1、5.3 与圆有关的位置关系A 组 2015 年全国中考题组一、选择题1(2015浙江衢州， 10，3 分)如图，已知等腰ABC，ABBC ，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D，过点 D 的O 的切线交 BC 于点 E，若CD5，CE4，则O 的半径是 ( )A3 B4 C. D.256 258解析 连结 DB，OD 易得 DEBC， CDEABD，利用对应线段的比相等，可求得直径 AB，再求得半径答案 D2(2015湖北宜昌， 11，3 分)如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上已知铁片的圆心为 O，三角尺的直角顶点 C 落在直尺的 10 cm 处，铁片与直尺的唯一公共点
2、A 落在直尺的 14 cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为 B，下列说法错误的是 ( )A圆形铁片的半径是 4 cmB四边形 AOBC 为正方形C弧 AB 的长度为 4 cmD扇形 OAB 的面积是 4 cm 2解析 由题意得：BC，AC 分别是O 的切线，B，A 为切点，OACA，OBBC.又C90，OAOB，四边形 AOBC 是正方形，OAAC4，故 A，B 正确； 的长度为： 2，故 C 错误；S 扇AB 904180形 OAB 4，故 D 正确9042360答案 C3(2015四川泸州， 8，3 分)如图，PA ，PB 分别与 O相切于 A，B 两点，若C65，则P 的度数为 ( )A
3、65 B130 C50 D100解析 PA，PB 是O 的切线，OAAP，OBBP ，OAPOBP90 .又AOB2C130，则P360 (9090130 )50.答案 C4(2015福建漳州， 9，4 分)已知P 的半径为 2，圆心在函数 y 的图象上8x运动，当P 与坐标轴相切于点 D 时，则符合条件的点 D 的个数为( )A0 B1 C2 D4解析 根据题意可知，当P 与 y 轴相切于点 D 时，得 x2.把 x2 代入y 得 y4，D(0 ， 4)，(0 ，4)；当P 与 x 轴相切于点 D 时，得8xy2. 把 y2 代入 y 得 x4 ，D(4，0)， (4，0)，符合条件的8x点
4、 D 的个数为 4.答案 D二、填空题5(2015浙江绍兴， 14，5 分)在 RtABC 中，C90，BC3，AC4，点 P 在以 C 为圆心，5 为半径的圆上，连结 PA， PB.若 PB4，则 PA 的长为_解析 连结 CP，延长 PB 交C 于 P，连结 PA，如图CP 5，CB3，PB4，CB 2PB 2CP 2，CPB 为直角三角形，CBP90， CBPB，PBPB4.C90，PBAC ，而PBAC4， 四边形 ACBP 为矩形，PABC3，在 RtAPP中，PA3.PP 8，P A ，PA 的长为 3 或 .82 32 73 73答案 3 或 73三、解答题6(2015浙江温州，
5、 21，10 分)如图，AB 是半圆 O的直径，CDAB 于点 C，交半圆于点 E，DF 切半圆于点 F.已知AEF135.(1)求证：DFAB ；(2)若 OCCE，BF 2 ，求 DE 的长2(1)证明 连结 OF，DF 切半圆 O 于点F，DFOF.AEF135，四边形 ABFE为圆内接四边形，B45.FOA 90，AB OF，DF AB .(2)解 连结 OE，BF2 ，FOB 90 ，OB OF2.2OCCE ，CEAB，OEOF2，CE .2DCOF，DFAB ， DCOF2.DE DCCE2 .27(2015浙江杭州， 19，8 分)如图 1，O 的半径为 r(r0)，若点 P在
6、射线OP 上，满足 OPOPr 2，则称点 P是点 P 关于O 的“反演点” 如图 2，O 的半径为 4，点 B 在O 上，BOA60，OA8，若点A，B分别是点 A，B 关于O 的反演点，求 A B的长解 设 OA 交O 于 C，连结 BC，如图，OA OA4 2，而 r4，OA8，OA 2.OB OB4 2，OB 4，即点 B 和 B重合BOA60 ，OBOC，OBC 为等边三角形而点 A为 OC 的中点，BAOC.在 Rt OAB中，sinAOB ，A BOBAB4sin 602 .38(2015浙江湖州， 20，8 分)如图，已知 BC 是 O 的直径，AC 切O 于点 C，AB 交O
7、 于点 D，E 为 AC 的中点，连结 DE.(1)若 ADDB，OC5，求切线 AC 的长；(2)求证：ED 是O 的切线(1)解 连结 CD，BC 是O 的直径，BDC90，即 CDAB .AD DB，ACBC2OC10.(2)证明 连结 OD.ADC90，E 为 AC 的中点，DE EC AC，1212.ODOC，34.AC 切O 于点 C，ACOC .132490，即 DE OD，DE 是 O 的切线B 组 20142011 年全国中考题组一、选择题1(2013浙江杭州， 7，3 分)在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是( )A若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能
8、垂直B若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有 4个公共点C若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径解析 A如图 ，则 A 不正确；B.如图 ，则 B 不正确；C.如图 ，则 C 正确；D.如图 ，则 D 不正确故选 C.答案 C2(2012浙江嘉兴， 4，4 分)如图，AB 是O 的弦，BC与O 相切于点 B，连结 OA、OB.若ABC 70 ，则A 等于 ( )A15 B20C30 D70解析 BC 与O 相切于点 B，OBBC，OBC90. ABC70，OBAOBCABC907020 .OAOB，A OB
