方程与方程组1..doc

1、 1方程与方程组一、考点、热点、易混点回顾（一）一元一次方程1、含字母系数的一元一次方程的解法技法：关于 x 的方程 ax=b 的解的讨论。提问？(1)当 a0 时，方程有唯一解，即 x= ；ab(2)当 a=0 且 b=0 时，方程有无数个解；(3)当 a=0 且 b0 时，方程无解。注意：对于含有字母系数的方程，在两边都除以未知数的系数时，要分未知数的系数等于 0 和不等于 0 两种情况讨论；例 1：kx+m=(2k-1)x+4.解法：化简，得(k-1)x=m-4 当 k-10 时，方程有唯一解，x=?2、可化为一元一次方程的分式方程例 2：若关于 x 的分式方程 - 无解，则 a=?1x

2、a3注:分母为 0， （a+2)x=3例 3：已知关于 x 的方程 的解释是正数，则 m 的值？32m（二）二元一次方程解的问题例 1：求二元一次方程 3x+2y=15 的正数解注;x=? 求二元一次方程特殊解（如正数解）问题的通常解法是用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数。（三）一元二次方程 2一元二次方程的定义： 形如 （其中 ）的方程，叫做一元二次方程. 只有一个未知数，并且未知02cbxa 0,acba为 常 数数的最高次数是 2, 根为 ，根与系数的关系： ， ，以及一元二次x24abx21cx21方程为： 一元二次方程根的三种情况？0)(1212x（问：为什么要求 会得到什么？

3、）?a如 果说明：我们把 （ ）称为一元二次方程的一般形式，其中2cbxa cbxa,2分别称为一元二次方程的二次项，一次项和常数项； 分别称为二次项系数，一次项系数.ba,例 1：判断一个方程是不是一元二次方程判断关于 x 的方程 是不是一元二次方程，如果是，指出其二次项系数、一次项系xmx)12(数及常数项。例 2：已知关于 x 的一元二次方程 有实根，则 m 的取值范围?01)(2xm例 3求证：关于 x 的方程（m 2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+170 即可3基

4、础练习1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x 2+7=0 ax 2+bx+c=0 （x-2 ） （x+5）=x 2-1 3x 2- 5x=0A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、 一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B 2，-3 ，18 C2，-3 ，6 D2，3，63px 2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp 为任意实数判定一元二次方程是否有根掌握 b2-4ac0，ax 2+bx+c=0（a 0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2-4ac=0，ax 2+bx+

5、c=0（a 0）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac0（0 时，根据平方根的意义， 24bac等于一个具体数，所以一元一次方程的 x1=2x 1=24ac，即有两个不相等的实根当 b2-4ac=0 时， 根据平方根的意义 24bac=0，所以 x1=x2= b，即有两个相等的实根；当 b2-4ac0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0） 有两个不相等实数根即 x1=424bac，x 2=24bac（2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等实

6、数根即 x1=x2= ba（3）当 b2-4ac0 的解集（用含 a 的式子表示） 分析：要求 ax+30 的解集，就是求 ax-3 的解集，那么就转化为要判定 a 的值是正、负或 0因为一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0 没有实数根，即（-2a） 2-4（a-2 ） （a+1）0 即 ax-3x0，4a2 0, 当 b2-4ac0 时24ac0（x+ a） 2=( c)2直接开平方，得：x+ b= 4a 即 x=24bacx 1=24bac，x 2=2c由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先

7、将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b2-4ac0 时， 将 a、b、c 代入式子 x=24bac就得到方程的根( 公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)7（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根例 1用公式法解下列方程（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x (3) x2- x+ 1=0 （4）4x 2-3x+2=0因式分解法 1用因式分解法解下列方程（1）3y 2-6y=0 （2）25y 2-

8、16=0 （3）x 2-12x-28=0（4）x 2-12x+35=02已知（x+y） （x+y-1）=0 ，求 x+y 的值一元二次方程的解法小结三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次公式法是由配方法推导而得到配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程区别：配方法要先配方，再开方求根公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0， 再分别使各一次因式等于 0二、典型例题例：当实数 k 为何值时，关于 x 的方程 有两个相等的实根？并求出这两个相等的实数根。0

9、342kx8例：关于 x 的一元二次方程 有两个实根 、 。012px1x2(1)求 p 的取值范围(2)若 ，求 p 的值9)()1(22例：应用根与系数之间的关系求方程中字母系数的值已知关于 x 的一元二次方程 有两个实数根 和 。当 时，求 m 的值。0)12(2mxx 1x2021x三、巩固练习1、已知 x1 是关于 x 的二次方程（m 21）x 2mxm 20 的一个根，则 m 的值是 。2、下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是 （ ）A、 x 21 B、 2 1 C、x 2 10 D、2x 35xy4y 203、已知三角形的两边长分别是 4 和 7，第三边是方程 x 216x

10、550 的根，则第三边长是 （ ）A、5 B、11 C、5 或 11 D、64、关于 x 的方程 0132xk有实数根，则 K 的取值范围是 ( )A、 9k B、 k49且 C、 49k D、 0k49且5、当 m 为什么值时，关于 x 的方程 1)(2)1(2 xmx有实根。96.（1）已知关于 x 的方程 2x2 mx m20 有一个根是 1，求 m 的值；（2）已知关于 x 的方程（2 x m） （ mx1）（3 x1） （ mx1）有一个根是 0，求另一个根和 m 的值.7.先用配方法说明：不论 x 取何值，代数 x2-5x7 的值总大于 0.再求出当 x 取何值时，代数式 x2-5

11、 x7 的值最小？最小值是多少？8已知一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一根为1 且 a= + -3，求 207208()abc的12 (c-2) 12 (2-c)值.9关于 x 的一元二次方程 (m1 )x2 x m210 有一根为 0，则 m 的值为（ ） A 1 B 1 C 1 或1 D 010关于 x 方程 230c的一个根的相反数是方程 23xc的一个根，求解这两个方程.1011方程 02nmx中一根为 0，另一根不为 0，则 m、 n 应满足（ ）A m=0,n=0 B m=0,n0 C m0, n=0 D m0, n012已知 m 是一元二次方程 x22005x+1=0 的解，求代数式 220541的值.11已知 x= 5 是方程 x2+mx10=0 的一个根，求 x =3 时， x2+mx10 的值.