1、第5章 特殊平行四边形,5.1 矩形（第2课时）,矩形的判定,例1 如图，已知 ABCD的四个内角平分线相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形.,分析：要证四边形EFGH为矩形，而四边形EFGH的四个内角的构造方式相同，只要能证明其中一个是直角，就可以同理证得其余各角也为直角.,证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAB+CBA=180， AG，BG分别平分DAB，ABC，GAB+GBA=90， G=90，同理GHE=90，E=90， 四边形EFGH为矩形.,注意点：矩形判定有多种方法，要结合具体条件选择最简单的证明，比如本题若用定义来证，要证两步，不如直接用判定定理更简单
2、.,变式：已知：如图，D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，MA=MC. （1）求证：CD=AN； （2）若AMD=2MCD，求证：四边形ADCN是矩形.,答案：证明：（1）CNAB， DAC=NCA. 在AMD和CMN中， DAC=NCA，MA=MC，AMD=CMN（对顶角相等），AMDCMN（ASA）. AD=CN，又ADCN， 四边形ADCN是平行四边形，CD=AN；（2）AMD=2MCD，AMD=MCD+MDC，MCD=MDC. MD=MC. 四边形ADCN是平行四边形. AC=2MC，DN=2MD. AC=DN， 四边形ADCN是矩形.,矩形的动点问题,例2 如图，A
3、BC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的角平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F. （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.,分析：（1）可证它们都与OC相等；（2）由于易证ECF=90，故要使四边形AECF是矩形，只需证它是平行四边形即可，而EO=FO，故只需AO=OC即可.,证明：（1）CE平分BCA，ACE=BCE. 又MNBC，BCE=OEC，ACE=OEC，EO=CO. 同理，FO=CO. EO=FO； （2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.证明：EO=FO，点O是AC的中点， 四边形
4、AECF是平行四边形. 又ACE=BCE，ACF=GCF. ACE+ACF= 180=90，即ECF=90. 四边形AECF是矩形.,注意点：点在运动的过程中，OCE，OCF始终是等腰三角形，CEF始终是直角三角形，CO=EO=FO始终成立，这些变化过程中不变的结论是解题的关键.,例3 木工师傅接受了制作一个窗框的任务，要求必须是矩形，他制好后，要小明帮助检验一下是否是矩形，若你是小明，你能找出至少两种容易操作且容易测量准确的检验方法吗？请写出你的检验方法.,解：方法一：量其中三个角看是不是直角；方法二：量两组对边，看是否分别相等，并且有一个角是否是直角；方法三：量两组对边，看是否分别相等，再
5、量两条角线是否相等.,分析：要检验一个四边形是否是矩形，就是 按矩形的判定方法进行判定.,注意点：实际问题要建模为数学问题，再来解决 数学问题.,例1 如图，顺次连结四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH. 要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ） A. ABDC B. AB=DC C. ACBD D. AC=BD,正答：C,错答：D,错因：由于审题不严，以为对角线相等的四边形是矩形，从而选D，导致错解. 事实上，要判断的是四边形EFGH，而不是四边形ABCD. 此外，对角线相等的四边形也不一定就是矩形. 连结BD，由中位线的知识可知，顺次连结四边形ABCD各边中点得到的四边形EFGH
6、一定是平行四边形. 要使它为矩形，则只要有一个角为直角即可. 由平行线的性质，只要原来的对角线互相垂直即可.,例2 如图，M、N分别是 ABCD的边AD，BC的中点，且AD=2AB，BM与AN交于点P，CM与DN交于点Q. 求证：PMQN为矩形.,错答：连结MN. 在ABM与CDN中，AM= AD= BC=CN，MAB=NCD，AB=CD，ABMCDN. AMB=CND. 又ADBC，AMN=CNM. PMN=QNM. PMQN. 同理，PNMQ. 四边形PMQN为平行四边形. 又M是边AD的中点，PMQ=90. 四边形PMQN是矩形.,正答：连结MN. 在ABM与CDN中，AM= AD= B
7、C=CN，MAB=NCD，AB=CD，ABMCDN. AMB=CND. 又ADBC，AMN=CNM. PMN=QNM. PMQN. 同理，PNMQ.四边形PMQN为平行四边形. 又AM=BN且AMBN， 四边形ABNM为平行四边形. PM=PB，又AD=2AM，AD=2AB， AM=AB. MPN=90. 四边形PMQN是矩形.,错因：上述错解在证明平行四边形的一个角是直角时没有充分的依据. 矩形是特殊的平行四边形，即有一个角是直角的平行四边形，因而它具有平行四边形的所有性质. 矩形有它自己独特的而一般平行四边形没有的性质：四个角都是直角，对角线相等. 在学习过程中要避免将矩形的特殊性质运用到平行四边形上.,
