 时， ak1 2 bk ak2( k1) 2 k(k1)( k1)( k2)， bk1 ( k2) 2，a2k 1bk (k 1)2(k 2)2(k 1)2所以当 n k1 时，结论也成立由，可知 an n(n1)， bn( n1) 2对一切正整数都成立(2)当 n1 时， .1a1 b1 16 512当 n2 时，由(1)知 an bn n(n1)( n1) 2( n1)(2 n1)2( n1) n.所以 ，1an bn 12n(n 1)故 1a1 b1 1a2 b2 1an bn 16 12 123 134 1n(n 1) 16 1212 13 13 14 1n 1n 1 .16 12(12 1n 1) 16 14 512由可知原不等式成立
