1、- 61 -有限元分析法在齿轮设计中的应用摘 要：现代机械零件不仅承受各种复杂机械载荷，还可能工作在热、电、磁、流体的环境中，因此零件设计不仅要考虑机械载荷，还应对其它因素的作用进行计算，本文在介绍了有限元分析软件功能，有限元分析软件的静力、动力分析方法基础上，介绍了如何使用有限元分析软件 ANSYS进行有限元分析，完成齿轮设计的方法。关键词：有限元分析； 模态； 质量矩阵； 等效应力引言有限元分析方法是随计算机发展起来，在计算数学、计算力学和计算工程科学领域的先进计算方法。其就是将复杂结构假设离散为有限数目的单元组合体，对复杂结构的物理性用离散法进行分析得出的近似结果来代替复杂计算，解决理论
2、分析无法解决的问题。有限元分析计算法已广泛应用，并开发出通用和专用软件，如 ANSYS、MSC/NASTRAN 等。有限元软件的前处理器，使用计算机视窗、图形技术和交互式操作方式等，建模效率高，特别是非线性问题的求解能力强。有限元软件的后处理器，用户容易获得和处理数值计算结果，并可利用图形功能进行深层次再加工。一般有限元分析软件支持工业数据/几何模型交换标准，与 CAD 设计系统或 CAD/CAE/CAM互留单向或双向接口。有限元软件有多种操作系统版本，例如Unix、Windows/NT 操作系统等，同时支持多种硬件平台。其中 ANSYS 功能强、操作方便、硬件适应性较好，与常用的CAD 软件
3、具有良好接口等优点。1. ANSYS 有限元分析软件1.1 ANSYS 功能介绍ANSYS 的功能包括：结构分析、结构非线性分析、热分析、电场分析、压电分析、电磁场分析、耦合场分析、流体流动分析、ANSYS 的材料与单元库等。ANSYS 有限元分析软件将有限元分析、优化设计和计算机图形学相结合，能够同时分析高阶多物理场耦合量及各独立物理场量，包括各种结构的静、动力线性- 62 -或非线性分；温度场的稳态或瞬态分析以及相变；计算流体动力学分析；声学分析和电磁分析。此外还提供目标设计优化、拓扑优化、概率有限元设计、二次开发技术等先进技术。功能覆盖了几乎所有的工程问题，ANSYS 程序有限元分析工作
4、分三个阶段：（1）前处理阶段：ANSYS 有较强的前处理功能，能建立机体这类复杂模型，利用 Smartsize 功能，自动处理不规则形状，其材料、单元库丰富，能定义各种材料（各向同性材料、各向异性材料、超弹性材料等）的参数。（2）求解阶段：定义分析类型及选项、加载和求解。求解用波前法求解器，能求解各种工程问题。波前法的消元次序是按单元编号进行的，组集和求解时消元交替进行。调入内存的单元所保留的波前节点，所消去节点的方程已经组集完全。（3）后置处理阶段：通过图形显示和列表输出评价分析结果。ANSYS 有两个后处理器，通用后处理器 POST1 来检查整个模型在待定载荷步和子载荷步的结果；时间历程后
5、处理器 POST26 用于检查模型中任一指定点的特定结果项随时间、频率或其它结果项目的变化规律。1.2 结构静力和动力分析静力分析计算固定不变载荷作用下结构的响应，计算不包括惯性和阻尼效应的载荷作用于结构或部件上引起的位移、应力、应变和力对结构的影响。也可以近似地为等价静力随时间变化载荷的作用进行计算，固定不变的载荷和响应是假定，即假定载荷和结构响应随时间的变化非常缓慢。ANSYS 程序中的静力分析除了线性的分析外，还包含非线性的分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触面。非线性静力分析通过逐步加载荷来完成。结构屈曲分析分为线性屈曲和非线性屈曲，ANSYS 对动力分析主要从几个方面考虑：
6、模态、瞬态动力、谐波响应、响应谱及随机振动。（1）模态分析：用于抽取结构的自然频率和模态形状。分析的结果确定瞬态动力分析的模态数和积分时间步长，瞬态求解过程需要模态分析的结果。ANSYS 程序还允许作预应力模态分析及在大变形分析后作模态分析。（2）瞬态动力分析：分为全瞬态动力方法、凝聚法和模态叠加法三种方法。皆用于基于动力分析的通用运动方程。（3）谐波响应分析：用于求解线性结构承受正弦变化载荷的响应。（4）响应谱分析：用于求解冲击载荷条件下的结构响应，该分析类型使用模态分析的结果连同已知谱，计算每个固有频率点在结构中发生的真实位移和应力。（5）随机振动分析：是一种谱分析，用于研究结构对随机激励
7、的响应。2、齿轮模态的有限元分析随机械结构向重载、高速轻质的方向发展，对机械结构进行动态设计的要求越来越迫切，而结构模态分析是结构动态设计的核心。在机械的结构设计中，研究结构振动最重要的就是避免共振，任何机械结构都可以看成多自由度的振- 63 -动系统，具有多个频率，这种在自由振动时结构所具有的基本振动特性称为结构的模态。结构模态是由结构本身的特性与材料特性所决定的，与外载荷无关，当多个自由度系统振动时，同时有多阶模态存在，每阶振动模态可用一组模态参数来确定，通常模态参数包括固有频率、固有振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等，其中最重要的是频率、振型和阻尼比。2.1 齿轮模态分析的有限单元法
