1、方程与方程组教学准备一. 教学目标：1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义，2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。3. 列一元一次方程 二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。二. 教学重点与难点1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用 2. 列方程解决生活实际中的问题三.知识要点知识点 1、方程（组）的解（整数解）等概念。使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解知识点 2、一元一次方程及二元一次方程组的定义只含有一个未知数并且未知数的次数是 1 系数不为 0 的方程叫做
2、一元一次方程几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组知识点 3、一元一次方程、二元一次方程组的解法一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为 1二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程知识点 4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以 转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当 y0 时，求 x 的值。从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。知 识 点 5、 一 元 二 次 方 程 的 定 义ax2
3、bx c 0（ a 0） ， a， b， c 均 为 常 数 ， 尤 其 a 不 为 零 要 切 记 。知识点 6、一元二次方程的几种解法如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。知识点 7、分式方程的解法（1）去分母，把分式方程转化为整式方程（2） 解整式方程（3）检验知识点 8、解分式方程要验根的原因解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为 0 的整式.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.知识点 9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。例题精讲例 1. 选择题（1）中央
4、电视台 2 套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ D ）个正方体的重量。A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （2）如图给出的是 2007 年某月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ D ） A. 69 B. 54 C. 27 D. 40（3）小明的父亲到银行存入 20000 元人民币，存期一年，年利率为 1.98%，到期后应交纳所获利息的 20%的利息税，那么小明的父亲存款到期交利息税后共得款（ D ）A. 20158.4 元 B. 20198 元 C. 20396 元 D. 20316.
5、8 元（4）我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股 10 元的价格买入上海某股票 1000 股，当该股票涨到 12 元时全部卖出，该投资者实际盈利为（ C ）A. 2000 元 B. 1925 元 C. 1835 元 D. 1910 元（5）一件商品按成本价提高 40%后标价，再打 8 折（标价的 80%）销售，售价为 240 元，设这件商品的成本价为 x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ B ） A. x40%80%240 B. x（140%）80%240C. 24040%80%x D. x40%24080%（6）在 33 方格上做填字游戏，要求每行每列及对
6、角线上三个方格中的数字和都等于 S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（ B ） 108 13A. S24 B. S30 C. S31 D. S39（7）已知方程组 的解为 ，则 2a3b 的值为（ B ）42axby21xyA. 4 B. 6 C. 6 D. 4（8）如图，平行四边形 的周长是 48，对角线 与 相交于点 ， 的周长比ABCDACDOAD的周长多 6，若设 ， ，则可用列方程组的方法求 ， 的长，这个方程组可以AOB xy B是：（ A ） （ 第 8题 图 ） A. B. C. D. 2()486xy2()486xy486xy486xy（9）如图，已知函数 yaxb
7、 和 ykx 的图象交于点 P，则根据图像可得，关于 的二元,axbyk一次方程组的解是（ C ）A. 44.22xxByy4422xxCDyy（10）不解方程判别方程 2x23x40 的根的情况是（ B ）A. 有两个相等实数根； B. 有两个不相等的实数根；C. 只有一个实数根； D. 没有实数根（11）在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周 镶一条金色纸边，制成一幅矩形图如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是（ B ）A. x2130x14000 B. x265x3500C. x2130x14000 D. x265x350
8、0（12）两圆的半径分别是方程 x23x20 的两根。且圆心距 d1，则两圆的位置关系是（ B ）A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交（13）已知 x 是实数，且 ，那么 x23x 的值为（ B ）)3(2A. 1 B. 3 或 1 C. 3 D. 1 或 3（14）分式 的值为 0，则 x 的取值为（ A ） 。2xA. x3 B. x3 C. x3 或 x1 D. x3 或 x1（15）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m的值为（ C ）462mxA. 2 B. 0 C. 1 D. 2例 2. 填空题（1）我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月
