1、1第三讲 数列与不等式测试卷本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效第 I 卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小 题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 是首项为 1 的等比数列， 是 的前 n 项和，且 ，则数列 的前 5 项和为（ nansa369s1na）A 或 5 B 或 5 C D83161682用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程 有有理根，那么 、 、 中)0(2acbxaabc至少有一个是偶数下列假设中正确的是 （ ）A假设 、 、 都是偶数 B假设 、 、
2、都不是偶数abc abcC假设 、 、 中至多有一个是偶数 D假设 、 、 中至多有两个是偶数3若数列 前 100 项之和为 0，则 的值为 （ 231,cos,cos, ）A B ()kZ2()3kZC D以上的答案均不对234等差数列 na的前 n 项和为 nS，已知 210mma， 218S,则 m（ ）A38 B 20 C10 D95设不等式组 表示的平面区域为 D，若指数函数 y=ax 的图像上存在区域 D 上的点，10359xy则 a 的取值范围是 （ ）A(1，3 B2，3 C(1，2 D 3，+ )26已知数列 满足 若 则数列nx ),(|, *123 Nnxxnn )0,1
3、(,21ax的前 2010 项的和 为 （ 01S）A1340 B1338 C670 D6697某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨那么该企业可获得最大利润是（ ）A12 万元 B20 万元 C25 万元 D27 万元8在不等边ABC 中，设 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ， 依次成等A2sinB2iC2sin差数列，则数列 ，
4、 ， （ acosbcos）A是等比数列而不是等差数列 B是等差数列而不是等比数列C既是等比数列也是等差数列 D既非等比数列也非等差数列9设 是各项均不为零的等差数列，且公差 设 是将此数列删去某一项得12,(4)na 0d()n到的数列（按原来的顺序）为等比数列的的最大的 n 的值，则 = （ ）A4 B 5 C6 D710数列 满足 ， ，则 的整数部分是na132211nnaa*()nN1232091maa（ ）A3 B2 C1 D0第卷二、填空题：本大题共 5 小题，每小 题 5 分,共 25 分把答案填在 题中横线上11在计算“ ”时，某同学学到了如下一种方法：123(1)n先改写第
5、 k 项： 由此得()2(1),kk12(3012),34,()().3nn相加，得 1231(.n类比上述方法，请你计算“ ”，其结果为 241)(212若数列 满足：对任意的 ，只有有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数为naNman m，则得到一个新数列 例如，若数列 是 ，则数列 是() ()nan,3,， ()na已知对任意的 ， ，则 ， 0,12,， 2a5()13一 房 地 产 开 发 商 将 他 新 建 的 20 层 商 品 房 的 房 价 按 下 列 方 法 定 价 ， 先 定 一 个 基 价 a 元 /m2， 再 据楼层的不3同上下浮动，一层价格为（ad）元/m 2，
6、二层价格 a 元 /m2，三层价格为（a+d）元/m 2，第 i 层（i4）价格为 元/m 2其中 a0，d0，则该商品房的各层房价的平均值为 3()iad14等腰直角 中， ，AD 是 BC 边上的高，P 为 AD 的中点，点 M、N 分别为ABC90,ABAB 边和 AC 边上的点，且 M、N 关于直线 AD 对称，当时 ， = 12MNAB15等差数列 的公差 d 不为零， 是其前 n 项和，给出下列四个命题：若 d0，且 S3S 8，则nanS中， S5 和 S6 都是 中的最大项；给定 n，对于一定 kN*(kn) ，都有 ；nn 2nknaa若 d0，则 中一定有最小的项； 存在
7、kN*，使 k 和 同号1ka1其中真命题的序号是_三、解答题：本大题共 75 分其中 (16)(19)每小题 12 分 ,(20)题 13 分,(21)题 14 分解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤16 （本小题满分 12 分）如图，曲线 上的点 与 x 轴的正半轴上的点 及原点 构成一2(0)yxiPiQO系列正三角形OP 1Q1，Q 1P2Q2，Q n-1PnQn设正三角形 的边长为 ,nN ( 记 为1na0), O,0nS（1）求 的值； 1a（2）求数列 的通项公式 nna17 （本小题满分 12 分）某企业 2010 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能