9、A20.答案 B3(2011浙江金华， 10，3 分)如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )A点(0 ，3) B点(2，3)C点 (5，1) D点(6 ，1)解析 连结 AC，作 AC 的垂直平分线 BO，交格点于点 O，则点 O就是 所在圆的圆AC 心过格点 A，B，C 作一圆弧， 三点组成的圆的圆心为：O(2 ，0)只有OBD EBF90时，BF 与圆相切，当BO DFBE 时，EFBD2，F 点的坐标为：(5 ，1)，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：(5 ，1) 答案 C4(2011浙江台州， 10，
10、4 分)如图，O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切O 于点 Q，则 PQ 的最小值为( )A. B.13 5C3 D2解析 PQ 切O 于点 Q， OQP90，PQ 2OP 2OQ 2，而OQ2，PQ 2OP 24，即 PQ ，当 OP 最小时，PQ 最小OP2 4点 O 到直线 l 的距离为 3，OP 的最小值为 3，PQ 的最小值为 .9 4 5答案 B二、填空题5(2013浙江嘉兴， 14，5 分)在同一平面内，已知线段 AO2，A 的半径为1，将A 绕点 O 按逆时针方向旋转 60得到的像为B，则A 与B 的位置关系为_解析 A
11、 绕点 O 按逆时针方向旋转 60得到的B，OAOB，AOB60 ，OAB 为等边三角形，ABOA2.A、B 的半径都为 1，AB11，A 与B 外切答案 外切6(2013浙江台州， 14，5 分)如图，在O 中，过直径AB 延长线上的点 C 作O 的一条切线，切点为 D，若 AC7，AB4，则 sin C 的值为_解析 连结 OD，CD 切 O 于 D，ODDC，在O 中，OA ODAB2，OCACOA5.12在 RtODC 中，sin C .ODOC 25答案 257(2011浙江衢州， 16，4 分)木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 r，用角尺的较短边紧靠O，并使较长边与O 相切于
12、点 C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为 B，较短边 AB8 cm，若读得 BC 长为 a cm，则用含 a 的代数式表示 r 为_解析 如图 1 所示，r8 时，OABA，OCBC ，B90，AOCO，四边形 OABC 是正方形， BCCO， ra；当 r8 时，如图 2：连结 OC， BC 与O 相切于点 C， OCBC，连结OA，过点 A 作 ADOC 于点 D，则四边形 ABCD 是矩形，即ADBC，CDAB.在 RtAOD 中，OA 2OD 2AD 2，即：r 2(r 8) 2a 2，整理得：r a24.116答案 r8 时，ra，当 r8 时，r a241168. (2013浙
13、江杭州，16 ，4 分) 射线 QN 与等边ABC 的两边 AB，BC 分别交于点 M，N，且 ACQN ，AM MB2 cm，QM4 cm.动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1 cm 的速度向右移动，经过 t 秒，以点 P 为圆心， cm 为半径的圆与ABC 的边相切(切点3在边上)，请写出 t 可取的一切值_(单位：秒)解析 因为该圆的半径为 ，圆心 P 从 Q 点3开始运动时会与圆 3 次相切，而AMMB，ACQN，所以 MN 为正三角形ABC 的中位线，MN2.(1)当圆与正三角形 AB 边相切时，如图 1，则PD ，易得 DM1，PM2，则 QP2，则 t2；3(2)当
14、圆与正三角形 AC 边相切时，如图 2，事实上圆的半径刚好等于 AC 与射线 QN 之间的距离 ，所以 AP ，则3 3PM1，QP3，同理 NP1，QP 7，而在此之间圆始终与 AC 边相切，所以3t7.(3)当圆与正三角形 BC 边相切时，如图3，则 PD ，易得 DN1，PN2，则3QP8 ，则 t8，综上所述，t2 或 3t7 或 t8.答案 t2 或 3t7 或 t8三、解答题9. (2013浙江湖州，20， 8 分)如图，已知 P 是O 外一点，PO 交O 于点 C，OCCP2，弦ABOC，劣弧 AB 的度数为 120，连结 PB.(1)求 BC 的长；(2)求证：PB 是O 的切
15、线图 1图 2图 3(1)解 连结 OB，弦 ABOC，劣弧 AB 的度数为 120，COB60.又OCOB.OBC 是正三角形，BCOC2.(2)证明：BC CP ，CBPCPB.OBC 是正三角形，OBCOCB60.CBP30，OBP CBPOBC 90，OB BP.点 B 在O 上，PB 是O 的切线10. (2014浙江丽水，22，10 分)如图，已知等边ABC，AB12. 以 AB 为直径的半圆与 BC 边交于点D，过点 D 作 DFAC，垂足为 F，过点 F 作FGAB ，垂足为 G，连结 GD.(1)求证：DF 是O 的切线；(2)求 FG 的长；(3)求 tanFGD 的值(1
16、)证明 连结 OD.以等边三角形ABC 的边 AB 为直径的半圆与 BC边交于点 D，BCODB60，ODAC，CFDODF.DF AC，CFDODF90，即 ODDF .OD 是以边 AB 为直径的半圆的半径，DF 是 O 的切线(2)解 OD AC，点 O 为 AB 的中点，OD 为ABC 的中位线，BD CD6.在 Rt CDF 中，C 60 ，CDF30，CF CD3，12AFACCF1239.在 Rt AFG 中，A60，FG AFsin A9 .32 932(3)解 作 DEFG 于 E，垂足为 E.在 Rt CDF 中，DFCDsin 606 3 ，32 3在 Rt DEF 中，DFE 60，DEDFsin 603 ，332 92EFDFcos 603 ，312 323EG FG EF 3 ，923 323 3tanFGD .9233 32