9、用水不超过 7 立方米，则按每立方米 1 元收费；若每月用水超过 7 立方米，则超过部分按每立方米 2 元收费，如果某居民户今年 5 月缴纳了 17 元水费，那么这户居民今年 5 月的用水量为 12 立方米。 （2）把一张面值 50 元的人民币换成 10 元、5 元的人民币，共有 4 种换法（3）若一个等腰三角形三边长均满足方程 x26x80，则此三角形的周长为 10（4）当 k 的值是 0（填出一个值即可）时，方程 只有一个实数根。xk21例 3. 方程（m1）x |m|1 （m3）x10（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时，方程是一元一次方程解：（1
10、）m1，x 1 （2）m0 或 m123,x例 4. 某校的一间阶梯教室，第 1 排的座位数为 a，从第 2 排开始，每一排都比前一排增加 b 个座位。请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：第 1 排的座位数 第 2 排的座位数 第 3 排的座位数 第 4 排的座位数 a ab a2b 已知第 4 排有 18 个座位，第 15 排座位数是第 5 排座位数的 2 倍，求第 21 排有多少个座位？解：（1） 3（2）依题意得 )4(218ba解得 ba1220252答：第 21 排有 52 个座位.例 5. 某印刷厂 1月份印刷了书籍 60万册，第一季度共印刷了 200 万册，问 2、3 月份平
11、均每月的增长率是多少？解：设 2、3 月份平均每月的增长率为 x，即 6060（1x）60（1x） 2200设增长率为 x 列方程 6060（1x）60（1x） 2200例 6. 探究：（1）方程 x22x10 的根为 x1_，x 2_，则 x1x 1_，x 1x2_；（2）方程 x23x10 的根为 x1_，x 2_，则 x1x 2_，x 1x2_；（3）方程 3x24 x70 的根为 x1_，x 2_，则 x1x 2_ _，x 1x2_ 由（1） （2） （3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想请用你的猜想解答下题已知 2 是方程 x24xC0 的一个根求方程的另一个根及 C 的值解：（1）
12、x 11，x 21，x 1x 22，x 1x21 （2）x 1 ，x 1x 23，x 1x21 33,（3）x 11，x 2 ，x 1x 2 ，x 1x2 747猜想：ax 2bxc0 的两根为 x1与 x2，则 x1x 2 ，x 1x2 ，证明略bac应用：另一根为 2 ，C13例 7. 某体育彩票经销商计划用 45000元从省体彩中心购进彩票 20 扎，每扎 1000 张，已知体彩中心有A，B，C 三种不同价格的彩费，进价分别是 A种彩票每张 1.5 元，B 种彩票每张 2 元，C 种彩票每张 2.5 元（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票 20 扎，用去 45000 元，请你设计进票
13、方案；（2）若销售 A 型彩票一张获手续费 0.2 元，B 型彩票一张获手续费 0.3 元，C 型彩票张获手续费 0.5元在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？（3）若经销商准备用 45000 元同时购进 A，B，C 三种彩票 20 扎，请你设计进票方案解：可设经销商从体彩中心购进 A 种彩票 x 张，B 种彩票 y 张，C 种彩票 z 张，则可分以下三种情况考虑：（1）只购进 A 种彩票和 B 种彩票，依题意可列方程组 102,.54x解得 x0，所以无解只购进 A 种彩票和 C 种彩票，依题意可列方程组 ，102,50.541xzxz得只购进 B 种彩票和
14、 C 种彩票，依题可列方程组 ，综上所述，若经2,102.540yyz得销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行，即 A 种彩票 5 扎，C 种彩票 15 扎或 B 种 彩票与 C 种彩票各 10 扎（2）若购进 A 种彩票 5 扎，C 种彩票 15 扎，销售完后获手续费为 0.250000.5150008500（元） ；若购进 B 种彩票与 C 种彩票各 10 扎，销售完后获手续费为 0.3100000.5100008000（元） ，为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为 A 种彩票 5 扎，C 种彩票 15 扎（3）若经销商准备用 45000 元同时购进 A，B，C 三种彩票共
15、20 扎设购进 A 种彩票 x 扎，B 种彩票 y 扎，C 种彩票 z 扎，则 20, 210,1.512.5104xy yxyzz 1x5，又x 为正整数，共有 4 种进票方案，即 A 种 1 扎，B 种 8 扎，C 种 11 扎，或 A 种 2 扎，B 种 6 扎，C 种12 扎，或 A 种 3 扎，B 种 4 扎，C 种 13 扎，或 A 种 4 扎，B 种 2 扎，C 种 14 扎课后练习一. 填空题： 1. 方程 2xy5 的所有正整数解为2. 若 是方程 3ax2y2 的解，则 a21x3. 当 a 时，方程 （a1） x 2x20 是一元二次方程。4. 方程 的解为25. 如果方
16、程 有增根，那么 mxx6. 3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要场比赛，则 5 名同学一共需要比赛。7. 如图，四个一样大的小矩形拼成一个大矩形，如果大矩形的周长为 12cm，那么小矩形的周长为cm。8. 长 20m、宽 15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的 ，若四周未铺地毯的留空宽21度相同，则留空的宽度为。二. 选择题： 1. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）A. xy1 B. C. x2x1 D. x11x2. 已知 3x2y0，则 2x4y3 的值为（ ）A. 3 B. 3 C. 1 D. 03. 用“加减法”将方程组 中的 x 消去后得
17、到的方程是（ ）1y4x293A. y8 B. 7y10 C. 7y8 D. 7y104. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）A. x35 B. xy3 C. D. 2x2100x125. 若关于 x 的方程 无解，则 a 的值等于（ ）1a2A. 0 B. 1 C. 2 D. 46. 方程 2x（x2）3 （x2）的根是（ ）A. B. x2 C. D. 2x,3123x7. 把方程 x234x 配方得（ ）A. （x2） 27 B. （x2） 21 C. （x2） 21 D. （x2） 228. 二元二次方程组 的解是（ ）0,3yA. B. 5,2;,1xy 5,2;,1yxC. D.