8、力将逐年下降若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下， 第 n 年（今年为第一年）的利润为 500(1+ n21)万元（ n 为正整数） （1）设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元（须扣除技术改造资金） ，求 An、B n 的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 18 （本小题满分 12 分）已知正项数列 的前 项和为 ， 为方
9、程nanSa3的一根0122nSx)(*N（1）求数列 通项公式 ；an（2）求证：当 时， 2112nna19 （本小题满分 12 分）设 、 是函数 的两个极值点1x2)(21x)0()(23axbaxf（1）若 ，求函数 的解析式；,12xf xP1OyQ2Q1P3P24（2）设函数 ， ，当 时，求证： )()(1xafxg12(,)xa2 21()(3)gxa20 （本小题满分 13 分）数列 22(1cossin,.nna满 足（1）求 并求数列 的通项公式；34,a（2）设 证明：当2112, .nnbSb 6.nS时 ，21 （本小题满分 14 分）已知数列 的前 n 项和 满
10、足： （a 为常数，且 ）an(1)n0,1a（1）求 的通项公式；na（2）设 ，若数列 为等比数列，求 a 的值；21Sbnb（3）在满足条件（2）的情形下，设 ，数列 的前 n 项和为 Tn，求证：11nncncnT第三讲 数列与不等式测试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B C C A A D B A C1 【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质显然 q 1，所以，所以 是首项为 1，公比为 的等比数列， 前 5 项和2911)(9363 qqna255()26T2 【答
11、案】B3 【答案】C【解析】 ，故102910 (2cos)cos2csS 2cos1选C 4 【答案】C【解析】由 na是等差数列，得 12mmaa，由 210ma，得：2 ma 20，所以， m2，又 2138mS，即 )(38，即（2m1）238，解得 m10，故选 C55 【答案】A【解析】a1 时，当 y=ax 过 A(2，9) 时，a 最大为 3 a(1 ，3选 A6 【答案】A【解析】由 可知，数列 是周期为 3 的数列，又 且到解决3nxn *21|(),nnxxN， ，)0,1(,21ax31xa2011367()40S7 【答案】D【解析】设生产甲产品 吨，生产乙产品 y吨
12、，则有关系：A 原料 B 原料甲产品 x吨 3 x2 x乙产品 y吨 3 y则有： 18320yx目标函数 yxz35， 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当 3， 4 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D8 【答案】B 【解析】因 为 、 、 成 等 差 数 列 ， 所 以 ，A2sinB3iC2sin CAB222sinisin所以 又 ， ，2cababcoabcAo显然 ，即 、 、 成等差数列cCos2 oc若其为等比数列，有 ，所以 ， ，与题设矛盾cBaAss CBtnttnBA9 【答案】A 【解析】当 时，删去数列中的任何一项，剩余项中一定有连续三项即是
13、等差数列又是等比数列，6n其公差为 0，则 ，当 n=5 时，设该数列为： ，只能删去第三项，()5,2,3,4adad则 ，所以不合，因此 n=4(43)0adad10 【答案】C 【解析】 0)1(221 nnna1an ，21nnaa1()nnnn1nn1232091223 111 1()()nnnmaaaa 二、填空题（本大题共 5 小题，每小 题 5 分，共 25 分 把答案填在题中横线上 ）11 【答案】 ()2(3)4n6【解析】类比推理如下：123(40123),14(2351234),()().nnnn相加，得 = 1( ()4n12 【答案】2； 2【解析】因为 ，而 ，所
