1、课时分层训练(三十七) 归纳与类比A 组 基础达标一、选择题1正弦函数是奇函数， f(x)sin( x21)是正弦函数，因此 f(x)sin( x21)是奇函数，以上推理( )A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确C 因为 f(x)sin( x21)不是正弦函数，所以小前提不正确2如图 643，根据图中的数构成的规律，得 a 表示的数是( )图 643A12B48C60D144D 由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a1212144.3(2017陕西渭南一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如(如图 644)：图 644他们研究
2、过图中的 3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列 an，那么 a9的值为( ) 【导学号：79140206】A45 B55C65 D66B 第 1 个图中，小石子有 312 个，第 2 个图中，小石子有 6123 个，第 3 个图中，小石子有 101234 个，故第 9 个图中，小石子有 12310 55 个，即 a955，故选 B.101124如图 645 所示，椭圆中心在坐标原点， F 为左焦点，当 时，其离心率为 ，FB AB 5 12此类椭圆被称为“黄金椭圆” 类比“黄金椭圆” ，可推算出“黄金双曲线”的离心率 e等
3、于( )图 645A. B5 12 5 12C. 1 D 15 5A 设“黄金双曲线”方程为 1，x2a2 y2b2则 B(0， b)， F( c,0)， A(a,0)在“黄金双曲线”中，因为 ，所以 0.FB AB FB AB 又 ( c， b)， ( a， b)FB AB 所以 b2 ac.而 b2 c2 a2，所以 c2 a2 ac.在等号两边同除以 a2，得 e .5 125(2018南昌一模)我国古代数学名著九章算术中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有 90 钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半
4、以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有( )A28 钱 B32 钱C56 钱 D70 钱B 设甲、乙、丙手上各有钱 x， y， z，则由题意可得Error!三式相加得x y z108，则 y 70，解得 y32，故选 B.108 y2二、填空题6若 P0(x0， y0)在椭圆 1( a b0)外，过 P0作椭圆的两条切线的切点为 P1， P2，x2a2 y2b2则切点弦 P1P2所在的直线方程是 1，那么对于双曲线则有如下命题：若x0xa2 y0yb2P(x0， y0)在双曲线 1( a0， b0)外，过 P0作双曲线的两条切线，切点为x2a2 y2b2
5、P1， P2，则切点弦 P1P2所在直线的方程是_ 1 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线 1 的切点弦方程为x0xa2 y0yb2 x2a2 y2b2 1.x0xa2 y0yb27观察下列等式：11234934567254567891049照此规律，第 n 个等式为_n( n1)( n2)(3 n2)(2 n1) 2 由前 4 个等式可知，第 n 个等式的左边第一个数为 n，且连续 2n1 个整数相加，右边为(2 n1) 2，故第 n 个等式为n( n1)( n2)(3 n2)(2 n1) 2.8(2018重庆调研(二)甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换三人都读完了这三本
6、书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同 ”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同 ”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是_读的第一本书. 【导学号：79140207】丙 因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书三、解答题9设 f(x) ，先分别求 f(0) f(1)， f(1) f(2)， f(2) f(3)，然后归纳猜13x 3想一般性结论，并给出证明解 f(0) f(1) 130 3 131 3 ，11 3 13 3 3 12 3 36 33同理可得： f(1) f(2) ，33f(2) f(3)
7、，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于 1.33归纳猜想得：当 x1 x21 时，均有 f(x1) f(x2) .3310已知 O 是 ABC 内任意一点，连接 AO， BO， CO 并延长，分别交对边于A， B， C，则 1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积OAAA OBBB OCCC法”： 1.OAAA OBBB OCCC S OBCS ABC S OCAS ABC S OABS ABC S ABCS ABC请运用类比思想，对于空间中的四面体 ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明解 在四面体 ABCD 中，任取一点 O，连接 AO， DO， BO， CO 并延长，
8、分别交四个面于 E， F， G， H 点则 1.OEAE OFDF OGBG OHCH证明：在四面体 OBCD 与 ABCD 中， .OEAE h1h13S BCDh113S BCDh VOBCDVABCD同理有 ； ； .OFDF VOABCVDABC OGBG VOACDVBACD OHCH VOABDVCABD所以 OEAE OFDF OGBG OHCHVOBCD VOABC VOACD VOABDVABCD 1.VABCDVABCDB 组 能力提升11给出以下数对序列：(1,1)；(1,2)(2,1)；(1,3)(2,2)(3,1)；(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；记第 i
9、行的第 j 个数对为 aij，如 a43(3,2)，则 anm( )A( m， n m1) B( m1， n m)C( m1， n m1) D( m， n m)A 由前 4 行的特点，归纳可得：若 anm( a， b)，则 a m， b n m1，所以anm( m， n m1)12(2016全国卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_1 和 3 法一：由题意得丙的卡片
10、上的数字不是 2 和 3.若丙的卡片上的数字是 1 和 2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3，则甲的卡片上的数字是 1 和 3，满足题意；若丙的卡片上的数字是 1 和 3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3，则甲的卡片上的数字是 1 和 2，不满足甲的说法故甲的卡片上的数字是 1 和 3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是 2，所以丙的卡片上必有数字 2.又丙的卡片上的数字之和不是 5，所以丙的卡片上的数字是 1 和 2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是 1，所以乙的卡片上的数字是 2 和 3，所以甲的卡片上的数字是 1 和 3.13某同学在一次研究性学习中发现，以下
11、五个式子的值都等于同一个常数：sin 213cos 217sin13cos 17；sin 215cos 215sin 15cos 15；sin 218cos 212sin18cos12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos 48；sin 2(25)cos 255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【导学号：79140208】解 (1)选择式，计算如下：sin215cos 215sin 15cos 151 sin 30121 .14 34(2)法一：三角恒等式为s
12、in2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34证明如下：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 )sin 2 (cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin 2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin234 32 14 32 12 sin2 cos2 .34 34 34法二：三角恒等式为sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34证明如下：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) sin (cos 30 cos sin 30sin )1 cos 22 1 cos(60 2 )2 cos 2 (cos 60cos 2 sin 60sin 2 ) sin cos 12 12 12 12 32 sin212 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 (1cos 2 )12 12 12 14 34 34 141 cos 2 cos 2 .14 14 14 34