18、,;2,1 ,;2,19. 在 2006 年德国世界杯足球赛中，32 支足球队将分为 8 个小组进行单循环比赛，小组比赛规则如下：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分若小组赛中某队的积分为 5 分，则该队必是（ ）A. 两胜一负 B. 一胜两平 C. 一胜一平一负 D. 一胜两负10. 某车间原计划 x 天内生产零件 50 个，由于采用新技术，每天多生产零件 5 个，因此提前 3 天完成任务，则可列出的方程为（ ）A. B. C. D. 503x53x05x033x011. 把一个小球以 20m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中高度 h（m）与时间 t（s）满足关系：h20t5
19、t 2，当 h20 时，小球的运动时间为（ ）A. 20s B. 2s C. D. s)2( s)2(12. 某商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔 25 元，若按定价的九折出售将赚 20 元，则这种商品的定价为（ ）A. 280 元 B. 300 元 C. 320 元 D. 200 元三. 解答题1. 我国第一条城际铁路合宁铁路（合肥至南京）建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由原来的312km 缩短至 154km，设计时速是原来时速的 2.5 倍，旅客列车运行时间比原来缩短约 3.13h，求合宁铁路的设计时速。2. 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出
20、 600 个调查表明：这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个为了实现平均每月 10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？请你利用方程解决这一问题3. 机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到 70 千克，用油的重复利用率仍然为 60%。问甲车间技术革新后，加工一台大型
21、机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少 1 千克，用油量的重复利用率将增加 1.6%这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？4. 某玩具厂工人的工作时间规定：每月 25 天，每天 8h，待遇：按件订酬，多劳多得，每月另加福利工资100 元，按月结算。该厂生产 A、B 两种产品，工人每生产一件 A 产品，可得到报酬 0.75 元，每生产一件 B 种产品，可得报酬 1.40 元
22、，下表记录了工人小李的工作情况：生产 A 种产品件数（件） 生产 B 种产品件数（件） 总时间（min）1 1 353 2 85根据上表提供的信息，请回答下列问题：（1）小李每生产一件 A 种产品、每生产一件 B 种产品，分别需要多少分钟？（2）如果生产各种产品的数目没有限制，那么小李每月的工资数目在什么范围之内？练习答案一. 填空题： 1. 2. a2 3. a1 4. 0 5. m3 6. 3 10 7. 6 8. 3y1x1y2x2.5m二. 选择题： 1. D 2. B 3. D 4. D 5. A 6. C 7. B 8. C 9. B 10. A 11. B 12. B 三. 解答
23、题1. 解：设旅客列车现行速度是 xkm/h，则 ，x80 经检验 x8013.5.2431x是原方程的根，而 2.580200。故设计时速是 200km/h。2. 解：设售价为 x 元，则（x30）600（x40）1010000，解得 x50，x80，即售价为 50 元时进 500 个售价为 80 元时进 200 个3. 解：（1）由题意，得 70（160%）7040%28（千克） （2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 x 千克由题意，得：x1（90x）1.6%60%12，整理得 x65x7500，解得：x 175，x 210（舍去） ， （9075）1.6%60%84%答：（1）
24、技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是 28 千克 （2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是 75 千克，用油的重复利用率是 84% 4. 解：设小李每生产一件 A 种产品、每生产一件 B 种产品分别需要 xmin 和 ymin，根据题意，得解之，得8523yx2015yx（2）方法一：设小李每月生产 A 种产品 x 件，B 种产品 y 件（x、y 均为非负整数） ，月工资数目为 w 元，根据题意，得 即0,14.75.681yxw80,0,3.0,943.756xxwy 时因 此 当由 于w 最大 0.30940，当 x800 时，w 最小 0.3800940700，因为生产各种产品的数目没有限制，所以 700w940，即小李每月的工资数目不低于 700 元而不高于 940 元。方法二：由（1）知小李生产 A 种产品每分钟可获利 0.05 元，生产 B 种产品每分钟可获利 0.07 元，若小李全部生产 A 种产品，每月的工资数目为 700 元，若小李全部生产 B 种产品，每月的工资数目为 940 元，小李每月的工资数目不低于 700 元而不高于 940 元。
