1、小学五年级奥数专题讲解之“最大公约数” 同学们知道，24 的约数有：1，2，3，4，6，8，12，24；42 的约数有：1，2，3，6，7，14，21，42.几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数.24 和 42的公约数有：1，2，3，6.几个自然数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数.24 与 42的最大公约数是 6，记作（24，42）6.16，72，84 的最大公约数是 4，记作（16，72，84）4.如果两个自然数的最大公约数是 1，那么就称这两个数互质.例如（4，9）1，称 4与 9互质.对于自然数 a、b，有a，b（a，b）ab.问题 1 有两个容器，一个容量为 27升
2、，一个容量为 15升，怎样利用它们从一桶油中倒出 6升油来？分析 油从 27升与 15升两个容器中倒进倒出而得到 6升油，就是用 27与 15经过若干次加减运算后得到数 6.解 （27，15）3.151213，215273，321527，6415227.所以，向小容器里倒 4次油，每倒满后就向大容器里倒，大容器注满了就往桶里倒.当大容器第二次倒满时，小容器里剩下的就是 6升油.问题 2 一块长方形的纸，长 75厘米，宽 60厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形的纸而无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？分析 要使这些面积相等的小正方形纸的边长最长，就是要求 75与 60的最大公约数.解 （75
3、，60）15.（7515）（6015）5420.答：可裁成 20张.问题 3 甲、乙、丙三个班的学生人数分别是 54、48、72.现要在各班分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同.问锻炼小组的人数最多是多少？这时甲、乙、丙三班共有多少个小组？分析 要使各小组的人数相等且人数最多，就是求 54、48、72 的最大公约数.解（54，48，72）6.（544872）629.答：锻炼小组的人数最多是 6，这时甲、乙、丙三班共有 29个小组.问题 4 工人加工零件，第一批毛坯 1788个，第二批毛坯 1680个，第三批毛坯2098个.现平均分给工人，分别剩 7个、3 个、5 个.问加工的工人最多有多
4、少？分析 所求工人的最多人数是 1788-71781、1680-31677、2098-52093 三个数的最大公约数.解 1788-71781，1680-31677，2098-52093.（1781，1677，2093）13.答：加工的工人最多有 13人.问题 5 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的 1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长 280厘米.现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段？分析 先求出三根钢管各自的长度，再求出这三根钢管长度数的最大公约数.解 依题意，第三根钢管的长度是第二根钢管长度的 2.4倍.280（2.4-1）200.2001.2 240
5、.2402480.（200，240，480）40.（200240480）4023.答：共可以截成 23段.问题 6 有 320个苹果、240 个桔子、200 个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？分析 所求果品的份数，就是 320、240、200 的最大公约数.解（320，240，200）=40.32040=8，24040=6，20040=5.答：用这些果品最多可分成 40份.在每份礼物中，有 8个苹果、6 个桔子、5个梨.问题 7已知甲、乙两数的比为 53，并且它们的最大公约数与最小公倍数的和是 1040.求甲数和乙数.分析 因为 5与 3互质,
6、 所以甲数=最大公约数5，乙数=最大公约数3.它们的最小公倍数=最大公约数53.解 最大公约数为 1040（151）=65.655=325，653=195.答：甲数为 325，乙数为 195练习1.某校订购了数学、语文、英语资料各 228册、114 册、84 册现平均分成若干份，每份中这三种资料的数量分别相等那么最多可分成几份？2.某商店经销某种货物，去年总金额为 36963元，今年每件货物的售价（单价）不变，总金额为 59570 元.如果单价（以元为单位）是大于 1的整数，问单价是多少元？3.现有铁丝三根，一根长 12米，一根长 18米，一根长 42米.要把三根铁丝截成同样长的若干段且都不许有剩余，每段最长为几米？一共可以截成多少段？4.把一张长 147厘米、宽 105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是 53 的长方形纸，且没有剩余.问最少可截成几张？5.有一块长方体木料，长 72厘米，宽 60厘米，高 36厘米.要把这块木料锯成同样大小的正方体木块，木块的体积要最大，且不能有剩余.问可锯成几块？6.已知两个不相等（且都不为 1）的自然数的最小公倍数是 42，这样的两个数一共有几组？请分别写出来.