8、 进行齿轮的模态分析时，首先应建立齿轮的有限元模型。模态分析的有限元模型是建立在静态有限元模型基础上的。在对齿轮进行模态分析时，由于求解的是齿轮的固有的振型和频率，所以不考虑外载荷作用。2.1.1 固有频率和固有振型在进行结构离散化以后，在运动状态中各节点的动力平衡方程如下： = （1MCKtP）在实际工程中，结构的固有频率和固有振型与所受外力 无关，而小阻t尼对固有频率和固有振型影响不大。因此常用无阻尼自由度振动方程求解结构的固有频率和固有振型，因此由式（1）简化为下式： =0 MK（2）设结构做下述简谐振动：= tcos（3）将（3）式代入（2）式：= （4-KM21）=0 （4-22）在
9、自由振动时，结构的各节点的振幅 不全为零，所以式（4-2）中大括号内的值必须等于零，由此得到结构自振频率方程，即 =0 MK2（5）由于结构离散后有 n 个自由度，则和 都是 n 阶方程，求解就可以得到 n 阶固有频率 、1、 、 ， 且有 2312。求出 后就可以由式（4-2）确i定对应于 的一组特征向量，即固有频率 i2.1.2 质量矩阵结构离散化后，常采用两种质量矩阵，即集中质量矩阵和协调质量矩阵。在单元数目相同的条件下，两种矩阵得出的计算精度相差不大。集中质量矩阵计算的振动频率稍低于用协调质量矩阵计算的频率。（1）集中质量矩阵单元的集中质量矩阵为dVmT（6）式中 为函数 的矩阵， 在
10、分ii- 64 -配给节点 i 的区域内取 1，在区域外取0。由于分配给各个节点的区域不能交错，所以由上式计算得质量矩阵是对角线的。（2）协调质量矩阵单元的集中质量矩阵为dVNmT（7）为单元的形函数矩阵， 为单元的密度。计算出来的单元质量矩阵，单元的动能和势能组成协调质量矩阵。应用集中质量矩阵计算，它是对角线矩阵，使动力学计算简化很多，应用协调质量矩阵时，在结构离散化后，保持了单元之间连续性的情况下，可以适用于更多类型的单元，尤其是计算精度较高、边界适应性更强的高次单元。2.2 齿轮有限元计算结果及分析 在有限元分析中，求解固有频率是解特征值问题，在求解过程中不出现病态矩阵，就可以解出在分析
11、频段内的全部主要模态，当具有 n 个自由度的结构必然有 n 个特征值，和 n 个特征向量与之相对应，因此用有限元方法计算出的结构的模态数是全面的。通常选取 099999Hz 作为计算频段，在这一频段中，包含 5 阶弹性模态。各阶固有频率见表 1，得出其固有振型图，图 1 至图 10。模态分析的方法可以发现齿轮结构动力特性存在的缺陷，经研究发现，让电机在最大转速转动，其齿轮的振动频率远远小于第一阶段固有频率。因此齿轮能够满足要求。表1 齿轮的各阶固有频率和振型特征Table1 Gear Various steps natural frequency and Inspire characteris
12、tic of gear模态阶数 固有频率（Hz） 振型特征1 14429 轴向扭转2 14843 弯曲3 48055 弯曲4 63793 弯曲5 86180 扭转图 1 一阶固有频率振型图Fig.1 1- order natural frequency inspire chart图 2 一阶等效应力图Fig.2 1- order equivalent stress chart- 65 -图 3 二阶固有频率振型图Fig.3 2- order natural frequency inspire chart图 4 二阶等效应力图Fig.4 2- order equivalent stress ch
13、art图 5 三阶固有频率振型图Fig.5 3- order natural frequency inspire chart图 6 三阶等效应力图Fig.6 3- order equivalent stress chart图 7 四阶固有频率振型图Fig.7 4- order natural frequency inspire chart图 8 四阶等效应力图Fig.8 4- order equivalent stress chart- 66 -图 9 五阶固有频率振型图Fig.9 5- order natural frequency inspire chart图 10 五阶等效应力图Fig.10 5- order equivalent stress chart（下转 79 页）