14、以 m=1,2,所以 25ma2n5)a1234567891011213141516 (),(), ,(),(),(),3(),()3,aa a 因 为所以 1, 4， 9， 16，猜想() 2n13 【答案】 73d【解析】 17172054 )32(32)(1dadaa ，平均楼价为 171220() 17()014 【答案】 3AMB【解析】分别以 AB、AC 所在的直线为 x 轴、y 轴建立直角坐标系，则，设 ，则 ，2(0,1)2,)(,0)(,)4CP(,0)M(,)Nx21,442PNxxx则 所以3232,4AMB3AB15 【答案】 【解析】对于：S 8S 3a 4a 5a
15、6a 7a 85a 60，S 5S 6，又 d0，S 5S 6 为最大，故正确；对于：根据等差中项知正确；对于：d0，点( n，S n)分布在开口向上的抛物线，故S n中一定有最小的项，故正确；而 aka k+1d，a ka k1d ，且 d0，故为假命题三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分 解答应写出文字 说明、推理过程或演算步骤）16 【解析】由条件可得 2 分11(,)2P代入 得 5 分2(0)yx1320,43aa 12nnSa 1(,)2nnS7代入曲线 并整理得 , 7 分2(0)yx21134nnSa于是当 时,*,nN231()()4n naa即 1113()()2
16、4na10 分*20,(,nnN又当 ；2124,3Sa时 舍 去 ）,故 23a*1()n所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列, 12 分23na17 【解析】 (1)依题意知，数列 nA是一个以 500 为首项， 为公差的等差数列，所以02(1)480(20)4910nnA， 2 分25()55()62nB 21150()60nn1()0602nn 12n 5 分25149,nnnAB(2)依题意得， nA，即 20149012n，化简得 2501n，7 分可设 f250)(， ()g又 N， 可设 f是减函数， )(g是增函数，又 50(3)(),(4)8816f,则 4n时 不等式
17、成立，即 4 年 11 分答：今年起该企业至少经过 4 年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润12 分18 【解析】 （1）原方程 有一根为022nSxna3 即 1 分0692nnSaa3令 ， 或 2 分12134110n321当 时， 得：nn 1124nnaa即 5 分0)(11nnaaa1na 满足 6 分3232321)(*N（2）记 则222)()1(nnCn 221(1nnCn 8 9 分021)(21)( nn 1nC 即 11 分21CCn 4694 )2()1(492221 nnaann 12 分634919 【解析】：（1） ， )0()(23ax
18、baxf )0(23)( abxaxf依题意有 ， 0)2(1f42解得 ， 5 分96baxxf36963（2）证明： 是方程 的两根，21,x0)(f (3) 2xaf ， ， 7 分21x 31 |1)(3(|)()(31|)(| axaxag ，即 9 分21x.)| g |()|g)31)(xa axa34)2(23 3242 12 分|()|gx2()1a20 【解析】 (1)因为 所以2,22311(cos)in,aa2 分24(cos)in4.一般地，当 时，*1Nnk ，即2221 1ik kaa 21k21.k所以数列 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此 4 分1k
19、 a当 时，*()n222 2(cos)sin.kkka所以数列 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此2ka9故数列 的通项公式为 6 分na *21,(N),.nka(2)由(1)知， 21,nb3,2nnS2411 - 得， 2311nnS 211().2nn所以 9 分12.nnn要证明当 时， 成立，只需证明当 时， 成立62S6n()12n令 ，则2()nc11()330.2nc所以当 时， 因此当 时，1n668.4nc于是当 时， 综上所述，当 时， 13 分62().12nS21 【解析】 （1） 当 时，11,aS1,a11,nnnaa，即 是等比数列 ； 4 分1nan 1n（2）由（1）知， ，若 为等比数列，2()(3)21nnnaabnb则有 而213, 223,b故 ，解得 ，再将 代入得 成立， 所以 9 分()aa 13a3nb13a（3）证明：由（2）知 ，所以1()3n 11()()n nnnc ，1 13nnnn12)3nn由 得11,33nn1,所以 ，12()2()nnc从而 1 231()()3n nTc 即 14 分231()()()33n 12n2nT9
